Definition über Rekursion

Die Mandelbrot-Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ist die Menge aller komplexen Zahlen ${\displaystyle c}$, für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen ${\displaystyle z_{0},z_{1},z_{2},\dotsc }$ mit dem Anfangsglied

${\displaystyle z_{0}=0}$

und dem Bildungsgesetz

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$

beschränkt bleibt. Das heißt, eine komplexe Zahl ${\displaystyle c}$ ist Element der Mandelbrot-Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$, wenn die Beträge der mit diesem ${\displaystyle c}$ berechneten ${\displaystyle z_{n}}$ nicht über jede Grenze wachsen, unabhängig davon, wie groß ${\displaystyle n}$ wird. Dies lässt sich wie folgt schreiben:

${\displaystyle z_{0}=0,z_{n+1}=z_{n}^{2}+c;\;\;c\in \mathbb {M} \iff \exists g\in \mathbb {R}$ :\limsup _{n\to \infty }|z_{n}|\leq g.}

Man kann leicht zeigen, dass der Betrag der ${\displaystyle z_{n}}$ über jede Grenze wächst, sobald ein ${\displaystyle z_{n}}$ mit ${\displaystyle |z_{n}|>2}$ auftritt, somit ist diese Definition gleichbedeutend mit:

${\displaystyle z_{0}=0,z_{n+1}=z_{n}^{2}+c;\;\;c\in \mathbb {M} \iff \limsup _{n\to \infty }|z_{n}|\leq 2.}$

Definition über komplexe quadratische Polynome

Die Mandelbrot-Menge lässt sich auch über komplexe quadratische Polynome beschreiben:

${\displaystyle P_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,z\mapsto z^{2}+c}$

mit einem komplexen Parameter ${\displaystyle c}$. Für jedes ${\displaystyle c}$ wird die Folge

${\displaystyle (P_{c}^{0}(0),\;P_{c}^{1}(0),\,P_{c}^{2}(0),\,\dotsb )=(\,P_{c}^{n}(0)\,)_{n\in \mathbb {N} }}$

iterativ berechnet, wobei ${\displaystyle P_{c}^{n}}$ die ${\displaystyle n}$-fache Hintereinanderausführung der Iteration bedeutet, also

${\displaystyle P_{c}^{0}(z)=z}$

${\displaystyle P_{c}^{n+1}(z)=P_{c}(P_{c}^{n}(z)),\;n\in \mathbb {N} .}$

In Abhängigkeit vom Wert des Parameters ${\displaystyle c}$ wächst diese Folge dann entweder unbeschränkt, sodass also ${\displaystyle c}$ kein Element der Mandelbrot-Menge ist, oder sie verbleibt innerhalb eines Bereichs um den Ursprung der Zahlenebene, und ${\displaystyle c}$ ist Element der Mandelbrot-Menge.

Die Mandelbrot-Menge ist eine Untermenge der komplexen Zahlen mit der Definition:

${\displaystyle \mathbb {M} =\lbrace c\in \mathbb {C} \;|\;\exists s\in \mathbb {R}$ :\forall n\in \mathbb {N} :|P_{c}^{n}(0)|\leq s\rbrace }

oder gleichbedeutend:

${\displaystyle \mathbb {M} =\lbrace c\in \mathbb {C} \;|\;\forall n\in \mathbb {N}$ :|P_{c}^{n}(0)|\leq 2\rbrace .}

Zur Erläuterung werden einige Eigenschaften und Beispiele angeführt:

• Aufgrund der zuvor beschriebenen Feststellung kann ${\displaystyle s=2}$ gesetzt werden. Dabei gibt der Wert ${\displaystyle s=2}$ den Radius um den Ursprung an, innerhalb dessen ein Element von ${\displaystyle \mathbb {M} }$ liegen kann. Außerhalb dieses Kreises sind keine Elemente von ${\displaystyle \mathbb {M} }$ zu finden.
• Wegen der Betragsfunktion ist ${\displaystyle \mathbb {M} }$ symmetrisch zur reellen Achse.
• Um die Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$ grafisch darzustellen, müssen die Werte des Parameters ${\displaystyle c}$ alle einzeln bis zu einer selbstbestimmten Anzahl von Iterationen berechnet werden.
• Für ${\displaystyle c=-2\ }$ lautet die Folge ${\displaystyle 0,\,-2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\dotsc }$ und ist beschränkt. Daher ist ${\displaystyle c=-2\ }$ Element von ${\displaystyle \mathbb {M} }$.
• Für ${\displaystyle c=+2\ }$ lautet die Folge ${\displaystyle 0,\ 2,\ 6,\ 38,\ 1446,\dotsc }$ und ist divergent. Daher ist ${\displaystyle c=+2\ }$ kein Element von ${\displaystyle \mathbb {M} }$.

Definition über Julia-Mengen

Die Mandelbrot-Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$ wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge ${\displaystyle J_{c}}$ zu einer bestimmten komplexen Zahl ${\displaystyle c}$ ist definiert als der Rand der Menge aller Anfangswerte ${\displaystyle z_{0}}$, für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Es kann bewiesen werden, dass die Mandelbrot-Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$ genau die Menge der Werte ${\displaystyle c}$ ist, für die die zugehörige Julia-Menge ${\displaystyle J_{c}}$ zusammenhängend ist.

Dieses Prinzip wird in vielen Resultaten über das Verhalten der Mandelbrot-Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$ vertieft. So zeigt Shishikura, dass der Rand der Mandelbrot-Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ebenso wie die zugehörige Julia-Menge ${\displaystyle J_{c}}$ die Hausdorff-Dimension 2 hat. Ein unveröffentlichtes Manuskript von Jean-Christophe Yoccoz diente John Hamal Hubbard als Grundlage für seine Ergebnisse über lokal zusammenhängende Julia-Mengen ${\displaystyle J_{c}}$ und lokal zusammenhängende Mandelbrot-Mengen ${\displaystyle \mathbb {M} }$.

Bezug zur Chaostheorie

Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand deren sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, reelle Zahlenfolgen zu betrachten.

Für Werte ${\displaystyle -0{,}75\leq c\leq 0{,}25}$, das heißt innerhalb der Kardioide, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“, die bis ${\displaystyle c=-2}$ reicht, verhält sich die Folge chaotisch. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dabei nimmt die Periode zum chaotischen Bereich hin stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung und Bifurkation bezeichnet wird. Jeder ${\displaystyle c}$-Bereich zu einer bestimmten Periode entspricht dabei einer der kreisförmigen „Knospen“ auf der ${\displaystyle x}$-Achse.

Die Periodenverdopplung beginnt mit dem „Kopf“ und setzt sich in der Folge der „Knospen“ zur „Antenne“ hin fort. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle und damit das der Knospendurchmesser zu unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante ${\displaystyle \delta \approx 4{,}669}$, eine fundamentale Konstante der Chaostheorie. Dieses Verhalten ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die auffälligen Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln mit periodischem Verhalten, denen in der komplexen Ebene die Satelliten auf der „Antenne“ zugeordnet sind.

Für gewisse komplexe ${\displaystyle c}$-Werte stellen sich Grenzzyklen ein, die auf einer geschlossenen Kurve liegen, deren Punkte jedoch nicht periodisch, sondern chaotisch abgedeckt werden. Eine solche Kurve ist in der Chaostheorie als sogenannter seltsamer Attraktor bekannt.

Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, an der sich fundamentale Phänomene studieren lassen. Sie wird aus diesem Grund hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Chaostheorie gelegentlich mit der von Geraden für die euklidische Geometrie verglichen.

Geometrische und mathematische Eigenschaften

Die Mandelbrot-Menge ist abgeschlossen (da ihr Komplement offen ist) und in der abgeschlossenen Scheibe mit dem Radius 2 um den Ursprung enthalten und somit kompakt.

Es sei ${\displaystyle P_{c}(z)=z^{2}+c}$ und ${\displaystyle P_{c}^{n}(z)}$ bezeichne die ${\displaystyle n}$-te Iteration. Ein Punkt ${\displaystyle c}$ gehört genau dann zur Mandelbrot-Menge, falls

${\displaystyle \qquad {\big |}P_{c}^{n}(0){\big |}\leq 2}$ für alle ${\displaystyle n\geq 0.}$

Wird der Betrag von ${\displaystyle P_{c}^{n}(0)}$ größer als 2, dann entkommt die Iteration ins Unendliche, der Betrag wächst über jede Grenze. ${\displaystyle c}$ gehört dann nicht zur Mandelbrot-Menge.

Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zur Iteration ${\displaystyle z\to z^{2}+c}$ sind Fraktale, außer für einige ${\displaystyle c}$-Werte wie ${\displaystyle c=-2}$ (Strecke) oder ${\displaystyle c=0}$ (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenem Parameter ${\displaystyle c}$ einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes ${\displaystyle c}$ genau die Strukturen der zugehörigen Julia-Menge ${\displaystyle J_{c}}$ wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).

In den fraktalen Strukturen am Rand finden sich verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, die Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus ${\displaystyle \mathbb {M} }$ als auch solche außerhalb von ${\displaystyle \mathbb {M} }$ umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind.

Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln), wie Adrien Douady und John Hamal Hubbard 1984 bewiesen, und es wird vermutet (Douady/Hubbard), dass sie lokal zusammenhängend ist (MLC-Vermutung). Dies ist eine der großen offenen Fragen in der komplexen Dynamik und bisher unbewiesen (obwohl es Teilresultate zum Beispiel von Jean-Christophe Yoccoz gibt, der lokalen Zusammenhang für bestimmte Werte von ${\displaystyle c}$ bewies, für die endlich-renormalisierbaren Punkte). Die MLC erlaubt weitreichende Folgerungen über die Topologie der Mandelbrot-Menge. Beispielsweise würde daraus die Hyperbolizitätsvermutung folgen, dass jede offene Menge in der Mandelbrot-Menge (also das Innere der Mandelbrot-Menge) aus Punkten mit attraktiven Zyklen besteht. Die Mandelbrot-Menge ist zwar selbstähnlich, aber nicht exakt, denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzfall periodische Strukturen. An speziellen Punkten hat die Mandelbrot-Menge Selbstähnlichkeit (vermutet von John Milnor und bewiesen von Mikhail Lyubich 1999).

Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die fraktale Dimension 2. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine Hausdorff-Dimension beträgt nach Arbeiten von Mitsuhiro Shishikura ebenfalls 2; das impliziert, dass die Box-Dimension den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrot-Menge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,5065918849.

Die Mandelbrot-Menge enthält deformierte Kopien aller Julia-Mengen, wie Tan Lei 1990 für die Misiurewicz-Punkte der Mandelbrot-Menge bewiesen hat, die dicht im Rand der Mandelbrot-Menge liegen. Das ist ein weiterer Beleg für die enge Verwandtschaft der Struktur von Julia- und Mandelbrot-Mengen. So wurden in den Beweisen von Yoccoz für lokalen Zusammenhang der Mandelbrot-Menge bei endlich renormalisierbaren Punkten und von Shishikura über die fraktale Dimension des Randes der Mandelbrot-Menge zuerst die entsprechenden Eigenschaften bei den zum Parameterwert gehörigen Julia-Mengen untersucht und dann auf die Mandelbrot-Menge übertragen.

Die Frage, ob die Mandelbrot-Menge entscheidbar ist, ergibt zunächst keinen Sinn, da ${\displaystyle \mathbb {M} }$ überabzählbar ist. Einen Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das Blum-Shub-Smale-Modell dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrot-Menge nicht entscheidbar.

Geometrische Zuordnung

Konvergenz liegt genau für die Werte von ${\displaystyle c}$ vor, die das Innere der Kardioide bilden, den „Körper“ von ${\displaystyle \mathbb {M} }$, sowie für abzählbar viele ihrer Randpunkte. Periodische Grenzzyklen finden sich in den (angenähert) kreisförmigen „Knospen“ wie im „Kopf“, in den Kardioiden der Satelliten sowie ebenfalls auf abzählbar vielen Randpunkten dieser Komponenten. Eine fundamentale Vermutung besagt, dass es für alle inneren Punkte der Mandelbrot-Menge einen Grenzzyklus gibt. Die Folge ist echt vorperiodisch für abzählbar viele Parameter, die oft Misiurewicz-Thurston-Punkte genannt werden (nach Michał Misiurewicz und William Thurston). Dazu gehören die „Antennenspitzen“ wie der Punkt ${\displaystyle z=-2}$ ganz links und Verzweigungspunkte der Mandelbrot-Menge.

In den überabzählbar vielen übrigen Punkten der Mandelbrot-Menge kann sich die Folge auf viele verschiedene Weisen verhalten, die jeweils sehr unterschiedliche dynamische Systeme erzeugen und die teilweise Gegenstand intensiver Forschung sind. Je nach Definition des Wortes lässt sich „chaotisches“ Verhalten finden.

Periodisches Verhalten

Programmbeispiel für einen Bildpunkt.

Funktion SeekMinZ( complex C, int MaxIter ) {

complex	    Z;
double		BetragMinZ, bz;
int		    IterCount, MinCount;

Z = (0.0, 0.0);
MinCountNr = IterCount = 1;
BetragMinZ = 999.00;              // Anfangsbedingung ist eine sehr große Zahl
                                  // aber 2 würde auch genügen. Zu suchen ist etwas < 0.01
do {
	Z = (Z * Z) + C;
	bz = betrag( Z );

	if ( bz < BetragMinZ ) {
		BetragMinZ = bz;
		MinCountNr = IterCount;
		}
	IterCount += 1;
	} while ( IterCount < MaxIter and bz < 2.0 );
return( MinCountNr );
}

Attraktive Zyklen

Gibt es für ein ${\displaystyle c}$ ein Folgenglied mit der Eigenschaft ${\displaystyle z_{n}=z_{0}=0}$, so wiederholt sich die Folge von Anfang an streng periodisch und zwar mit der Periode ${\displaystyle n}$. Da sich ${\displaystyle z_{n}}$ durch ${\displaystyle n}$-malige Anwendung der Iterationsvorschrift ergibt, wobei bei jedem Schritt quadriert wird, lässt es sich als Polynom von ${\displaystyle c}$ vom Grad ${\displaystyle 2^{n-1}}$ formulieren. Die ${\displaystyle c}$-Werte für periodische Folgen der Periode ${\displaystyle n}$ werden daher über die ${\displaystyle 2^{n-1}}$ Nullstellen dieses Polynoms erhalten. Es zeigt sich, dass jede Zahlenfolge gegen diesen Zahlenzyklus konvergiert, sofern eins ihrer Folgenglieder hinreichend nahe an diesen Zyklus gerät, die werden Attraktoren genannt. Das führt dazu, dass alle Zahlenfolgen zu einer gewissen Umgebung des ${\displaystyle c}$-Wertes, der den Attraktor repräsentiert, gegen einen stabilen Zyklus der Periode ${\displaystyle n}$ konvergieren. Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Kardioide eines Satelliten repräsentiert genau eine solche Umgebung. Exemplarisch seien die Gebiete mit den Perioden ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle 3}$ aufgeführt:

• Periode 1: Die Kardioide des Hauptapfelmännchens. Der Rand dieser Kardioide ist gegeben durch Punkte der Form ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}z-{\tfrac {1}{4}}z^{2}}$ mit ${\displaystyle |z|=1}$.
• Periode 2: Der „Kopf“. Die 2. Nullstelle ${\displaystyle c=0}$ entspricht der Hauptkardioide, die wegen der Periode ${\displaystyle 1}$ natürlich bei der Ermittlung aller höherer Perioden als Nullstelle auftritt. Diese Überlegung zeigt, dass die Zahl der Attraktoren mit der Periode ${\displaystyle n>1}$ maximal ${\displaystyle 2^{n-1}-1}$ betragen kann, und das nur dann, wenn ${\displaystyle n}$ eine Primzahl ist. Der Kopf selbst ist eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt ${\displaystyle -1}$ und Radius ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$, d. h., der Rand dieser Kreisscheibe ist gegeben durch Punkte der Form ${\displaystyle c=-1+{\tfrac {1}{4}}z}$ mit ${\displaystyle |z|=1}$.
• Periode 3: Die „Knospen“, die den „Armen“ entsprechen und die Kardioide des größten Satelliten auf der „Kopfantenne“. Die vierte Nullstelle ${\displaystyle c=0}$ entfällt wieder.

Die Anzahl der anziehenden Zyklen mit der genauen Periode ${\displaystyle n}$, d. h. ${\displaystyle z_{n}=z_{0}}$ und ${\displaystyle n}$ ist minimal mit dieser Eigenschaft, ist die Folge A000740 in OEIS.

Galerie der Iteration

Die folgende Galerie gibt einen Überblick über die Werte von ${\displaystyle z_{n}}$ für einige Werte von ${\displaystyle n}$. Dabei hängt ${\displaystyle z_{n}}$ vom Parameter ${\displaystyle c}$ ab, dessen Realteil sich in den Bildern von links nach rechts von −2,2 bis +1 erstreckt, und dessen Imaginärteil von −1,4 bis +1,4 reicht.

Die Iteration z → z² + c nach n Schritten

Iterationen	Beschreibung		Iterationen	Beschreibung
	n = 1 (1 reelle Nullstelle) Nach dem ersten Schritt gilt ${\displaystyle z_{1}(c)=c}$. Das Bild ist also eine farbige Darstellung der komplexen Zahlen ${\displaystyle c}$, die sich in dem gezeigten Gebiet befinden. Die Null wird dabei in Weiß dargestellt und Unendlich in Schwarz. Daher erscheint ein Punkt umso dunkler, je weiter er vom Ursprung entfernt ist. Die Farbe eines Punktes gibt Auskunft über sein Argument, also über den Winkel, den er mit der positiv-reellen Achse (rot) hat. Die negativ-reelle Achse ist türkis gefärbt.			n = 9 (30 reelle und 226 konj.-kompl. Nullstellen) Inzwischen gibt es bereits ${\displaystyle 256}$ Nullstellen, die auch innerhalb der Mandelbrot-Menge verteilt sind. Da ${\displaystyle 3}$ ein Teiler von ${\displaystyle 9}$ ist, sind die Armknospen und der kleine Antennensatellit wieder mit einer Nullstelle an der Reihe, und leuchten daher hell auf.
	n = 2 (2 reelle Nullstellen) Nach zwei Schritten gilt ${\displaystyle \textstyle z_{2}(c)=c^{2}+c=c\cdot (c+1)}$ Dieser Ausdruck wird für ${\displaystyle c=0}$ sowie für ${\displaystyle c=-1}$ Null. Die neu hinzugekommene linke Nullstelle liegt im Zen­trum des Kopfes der Mandelbrot-Menge, während die alte auf der rechten Seite das Herz der Leib-Zykloiden ist.			n = 10 (56 reelle und 456 konj.-kompl. Nullstellen)
	n = 3 (2 reelle und 2 konjugiert-komplexe Nullstellen) Die Anzahl der Nullstellen hat sich auf 4 verdoppelt – wie nach jedem Iterationsschritt. Die reelle Nullstelle links liegt im Herz des kleinen Antennen-Satelliten. Es treten die ersten komplexwertigen Nullstellen ober- und unterhalb der reellen Achse auf. Diese Nullstellen liegen im Zentrum des jeweiligen Ärmchens.			n = 11 (94 reelle und 930 konj.-kompl. Nullstellen) Eine Primzahl, daher leuchten keine alten Strukturen hell auf, sondern nur neu entstandene zwischen diesen.
	n = 4 (4 reelle und 4 konjugiert-komplexe Nullstellen) Der Dutt ist entstanden: er gehört zur Nullstelle links neben der Kopf-Nullstelle bei −1. Die dargestellte Funktion ${\displaystyle \textstyle z_{4}(c)=\left((c^{2}+c)^{2}+c\right)^{2}+c}$ wird immer unübersichtlicher. Es lässt sich jedoch einfach nachrechnen, dass wenn ${\displaystyle c}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle z_{n}}$ ist, ${\displaystyle c}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle z_{k\cdot n}}$ ist. Daher „erbt“ ${\displaystyle z_{4}}$ die Nullstellen von ${\displaystyle z_{2}}$. Dieser Zusammenhang ist Ursache für das unten erläuterte periodische Verhalten der Knospen.			n = 12 (180 reelle und 1868 konj.-kompl. Nullstellen)
	n = 5 (4 reelle und 12 konjugiert-komplexe Nullstellen) Da ${\displaystyle 5}$ eine Primzahl ist, gibt es keine altbekannten Nullstellen – außer der Null, die von ${\displaystyle z_{1}}$ her bekannt ist. Da der Grad des Polynoms ${\displaystyle z_{n}(c)}$ gleich ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ist, wächst ${\displaystyle z_{n}}$ mit wachsendem ${\displaystyle n}$ immer schneller gegen Unendlich. Dadurch bildet sich der Rand zwischen der Mandelbrot-Menge und ihrem Äußeren immer klarer heraus.			n = 13 (316 reelle und 3780 konj.-kompl. Nullstellen) Eine Primzahl, daher leuchten keine alten Strukturen hell auf, sondern nur neu entstandene zwischen diesen.
	n = 6 (8 reelle und 24 konjugiert-komplexe Nullstellen)			n = 14 (596 reelle und 7596 konj.-kompl. Nullstellen) Ohne Bild: n = 15 (1096 reelle und 15288 konj.-kompl. Nullstellen) n = 16 (2068 reelle und 30700 konj.-kompl. Nullstellen)
	n = 7 (10 reelle und 54 konjugiert-komplexe Nullstellen) Eine Primzahl, daher leuchten keine alten Strukturen hell auf, sondern nur neu entstandene zwischen diesen.			n = 17 (3856 reelle und 61680 konj.-kompl. Nullstellen) Eine Primzahl, daher leuchten keine alten Strukturen hell auf, sondern nur neu entstandene zwischen diesen. Wer sich über die vergleichsweise große Anzahl reellwertigen Nullstellen wundert, diese befinden sich fast alle auf der Antenne mit ${\displaystyle \mathrm {re} |z|<-1{,}310702641336...}$.
	n = 8 (20 reelle und 108 konjugiert-komplexe Nullstellen)			n = 18 (7316 reelle und 123756 konj.-kompl. Nullstellen) Mit ${\displaystyle n=18}$ und ${\displaystyle 2^{17}=131072}$ Nullstellen endet diese Bilderserie. Für größere ${\displaystyle n}$ steigt die Anzahl der Null­stellen/Knospen exponential weiter an, so für ${\displaystyle n=101}$ auf ${\displaystyle 10^{30}}$, für ${\displaystyle n=10^{5}}$ auf ${\displaystyle 10^{30103}}$ und für ${\displaystyle n=10^{8}}$ auf ${\displaystyle 10^{30\;\!102\;\!999}}$.

Dichteverteilung der Folgenglieder

Das nebenstehende Bild zeigt, wie oft ein Bildpunkt von einem Zwischenergebnis aller Iterationen getroffen wird. Im Bereich von |${\displaystyle \mathbb {Z} }$| < 2 wird jedes Pixel mindestens einmal getroffen und aufsummiert. Innerhalb der ${\displaystyle \mathbb {M} }$ können bei diesem Bild Werte bis zu 30000 auftreten. Bei einem Kontrast von 1:30000 kann man jedoch Feinheiten im ${\displaystyle \mathbb {M} }$-Rand nicht mehr leicht erkennen. Bei Blende bis 1000 sind Strukturen zu erkennen, die am äußersten Rand der ${\displaystyle \mathbb {M} }$ liegen. Diese sind erzeugt durch die Zwischenergebnisse der periodischen Iterationen von Satelliten-Mengen. Diese Orte werden im Film mit einem grünen Pfeil gezeigt. Einer dieser Orte soll im nächsten Orbit-Bild näher dokumentiert werden.

Im Orbit-Bild wurden alle Iterationsergebnisse herausgefiltert, die nicht im Auswahlbereich bei Punkt 1 enthalten sind. So ist erkennbar, dass diese Orbits von einem Satelliten der Periode 3 ausgehen (Punkt S). In den nächsten Bildern sind diese vier Orbit-Aufsummierungen gezoomt gezeigt. Dieses Beispiel gilt für alle Satelliten. Für die meisten Satelliten ist jedoch ein viel höheres Iterationslimit nötig (hier nur 100). Dadurch steigt der erzeugte Kontrast erheblich, womit solche Feinheiten immer schlechter zu zeigen sind.

Iteration über alle Bildpunkte

Das folgende Programmbeispiel geht davon aus, dass die Pixel des Ausgabegerätes durch Koordinaten x und y mit einem Wertebereich von 0 bis jeweils xpixels-1 und ypixels-1 adressierbar sind. Die Berechnung des dem Pixel zugeordneten komplexen Zahlenwerts c mit dem Realteil c_re und dem Imaginärteil c_im erfolgt durch lineare Interpolation zwischen (re_min, im_min) und (re_max, im_max).

Die maximale Anzahl von Iterationsschritten ist max_iter. Wird dieser Wert überschritten, so wird das entsprechende Pixel der Menge ${\displaystyle \mathbb {M} }$ zugeordnet. Der Wert von max_iter sollte mindestens 100 betragen. Bei stärkerer Vergrößerung sind zur korrekten Darstellung der Strukturen teilweise erheblich größere Werte erforderlich und damit deutlich längere Rechenzeiten.

PROCEDURE Apfel (re_min, im_min, re_max, im_max, max_betrag_2: double,
                 xpixels, ypixels, max_iter:                   integer)
  FOR y = 0 TO ypixels-1
    c_im = im_min + (im_max-im_min)*y/ypixels

    FOR x = 0 TO xpixels-1
      c_re = re_min + (re_max-re_min)*x/xpixels

      iterationen = Julia (c_re, c_im, c_re, c_im, max_betrag_2, max_iter)
      farb_wert   = waehle_farbe (iterationen, max_iter)
      plot (x, y, farb_wert)
    NEXT

  NEXT
END PROCEDURE

Iteration eines Bildpunktes

Die Iteration von ${\displaystyle n}$ nach ${\displaystyle n+1}$ für einen Punkt ${\displaystyle c}$ der komplexen Zahlenebene erfolgt durch die Iteration

${\displaystyle {\begin{matrix}z_{n+1}&=&z_{n}^{2}+c\end{matrix}},}$

die sich mittels der Zerlegung der komplexen Zahl ${\displaystyle z}$ in ihren Realteil ${\displaystyle x}$ und Imaginärteil ${\displaystyle y}$ in zwei reelle Berechnungen

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{n+1}&=&x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+c_{x}\end{matrix}}}$

und

${\displaystyle {\begin{matrix}y_{n+1}&=&2x_{n}y_{n}+c_{y}\end{matrix}}}$

zerlegen lässt. Hier haben wir die folgende Identität benutzt:

${\displaystyle {\begin{matrix}z^{2}=(x+\mathrm {i} y)^{2}=x^{2}+2\mathrm {i} xy+(\mathrm {i} y)^{2}=x^{2}+2\mathrm {i} xy+(-1)y^{2}=x^{2}-y^{2}+\mathrm {i} (2xy)\end{matrix}}.}$

Falls das Quadrat des Betrags der ${\displaystyle (n+1)}$-ten Zahl, gegeben durch

${\displaystyle {\begin{matrix}|z_{n+1}|^{2}&=&x_{n+1}^{2}+y_{n+1}^{2}&&\end{matrix}}}$

den Wert max_betrag_2 (mindestens 2 · 2 = 4) überschreitet, wird die Iteration abgebrochen, und die Anzahl der bislang erfolgten Iterationsschritte für die Zuordnung eines Farbwertes verwendet. Falls das Quadrat des Betrags nach einer gegebenen maximalen Anzahl von Iterationsschritten den max_betrag_2 nicht überschritten hat, wird angenommen, dass die Iteration beschränkt bleibt, und die Iterationsschleife abgebrochen.

Die folgende Funktion führt die beschriebene Iteration durch. x und y sind die iterativ benutzten Variablen für die Iterationswerte; xx, yy, xy und remain_iter sind Hilfsvariablen.

 FUNCTION Julia (x, y, xadd, yadd, max_betrag_2: double, max_iter: integer): integer
   remain_iter = max_iter
   xx = x*x
   yy = y*y
   xy = x*y
   betrag_2 = xx + yy

   WHILE (betrag_2 <= max_betrag_2) AND (remain_iter > 0)
     remain_iter = remain_iter - 1
     x  = xx - yy + xadd
     y  = xy + xy + yadd
     xx = x*x
     yy = y*y
     xy = x*y
     betrag_2 = xx + yy
   END

   Julia = max_iter - remain_iter
 END FUNCTION

Wird ein kontinuierlicherer Farbverlauf gewünscht, so bietet sich alternativ die Formel

    Julia = max_iter - remain_iter - log(log(betrag_2) / log(4)) / log(2)

an, die keine ganzen, sondern reelle Werte liefert. Für die Folge mit c = 0 und dem Startwert z₀ = 2 liefert diese Formel den Wert null. Es ergibt sich ferner eine von max_betrag_2 unabhängige Farbgebung, sofern dieser Wert groß gegen 1 ist.

Ein erheblicher Teil der Rechenzeit wird dort benötigt, wo die Zahlenfolge nicht divergiert. Moderne Programme bemühen sich, mit verschiedenen Verfahren die Rechenzeit für diese Stellen zu reduzieren. Eine Möglichkeit besteht darin, die Rechnung bereits abzubrechen, wenn die Zahlenfolge konvergiert ist oder sich in einem periodischen Zyklus gefangen hat. Andere Programme nutzen aus, dass jeder Punkt im Inneren einer geschlossenen Kurve, die nur Punkte aus ${\displaystyle \mathbb {M} }$ enthält, ebenfalls dazugehört.

Verwendung komplexer Matrizen

Das Ändern der Datenstruktur kann den Algorithmus vereinfachen und sogar die Rechenzeit etwas verkürzen. In den folgenden Programmbeispielen werden mit der NumPy-Programmbibliothek Berechnungen mit komplexen Matrizen durchgeführt, wodurch eine explizite Iteration über alle Bildpunkte entfällt.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

d, h = 800, 600  # Pixeldichte (= Bildbreite) und Bildhöhe
n, r = 100, 500  # Anzahl der Iterationen und Fluchtradius (r > 2)

x = np.linspace(0, 2, num=d+1)
y = np.linspace(0, 2 * h / d, num=h+1)

A, B = np.meshgrid(x - 1, y - h / d)
C = 2.0 * (A + B * 1j) - 0.5

Z = np.zeros_like(C)
T = np.zeros(C.shape)

for k in range(n):
    M = abs(Z) < r
    T[M] = T[M] + 1
    Z[M] = Z[M] ** 2 + C[M]

N = abs(Z) >= r  # Normalisierung der Iterationszahlen
T[N] = T[N] - np.log2(np.log(abs(Z[N])) / np.log(r))

plt.imshow(T ** 0.5, cmap=plt.cm.twilight_shifted, origin="lower")
plt.savefig("Mandelbrot_set.png", dpi=200)

Um die Normalisierung der Iterationszahlen zu verstehen, kann anstelle der eigentlichen Folge ${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}^{2}+c}$ mit Startwert ${\displaystyle z_{0}=0}$ die vereinfachte Folge ${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}^{2}+0}$ mit Startwert ${\displaystyle z_{0}=c}$ betrachtet werden. Die ersten Folgenglieder sind dann ${\displaystyle z_{0}=c}$, ${\displaystyle z_{1}=c^{2}}$, ${\displaystyle z_{2}=c^{4}}$ und ${\displaystyle z_{3}=c^{8}}$, ganz allgemein erhält man das Folgenglied ${\displaystyle z_{n}=c^{2^{n}}}$ (vgl. die kurze Begründung bei Inigo Quilez oder die ausführliche Analyse bei Jussi Härkönen).

Betrachtet man die Iterationszahl ${\displaystyle n}$, bei der die Folge den Fluchtradius ${\displaystyle r}$ erreicht oder überschreitet, so gilt ${\displaystyle |z_{n-1}|<r\leq |z_{n}|}$ und ${\displaystyle |c|^{2^{n-1}}<r\leq |c|^{2^{n}}}$. Sucht man nun die Fluchtzeit ${\displaystyle t}$ mit ${\displaystyle n-1<t\leq n}$ und ${\displaystyle |c|^{2^{t}}=r}$, so erhält man ${\displaystyle t=\log _{2}(\log _{|c|}r)}$. Wegen ${\displaystyle |z_{n}|=|c|^{2^{n}}}$ ist ${\displaystyle n=\log _{2}(\log _{|c|}|z_{n}|)}$, und es gilt:

${\displaystyle n-t=\log _{2}(\log _{|c|}|z_{n}|)-\log _{2}(\log _{|c|}r)=\log _{2}({\tfrac {\log |z_{n}|}{\log r}})=\log _{2}(\log _{r}|z_{n}|).}$

Somit erhält man die Fluchtzeit ${\displaystyle t=n-\log _{2}({\tfrac {\log |z_{n}|}{\log r}})}$ durch eine nachträgliche Korrektur der Iterationszahl ${\displaystyle n}$. Die äquivalente Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {\log |z_{n}|}{2^{n}}}={\tfrac {\log r}{2^{t}}}}$ weist auf eine enge Beziehung zum Potential ${\displaystyle \Phi (c)=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {\log |z_{n}(c)|}{2^{n}}}}$ hin.

Eine interessante Anwendung ist ein einfaches Beleuchtungsmodell mit Lichtstreuung an den Äquipotential-Isolinien. Wenn die Iterationszahl ${\displaystyle n}$ groß genug ist, lassen sich im Außenbereich der Mandelbrot-Menge Normalenvektoren zu den Äquipotentiallinien mithilfe des Gradienten berechnen. Da das Polynom ${\displaystyle z_{n}(c)}$ eine ganze Funktion ist, kann der Gradient des Potentials ${\displaystyle \Phi }$ durch die komplexe Ableitung ${\displaystyle dz_{n}=z_{n}\!'(c)}$ und die Konjugation dargestellt werden:

${\displaystyle \operatorname {grad} \Phi \approx \nabla {\frac {\log |z_{n}|}{2^{n}}}={\frac {1}{2^{n}}}\nabla \log |z_{n}|={\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {\overline {dz_{n}}}{\overline {z_{n}}}}={\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {|dz_{n}|^{2}}{|z_{n}|^{2}}}\cdot {\frac {z_{n}}{dz_{n}}}.}$

Nach dem Lambertschen Gesetz lässt sich das an den Äquipotentiallinien gestreute Licht durch ein Skalarprodukt der Normalenvektoren und eines Vektors in Lichtrichtung bestimmen. Da die Länge der Vektoren dabei keine Rolle spielt, können die Normalenvektoren einfach durch den komplexwertigen Quotienten ${\displaystyle z_{n}/dz_{n}}$ berechnet werden. Dabei ist die Division durch die Ableitung ${\displaystyle dz_{n}}$ im Außenbereich ${\displaystyle |z_{n}|>2}$ immer möglich, da alle Nullstellen von ${\displaystyle z_{n}}$ und ${\displaystyle dz_{n}}$ im Innenbereich ${\displaystyle |z_{n}|\leq 2}$ liegen (vgl. den Satz von Gauß-Lucas und die Verschärfung dieses Satzes von Jensen).

Logarithmische Projektion

Im folgenden Programmbeispiel wird eine logarithmische Projektion der Mandelbrot-Menge berechnet, die auch als Mercator-Projektion der riemannschen Zahlenkugel verstanden werden kann. Durch die logarithmische Projektion kann die Erstellung von Zoom-Animationen der Mandelbrot-Menge extrem beschleunigt werden (vgl. auch die Animation bei Thorsten Förstemann und die Koordinatenanalyse bei Claude Heiland-Allen).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

d, h = 200, 1000  # Pixeldichte (= Bildbreite) und Bildhöhe
n, r = 800, 5000  # Anzahl der Iterationen und Fluchtradius (r > 2)

x = np.linspace(0, 2, num=d+1)
y = np.linspace(0, 2 * h / d, num=h+1)

A, B = np.meshgrid(x * np.pi, y * np.pi)
C = 4.0 * np.exp((A + B * 1j) * 1j) + (- 1.748764520194788535 + 3e-13 * 1j)

Z, dZ = np.zeros_like(C), np.zeros_like(C)
D = np.zeros(C.shape)

for k in range(n):
    M = Z.real ** 2 + Z.imag ** 2 < r ** 2
    Z[M], dZ[M] = Z[M] ** 2 + C[M], 2 * Z[M] * dZ[M] + 1

N = abs(Z) > 2  # Distanzschätzung des Außenbereichs
D[N] = np.log(abs(Z[N])) * abs(Z[N]) / abs(dZ[N])

plt.imshow(D.T ** 0.05, cmap=plt.cm.nipy_spectral, origin="lower")
plt.savefig("Mercator_Mandelbrot_map.png", dpi=200)

Auch bei der Distanzschätzung wird die Ableitung ${\displaystyle dz_{n}=z_{n}\!'(c)}$ benötigt. Die ersten Polynome sind ${\displaystyle z_{0}=0}$, ${\displaystyle z_{1}=c}$, ${\displaystyle z_{2}=c^{2}+c}$ und ${\displaystyle z_{3}=(c^{2}+c)^{2}+c}$, die zugehörigen Ableitung sind ${\displaystyle dz_{0}=0}$, ${\displaystyle dz_{1}=1}$, ${\displaystyle dz_{2}=2c+1}$ und ${\displaystyle dz_{3}=2(c^{2}+c)(2c+1)+1}$. Alle weiteren Polynome und Ableitungen ergeben sich aus der Iterationsvorschrift ${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}^{2}+c}$ und der Ableitungsregel ${\displaystyle dz_{k+1}=2z_{k}dz_{k}+1}$.

Um die Schätzformel ${\displaystyle \delta _{n}=\log(|z_{n}|)\cdot |z_{n}|/|dz_{n}|}$ zu verstehen, können die vereinfachten Folgen ${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}^{2}+0}$ und ${\displaystyle dz_{k+1}=2z_{k}dz_{k}+0}$ mit den Startwerten ${\displaystyle z_{0}=c}$ und ${\displaystyle dz_{0}=1}$ betrachtet werden. Die ersten Polynome sind ${\displaystyle z_{0}=c}$, ${\displaystyle z_{1}=c^{2}}$, ${\displaystyle z_{2}=c^{4}}$ und ${\displaystyle z_{3}=c^{8}}$, die zugehörigen Ableitungen sind ${\displaystyle dz_{0}=1}$, ${\displaystyle dz_{1}=2c}$, ${\displaystyle dz_{2}=4c^{3}}$ und ${\displaystyle dz_{3}=8c^{7}}$. Ganz allgemein erhält man so das Polynom ${\displaystyle z_{n}=c^{2^{n}}}$ und die Ableitung ${\displaystyle dz_{n}=2^{n}c^{2^{n}-1}}$. Die zugehörige Julia-Menge ist genau der Rand des Einheitskreises (vgl. das Beispiel zur Dynamik von f(z) = z² im Artikel zur Julia-Menge, die kurze Begründung bei van den Doel oder die umfassende Analyse bei Dang, Kauffman und Sandin).

Die Schätzformel ergibt ${\displaystyle \delta _{n}=\log(|c|^{2^{n}})\cdot |c|^{2^{n}}/(2^{n}|c|^{2^{n}-1})=\ln(|c|)\cdot |c|}$, was eine gute Näherung für den Abstand zum Einheitskreis ist, wenn der Punkt ${\displaystyle c}$ nahe am Rand liegt: ${\displaystyle |c|=1{,}1}$ ergibt ${\displaystyle \delta _{n}=\ln(1{,}1)\cdot 1{,}1\approx 0{,}1}$ und ${\displaystyle |c|=1{,}01}$ ergibt ${\displaystyle \delta _{n}=\ln(1{,}01)\cdot 1{,}01\approx 0{,}01}$. Wenn also die wirkliche Entfernung zur Mandelbrot-Menge gleich ${\displaystyle \delta }$ ist, so ergibt die Schätzformel den Wert ${\displaystyle \delta _{n}=\log(|z_{n}|)\cdot |z_{n}|/|dz_{n}|\approx \ln(1+\delta )\cdot (1+\delta )\approx \delta }$.