Attraktor (lat. ad trahere „zu sich hin ziehen“) ist ein Begriff aus der Theorie dynamischer Systeme und beschreibt eine Untermenge eines Phasenraums (d. h. eine gewisse Anzahl von Zuständen), auf die sich ein dynamisches System im Laufe der Zeit zubewegt und die unter der Dynamik dieses Systems nicht mehr verlassen wird. Das heißt, eine Menge von Variablen nähert sich im Laufe der Zeit (asymptotisch) einem bestimmten Wert, einer Kurve oder etwas Komplexerem (also einer Region im n-dimensionalen Raum) und bleibt dann im weiteren Zeitverlauf in der Nähe dieses Attraktors.

Ein Attraktor erscheint als klar erkennbare Struktur. Umgangssprachlich könnte man von einer Art „stabilen Zustands“ eines Systems sprechen (wobei auch periodisch, also wellenartig wiederkehrende Zustände oder andere erkennbare Muster gemeint sein können), also ein Zustand, auf den sich ein System hinbewegt.

Bekannte Beispiele sind der Lorenz-Attraktor, der Rössler-Attraktor und die Nullstellen einer differenzierbaren Funktion, welche Attraktoren des zugehörigen Newton-Verfahrens sind.

Das Gegenteil eines Attraktors wird Repellor oder negativer Attraktor genannt. Angewendet werden die Begriffe in der Physik, Mathematik und Biologie.

Fachterminus

Die Menge aller Punkte des Phasenraums, die unter der Dynamik demselben Attraktor zustreben, heißt Attraktions- oder Einzugsgebiet dieses Attraktors.

Mathematische Definition

Formal betrachte man ein dynamisches System bestehend aus einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ und einer Transformation ${\displaystyle f:{\mathcal {T}}\times X\longrightarrow X}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ein linear geordnetes Monoid ist – wie ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,[0,\infty [}$ oder ${\displaystyle \mathbb {R} }$ – und ${\displaystyle f}$ normalerweise stetig oder mindestens messbar ist (oder mindestens wird verlangt, dass ${\displaystyle f(t,\cdot ):X\longrightarrow X}$ stetig/messbar ist für jedes ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$) und erfüllt

${\displaystyle f(t+s,x)=f(t,f(s,x))}$ für alle »Zeiten« ${\displaystyle t,s\in {\mathcal {T}}}$ und Punkte ${\displaystyle x\in X}$.

Definition 1. Eine Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ heißt dann vorwärts invariant, wenn

${\displaystyle \forall {t\geq 0:}~f(t,A)\subseteq A.}$

Mit anderen Worten: Sobald ein Punkt in die Teilmenge gelangt, entkommt er ihr nicht mehr.

Definition 2. Unter dem Sammelbecken einer Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ versteht man die Menge

${\displaystyle B(A):=\{x\in X\mid \forall {U\in {\mathcal {N}}(A):~}\exists {t_{0}\geq 0:~}\forall {t\geq t_{0}:~}f(t,x)\in U\},}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {N}}(A)}$ die Menge der Umgebungen von ${\displaystyle A}$ ist. Mit Worten: Ist ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$ in ${\displaystyle B(A)}$ genau dann, wenn für alle Umgebungen ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle A}$ dieser Punkt ab einem Zeitpunkt ${\displaystyle t_{0}}$ sich immer in dieser Umgebung aufhält.

Bemerkung. Im Falle eines kompakten metrisierten Raums ${\displaystyle (X,d)}$ ist diese Definition äquivalent zu

${\displaystyle B(A):=\{x\in X\mid \lim _{t\to \infty }d(f(t,x),A)=0\}.}$

Bemerkung. Angenommen, der Raum sei metrisierbar und ${\displaystyle A}$ sei kompakt. Aus der Definition eines Sammelbeckens geht hervor, dass ${\displaystyle B(A)}$ vorwärts invariant ist und ${\displaystyle \bigcap \{f(t,B(A))\mid t>0\}={\overline {A}}}$. Manche Autoren definieren das Sammelbecken als die (offene) Menge mit diesen beiden Eigenschaften.

Definition 3. Unter einem Attraktor versteht man eine Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$, die den folgenden Bedingungen genügt

1. ${\displaystyle A}$ ist vorwärts invariant;

2. Das Sammelbecken ${\displaystyle B(A)}$ ist eine Umgebung von ${\displaystyle A}$;

3. ${\displaystyle A}$ ist eine minimale nicht leere Teilmenge von ${\displaystyle X}$ mit Bedingungen 1 und 2.

Bemerkung. Bedingung 1 erfordert eine gewisse Stabilität des Attraktors. Daraus folgt offensichtlich, dass ${\displaystyle A\subseteq B(A)}$. Anhand Bedingung 2 wird weiterhin verlangt, dass ${\displaystyle A\subseteq B(A)^{\circ }}$ und bedeutet u. a., jeder Punkt in einer gewissen Nähe von ${\displaystyle A}$ nähere sich dem Attraktor beliebig. Manche Autoren lassen Bedingung 2 weg. Bedingung 3 erfordert, dass der Attraktor nicht in weitere Komponenten zerlegt werden kann (ansonsten wäre bspw. der ganze Raum trivialerweise ein Attraktor).

Siehe auch

• Poincaré-Abbildung

Literatur

• G. Jetschke: Mathematik der Selbstorganisation. Harri-Deutsch-Verlag, Frankfurt/Main, 1989
• T. Schürmann und I. Hoffmann: The entropy of strange billiards inside n-simplexes. In: J. Phys. Band A28, 1995, S. 5033ff. arxiv:nlin/0208048

Weblinks

• Attraktor-Programm Chaoscope (Freeware)

Quellen

1. ↑ T. Schürmann und I. Hoffmann: The entropy of strange billiards inside n-simplexes. In: J. Phys. Band A28, 1995, S. 5033ff. arxiv:nlin/0208048
2. ↑ Milnor, J. (1985). „On the Concept of Attractor.“ Comm. Math. Phys 99: 177–195.