Zyklische Gruppen

Es sei ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{r}}$ die zyklische Gruppe mit ${\displaystyle r}$ Elementen. Die Elemente werden mit ${\displaystyle [0],[1],\ldots [r-1]}$ bezeichnet. Sei ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/r}\in \mathbb {C} }$. Dann erhält man folgende Charaktertafel:

${\displaystyle \mathbb {Z} _{r}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle 1}$
	${\displaystyle [0]}$	${\displaystyle [1]}$	${\displaystyle [2]}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle [r-1]}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega }$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \omega ^{r-1}}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{4}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \omega ^{r-2}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle \chi _{r}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \omega ^{r-1}}$	${\displaystyle \omega ^{r-2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle \omega }$

Es ist ${\displaystyle \chi _{i}([j])=\omega ^{(i-1)j}}$.

Kleinsche Vierergruppe

Es sei ${\displaystyle V_{4}=\{1,a,b,ab\}}$ die kleinsche Vierergruppe. Da ${\displaystyle V_{4}\cong \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$ und da man zeigen kann, dass die Charaktere eines direkten Produktes von Gruppen die Produkte der Charaktere der Faktoren dieses Produktes sind, kann man die Charaktertafel aus derjenigen von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ gewinnen. Man erhält:

${\displaystyle V_{4}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle ab}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{4}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$

Symmetrische Gruppe S₃

Die symmetrische Gruppe S₃ muss neben dem trivialen Homomorphismus und der Signumfunktion mindestens einen weiteren irreduziblen Charakter ${\displaystyle \chi _{3}}$ haben und mindestens einen mit Dimension größer als 1, da die Gruppe sonst abelsch wäre. Da die Summe der Quadrate der Dimensionen gleich der Gruppenordnung ist, bleibt nur ${\displaystyle d_{3}=2}$ und mittels der Orthogonalitätsrelationen sind auch die beiden anderen Werte von ${\displaystyle \chi _{3}}$ festgelegt. Man erhält:

${\displaystyle S_{3}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1,2)}$	${\displaystyle (1,2,3)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$

Nichtabelsche 8-elementige Gruppe

Allein aus der Kenntnis, dass eine Gruppe ${\displaystyle G}$ 8 Elemente hat und nicht abelsch ist, lässt sich die Charaktertafel konstruieren. Da ${\displaystyle G}$ eine 2-Gruppe ist, kann das Zentrum ${\displaystyle Z}$ nicht trivial sein und ${\displaystyle G/Z}$ hat 2 oder 4 Elemente und kann nicht zyklisch sein, da sonst ${\displaystyle G}$ abelsch wäre. Also muss ${\displaystyle G/Z\cong V_{4}}$ sein. Da es wegen ${\displaystyle 3^{2}=9>8}$ höchstens irreduzible Charaktere der Dimension 2 geben kann, da es mit dem trivialen Charakter immer einen der Dimension 1 gibt und da die Summe der Quadrate der Dimensionen 8 ergeben muss, bleibt nur die Möglichkeit von 5 irreduziblen Charakteren der Dimensionen 1,1,1,1,2. Also muss es auch 5 Konjugationsklassen geben, deren jeweiliger Vertreter mit ${\displaystyle 1,-1,a,b,c}$ bezeichnet sei, wobei ${\displaystyle -1\in Z}$. Mittels ${\displaystyle |Z|=2}$, ${\displaystyle G/Z\cong V_{4}}$ und Orthogonalitätsrelationen kann man zeigen, dass notwendig folgende Charaktertafel vorliegen muss:

${\displaystyle G}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{4}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{5}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

Da es mit der Diedergruppe D₄ und der Quaternionengruppe zwei nicht-isomorphe nichtabelsche Gruppen der Ordnung 8 gibt, zeigt dieses Beispiel, dass sich die Gruppe nicht aus der Charaktertafel rekonstruieren lässt.

Alternierende Gruppe A₄

Die alternierende Gruppe A₄ ist nichtabelsch und hat 4 Konjugationsklassen. Für die Dimensionen der Darstellungsräume bleibt dann nur noch die Folge 1,1,1,3 und es ergibt sich

${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 4}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1,2)\,(3,4)}$	${\displaystyle (1,2,3)}$	${\displaystyle (1,3,2)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \textstyle e^{\frac {2\pi i}{3}}}$	${\displaystyle \textstyle e^{\frac {4\pi i}{3}}}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \textstyle e^{\frac {4\pi i}{3}}}$	${\displaystyle \textstyle e^{\frac {2\pi i}{3}}}$
${\displaystyle \chi _{4}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

Alternierende Gruppe A₅

Die Überlegungen für die Charaktertafel der alternierenden Gruppe A₅ fallen schon etwas komplizierter aus. Daher soll hier nur das Ergebnis angegeben werden:

${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 12}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1,2)\,(3,4)}$	${\displaystyle (1,2,3)}$	${\displaystyle (1,2,3,4,5)}$	${\displaystyle (1,3,5,2,4)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \chi _{4}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$
${\displaystyle \chi _{5}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Symmetrische Gruppe S₅

Schließlich soll mit der Charaktertafel der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{5}}$ noch ein etwas größeres Beispiel angegeben werden:

${\displaystyle S_{5}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 15}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 30}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 24}$
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle (1,2)}$	${\displaystyle (1,2)\,(3,4)}$	${\displaystyle (1,2,3)}$	${\displaystyle (1,2,3,4)}$	${\displaystyle (1,2,3)\,(4,5)}$	${\displaystyle (1,2,3,4,5)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \chi _{3}}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{4}}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \chi _{5}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \chi _{6}}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \chi _{7}}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$

Beispiel

Die Charaktertafel der ${\displaystyle C_{2v}}$-Punktgruppe (kleinsche Vierergruppe, hier in der Schoenflies-Symbolik geschrieben) wird wie folgt mit chemisch relevanten Informationen erweitert

${\displaystyle C_{2v}}$	${\displaystyle E}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle \sigma _{v}(xz)}$	${\displaystyle \sigma _{v}'(yz)}$	${\displaystyle h=4}$
${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle z}$	${\displaystyle x^{2},y^{2},z^{2}}$
${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle R_{z}}$	${\displaystyle xy}$
${\displaystyle B_{1}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle x,R_{y}}$	${\displaystyle xz}$
${\displaystyle B_{2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle y,R_{x}}$	${\displaystyle yz}$

Die erste Bezeichnung ist die Punktgruppe, in der ersten Zeile stehen die Symmetrieelemente R, die in ihr enthalten sind. Kommt ein Symmetrieelement n-mal vor, dann schreibt man ${\displaystyle nR}$ oder stellt wie oben eine weitere Zeile mit den Anzahlen voran. In diesem Fall sind alle Anzahlen gleich 1. Die ${\displaystyle nR}$ Symmetrieelemente bilden eine Klasse mit der Ordnung ${\displaystyle n}$. Die Gesamtzahl der Symmetrieelemente ist die Ordnung der Gruppe. Im Beispiel der Punktgruppe ${\displaystyle C_{2v}}$ ist die Ordnung vier (${\displaystyle h=4}$). In der ersten Spalte stehen die irreduziblen Darstellungen ${\displaystyle \Gamma _{i}}$. Im obenstehenden Beispiel sind diese in lateinischen Buchstaben mit Indices, den sogenannten Mulliken-Symbolen wiedergegeben. In den folgenden Spalten stehen die Werte der Charaktere ${\displaystyle \chi ^{R}}$ (hier: −1 und +1). In den letzten beiden Spalten stehen die Basen der irreduziblen Darstellungen, bzw. Orbitale, die sich wie eine irreduzible Darstellung transformieren. Man sagt z. B. die Drehung um die z-Achse ${\displaystyle R_{z}}$ transformiert wie ${\displaystyle A_{2}}$.

Die vorletzte Spalte erlaubt Rückschlüsse darauf, ob eine Molekülbewegung – in ihrer Symmetrie charakterisiert durch ihre irreduzible Darstellung ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ – in der Infrarotspektroskopie oder ein elektronischer Übergang zwischen zwei Orbitalen in der UV/VIS-Spektroskopie sichtbar sein kann (transformiert wie ${\displaystyle x,y,z}$, zeigt also Translation – wobei es jeweils zu einer Dipolmomentänderung kommt). Oder ob, wie aus der letzten Spalte hervorgeht, die Molekülbewegung mittels Raman-Streuung nachweisbar ist (transformiert wie ${\displaystyle xy,xz,yz}$ sowie ${\displaystyle x^{2},y^{2},z^{2},x^{2}-y^{2}}$, also entsprechend dem Polarisierbarkeitstensor mit verbundener Polarisierbarkeitsänderung).

Rotationen und Schwingungen

• Die Angaben ${\displaystyle R_{x}}$, ${\displaystyle R_{y}}$ und ${\displaystyle R_{z}}$ beziehen sich auf Molekülrotationen in x-, y- und z-Richtung, die wie die irreduziblen Darstellungen transformieren. z. B. transformiert bei einem Molekül der Punktgruppe ${\displaystyle C_{2v}}$ die Rotation um die z-Achse ${\displaystyle R_{z}}$ wie ${\displaystyle A_{2}}$.

Die Eigenschwingungen des Moleküls transformieren ebenfalls wie eine der irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe des Moleküls.

Orbitale

Die Symmetrien der Basis-Orbitale eines Moleküls lassen sich ebenfalls einer irreduziblen Darstellung der Punktgruppe zuordnen. Hat ein Charakter bei einer bestimmten Darstellung und einem bestimmten Symmetrieelement z. B. den Charakter „+1“, dann ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion bei Anwendung dieses Symmetrieelements nicht. Ist er „-1“ dann ändert es sich.

Beispiel (Fortsetzung)

Ein Molekül gehöre zur Punktgruppe ${\displaystyle C_{2v}}$ (siehe Charaktertafel oben). Zu seinem Basissatz gehöre das ${\displaystyle p_{x}}$-Orbital, das auf der ${\displaystyle x}$-Achse liegt und wie ${\displaystyle B_{1}}$ transformiert. Spiegelung an der ${\displaystyle xz}$-Spiegelebene bewirkt keine Änderung des Orbitals, es wird auf sich selbst abgebildet, der Charakter ist „+1“. Spiegelt man das ${\displaystyle x}$-Orbital dagegen an der ${\displaystyle yz}$-Ebene, ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion, der Charakter ist also „-1“, wie aus der Charaktertafel erkennbar.

Reduzible und irreduzible Darstellungen, ausreduzieren

Eine irreduzible Darstellung ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {red} }}$ besitzt nur ${\displaystyle {0}}$ und ${\displaystyle L}$ als invariante Unterräume. Alle anderen Unterräume mixen. Eine reduzible Darstellung zerfällt in verschiedene Unterräume.

Wenn eine Darstellung ${\displaystyle \rho }$ vollständig reduzibel ist, kann sie als direkte Summe von irreduziblen Darstellungen betrachtet werden. Nicht jede reduzible Darstellung ist vollständig reduzibel.

Bei vollständig reduziblen Darstellungen können die Anteile ${\displaystyle a_{i}}$ der irreduziblen Darstellungen in einer reduziblen Darstellung durch Raten oder folgende Formel ermittelt werden:

${\displaystyle a_{i}={1 \over h}\sum _{R}n\chi ^{R}\chi _{i}^{R}}$

${\displaystyle h}$ ist die Ordnung der Gruppe, ${\displaystyle n}$ die Ordnung der Klasse, ${\displaystyle \chi _{i}^{R}}$ der Charakter der jeweiligen irreduziblen Darstellung ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ und ${\displaystyle \chi ^{R}}$ der Charakter der reduziblen Darstellung ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {red} }}$.

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {red} }=\sum _{R}a_{i}\Gamma _{i}}$