Definition

Die totale Variation einer reellwertigen Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das Supremum

${\displaystyle \sup _{P}\sum _{i}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,}$

wobei dieses Supremum über alle möglichen Partitionen ${\displaystyle P=\{x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid x_{1}<\dotsb <x_{n}\}}$ des Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$ gebildet wird. Das hier angegebene ${\displaystyle n}$ hängt von ${\displaystyle P}$ ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind Riemann-Stieltjes-integrierbar. Deshalb kann ${\displaystyle BV[a,b]}$ mit einer Halbnorm ausgestattet werden:

${\displaystyle n(f)=\sup _{\varphi }\int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,\mathrm {d} x}$.

Hierbei wird das Supremum über alle stetig differenzierbaren Funktionen ${\displaystyle \mathrm {\varphi } }$ mit kompaktem Träger und Funktionswerten im Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ gebildet.

Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum, das die beschränkte Variation definiert, überein.

Beispiel

Ein einfaches Beispiel für eine Funktion mit unbeschränkter Variation ist ${\displaystyle \textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$ in der Nähe von ${\displaystyle x=0}$. Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des Quotienten ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ für ${\displaystyle x\to 0}$ mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}}$

ist ebenfalls nicht von beschränkter Schwankung im Intervall [0, 1], im Gegensatz zur Funktion:

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0,&{\text{falls }}x=0\\x^{2}\sin(1/x),&{\text{falls }}x\neq 0\end{cases}}}$.

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für ${\displaystyle x\to 0}$ stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

Erweiterungen

Diese Definition kann auch für komplexwertige Funktionen oder Funktionen mit Werten in einem metrischen Raum ${\displaystyle (Y,d)}$ verwendet werden (ersetze in letzterem Falle ${\displaystyle \vert f(x_{i+1})-f(x_{i})\vert }$ durch ${\displaystyle d(f(x_{i}),f(x_{i+1}))}$).

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine offene Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Eine Funktion ${\displaystyle u\in L^{1}(\Omega )}$ ist von beschränkter Variation oder Element von ${\displaystyle BV(\Omega )}$, wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D. h., es existiert ${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$, so dass

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\,\operatorname {div} {\varphi }(x)\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle \varphi ,Du(x)\rangle \qquad {\text{für alle }}{\varphi }\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

gilt.