Kreisförmige Leiterschleife

Der Betrag der magnetischen Flussdichte einer kreisförmigen, gegen den Uhrzeigersinn durchflossenen Leiterschleife kann mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes auf der Symmetrieachse senkrecht zur Leiterschleife geschlossen angegeben werden:

${\displaystyle B(z)={\frac {\mu _{0}}{2}}\,{\frac {R^{2}I}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle R}$ der Radius der in der ${\displaystyle xy}$-Ebene liegenden Leiterschleife. Das Feld ist in ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}$-Richtung gerichtet.

Durch die Substitution

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {R}{z}}}$

erhält man daraus

${\displaystyle B\left(\alpha \right)={\frac {I\mu _{0}}{2R}}\sin ^{3}{\alpha }.}$

Im Fall ${\displaystyle R\ll r}$ kann das Feld der Leiterschleife als Dipolfeld behandelt werden: Beispielsweise zeigt es für Punkte auf der ${\displaystyle z}$-Achse für große Abstände (große ${\displaystyle z}$) eine ${\displaystyle {\tfrac {1}{z^{3}}}}$-Abhängigkeit:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}m}{2\pi \left|z\right|^{3}}}}$

mit dem magnetischen (Dipol-)Moment ${\displaystyle m=I\pi R^{2}}$ (Strom × Fläche der Leiterschleife).

Gerader Linienleiter

Zur Berechnung der Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}}$ eines geraden Linienleiters der Länge ${\displaystyle 2L}$ eignen sich Zylinderkoordinaten ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$. Dabei legt man den Ursprung des Koordinatensystems mittig in den Linienleiter parallel zur ${\displaystyle z}$-Achse. Die Stromdichte des Linienleiters ist dann ${\displaystyle {\vec {j}}({\vec {r}}')=I{\tfrac {1}{\rho '}}\delta (\rho ')\delta (\varphi ')\Theta (L-|z'|){\vec {e}}_{z}}$ mit der Delta-Distribution ${\displaystyle \delta }$ und der Heaviside-Funktion ${\displaystyle \Theta }$. Dadurch vereinfacht sich das Volumenintegral des Biot-Savart-Gesetzes auf ein einfaches Integral über ${\displaystyle z'}$ und das Vektorpotential folgt zu:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-L}^{L}\mathrm {d} z'{\frac {{\vec {e}}_{z}}{\sqrt {\rho ^{2}+(z'-z)^{2}}}}}$

Im Fall des Linienleiters ist es einfacher, zuerst die Rotation zu bilden und dann zu integrieren. Da das Vektorpotential nur eine ${\displaystyle z}$-Komponente aufweist und diese nicht von ${\displaystyle \varphi }$ abhängt, ist diese

${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}=-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}{\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-L}^{L}\mathrm {d} z'\,{\frac {\rho }{{\sqrt {\rho ^{2}+(z'-z)^{2}}}^{3}}}{\vec {e}}_{\varphi }}$.

Die Substitution ${\displaystyle \tan \xi ={\tfrac {z'-z}{\rho }}}$ liefert mit ${\displaystyle \mathrm {d} z'=\rho {\tfrac {1}{\cos ^{2}\xi }}\mathrm {d} \xi }$ dann

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\arctan {\frac {-L+z}{\rho }}}^{\arctan {\frac {L+z}{\rho }}}\mathrm {d} \xi {\frac {\cos \xi }{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi \rho }}\left(\sin \arctan {\frac {L+z}{\rho }}+\sin \arctan {\frac {L-z}{\rho }}\right){\vec {e}}_{\varphi }}$.

Der Fall eines unendlich langen geraden Linienleiters ergibt sich aus dem Grenzfall des geraden Leiters mit ${\displaystyle L\to \infty }$.

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}I}{2\pi \rho }}{\vec {e}}_{\varphi }}$

Dabei hängt die magnetische Flussdichte nur noch vom radialen Abstand des Punktes zum Leiter ab, da aus der Translationssymmetrie die Abhängigkeit von ${\displaystyle z}$ verschwinden muss.

Rahmenspule

Nach der runden Spule ist die Rahmenspule (mit ${\displaystyle N}$ Windungen) die am häufigsten verwendete Variante. Die Formel für das Magnetfeld im Zentrum kann aus der Formel für den Linienleiter abgeleitet werden, indem man die geraden Abschnitte der Spule als Linienleiter behandelt.

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}\,N\,I}{4\,\pi }}\,2\,\left({\frac {2\,\sin {\alpha }}{\frac {a}{2}}}+{\frac {2\,\sin {\beta }}{\frac {b}{2}}}\right)\,{\vec {\hat {x}}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}\,N\,I}{\pi }}\,2\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\,{\vec {\hat {x}}}}$

mit

${\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {b}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}}$

${\displaystyle \sin {\beta }={\frac {a}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}}$

Für das Magnetfeld auf der ${\displaystyle x}$-Achse, in großem Abstand von der Spule, ergibt sich

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,I\,a\,b}{2\,\pi x^{3}}},}$

also wieder eine Abhängigkeit wie beim Dipol. Mit magnetischem Moment ${\displaystyle m=NIab}$ gilt:

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}m}{2\,\pi x^{3}}}}$

Punktladung mit konstanter Geschwindigkeit

Im Falle einer Punktladung ${\displaystyle q}$, die sich mit konstanter Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ gemäß der Maxwell-Gleichungen bewegt, gelten für das elektrische und das magnetische Feld die Gleichungen

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\vec {{\hat {r}}'}}{|{\vec {r'}}|^{2}}},}$

${\displaystyle {\vec {H}}={\vec {v}}\times {\vec {D}}}$ oder umgeformt

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\vec {v}}\times {\vec {E}},}$

worin ${\displaystyle {\vec {{\hat {r}}'}}}$ der Einheitsvektor ist, der von der momentanen (nicht-retardierten) Position des Teilchens zu dem Punkt zeigt, in dem das Feld gemessen wird, und ${\displaystyle \theta }$ der Winkel zwischen ${\displaystyle {\vec {v}}}$ and ${\displaystyle {\vec {r}}'}$.

Im Fall ${\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}$ können das elektrische und das magnetische Feld näherungsweise wie folgt angegeben werden:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\vec {{\hat {r}}'}}{|{\vec {r}}'|^{2}}}}$

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}{\vec {v}}\times {\frac {\vec {{\hat {r}}'}}{|{\vec {r}}'|^{2}}}}$

Diese Gleichungen werden (wegen der Analogie mit dem „normalen“ Biot–Savart-Gesetz) „Biot–Savart-Gesetz für eine Punktladung“ genannt. Sie wurden zuerst von Oliver Heaviside im Jahre 1888 hergeleitet.