Identitätsgleichungen

Gleichungen können allgemeingültig sein, also durch Einsetzen aller Variablenwerte aus einer gegebenen Grundmenge oder zumindest aus einer vorher definierten Teilmenge davon wahr sein. Die Allgemeingültigkeit kann entweder mit anderen Axiomen bewiesen werden oder selber als Axiom vorausgesetzt werden.

Beispiele sind:

• der Satz des Pythagoras: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ist wahr für rechtwinklige Dreiecke, falls ${\displaystyle c}$ die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite (Hypotenuse) und ${\displaystyle a,b}$ die Katheten bezeichnen
• das Assoziativgesetz: ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ist wahr für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$ und allgemein für beliebige Elemente ${\displaystyle a,b,c}$ einer Gruppe (als Axiom)
• die erste binomische Formel: ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ ist wahr für alle reellen Zahlen ${\displaystyle a,b}$
• die eulersche Identität: ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \left(\varphi \right)+i\sin \left(\varphi \right)}$ ist wahr für alle reellen ${\displaystyle \varphi }$

In diesem Zusammenhang spricht man auch von einem mathematischen Satz oder Gesetz. Zur Unterscheidung von nicht allgemeingültigen Gleichungen wird bei Identitäten statt des Gleichheitszeichens auch das Kongruenzzeichen („≡“) verwendet.

Bestimmungsgleichungen

Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Variablenbelegungen zu bestimmen, für die die Gleichung wahr wird. Diesen Vorgang bezeichnet man als Lösen der Gleichung. Zur Unterscheidung von Identitätsgleichungen werden solche Gleichungen als Bestimmungsgleichungen bezeichnet. Die Menge der Variablenbelegungen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als Lösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um die leere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung als unlösbar oder unerfüllbar.

Ob eine Gleichung lösbar ist oder nicht, kann von der betrachteten Grundmenge abhängen, zum Beispiel gilt:

• die Gleichung ${\displaystyle x^{2}=2}$ ist unlösbar als Gleichung über den natürlichen oder den rationalen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge ${\displaystyle \lbrace {\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\rbrace }$ als Gleichung über den reellen Zahlen
• die Gleichung ${\displaystyle x^{2}=-2}$ ist unlösbar als Gleichung über den reellen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge ${\displaystyle \lbrace {\sqrt {2}}i,-{\sqrt {2}}i\rbrace }$ als Gleichung über den komplexen Zahlen

Bei Bestimmungsgleichungen treten mitunter Variablen auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden als Parameter bezeichnet. Beispielsweise lautet die Lösungsformel für die quadratische Gleichung

${\displaystyle x^{2}+px+q\;=\;0}$

bei gesuchter Unbekannte ${\displaystyle x}$ und gegebenen Parametern ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$

${\displaystyle x_{1,2}\;=\;-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}}$.

Setzt man eine der beiden Lösungen ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ in die Gleichung ein, so verwandelt sich die Gleichung in eine Identität, wird also für eine beliebige Wahl von ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ zur wahren Aussage. Für ${\displaystyle 4q\leq p^{2}}$ sind hier die Lösungen reell, ansonsten komplex.

Definitionsgleichungen

Gleichungen können auch verwendet werden, um ein neues Symbol zu definieren. In diesem Fall wird das zu definierende Symbol links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch das Definitionszeichen („:=“) ersetzt oder über das Gleichheitszeichen „def“ geschrieben.

Zum Beispiel wird die Ableitung einer Funktion ${\displaystyle f}$ an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ durch

${\displaystyle f'(x_{0}):=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

definiert. Im Gegensatz zu Identitäten sind Definitionen keine Aussagen; sie sind also weder wahr noch falsch, sondern nur mehr oder weniger zweckmäßig.

Homogene Gleichungen

Eine Bestimmungsgleichung der Form

${\displaystyle T(x)=0}$

heißt homogene Gleichung. Ist ${\displaystyle T}$ eine Funktion, nennt man die Lösung ${\displaystyle x}$ auch Nullstelle der Funktion. Homogene Gleichungen spielen bei der Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme und linearer Differentialgleichungen eine wichtige Rolle. Ist die rechte Seite einer Gleichung ungleich Null, heißt die Gleichung inhomogen.

Fixpunktgleichungen

Eine Bestimmungsgleichung der Form

${\displaystyle T(x)=x}$

heißt Fixpunktgleichung und deren Lösung ${\displaystyle x}$ nennt man Fixpunkt der Gleichung. Genaueres über die Lösungen solcher Gleichungen sagen Fixpunktsätze aus.

Eigenwertprobleme

Eine Bestimmungsgleichung der Form

${\displaystyle T(x)=\lambda x}$

heißt Eigenwertproblem, wobei die Konstante ${\displaystyle \lambda }$ (der Eigenwert) und die Unbekannte ${\displaystyle x\neq 0}$ (der Eigenvektor) gemeinsam gesucht werden. Eigenwertprobleme besitzen vielfältige Einsatzbereiche in der linearen Algebra, beispielsweise bei der Analyse und Zerlegung von Matrizen, und in Anwendungsgebieten, beispielsweise der Strukturmechanik und der Quantenmechanik.

Lineare Gleichungen

Eine Gleichung heißt linear, wenn sie in die Form

${\displaystyle T\left(x\right)=a}$

gebracht werden kann, wobei der Term ${\displaystyle a}$ unabhängig von ${\displaystyle x}$ ist und der Term ${\displaystyle T(x)}$ linear in ${\displaystyle x}$ ist, also

${\displaystyle T\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda T\left(x\right)+\mu T\left(y\right)}$

für Koeffizienten ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ gilt. Sinnvollerweise müssen die passenden Operationen definiert sein, es ist also notwendig, dass ${\displaystyle T(x)}$ und ${\displaystyle a}$ aus einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ sind, und die Lösung ${\displaystyle x}$ aus dem gleichen oder einem anderen Vektorraum ${\displaystyle W}$ gesucht wird.

Lineare Gleichungen sind normalerweise wesentlich einfacher zu lösen als nichtlineare. So gilt für lineare Gleichungen das Superpositionsprinzip: Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Gleichung ist die Summe einer Partikulärlösung der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung.

Wegen der Linearität ist zumindest ${\displaystyle x=0}$ eine Lösung einer homogenen Gleichung. Hat eine homogene Gleichung also eine eindeutige Lösung, so hat auch eine entsprechende inhomogene Gleichung höchstens eine Lösung. Eine verwandte, aber wesentlich tiefer gehende Aussage in der Funktionalanalysis ist die Fredholmsche Alternative.

Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen werden oft nach der Art der Nichtlinearität unterschieden. Insbesondere in der Schulmathematik werden die nachfolgenden Grundtypen von nichtlinearen Gleichungen behandelt.

Algebraische Gleichungen

Um Gleichungen, bei denen eine reelle Zahl oder ein reeller Vektor gesucht wird, von Gleichungen, bei denen beispielsweise eine Funktion gesucht ist, zu unterscheiden, wird manchmal auch die Bezeichnung algebraische Gleichung verwendet, wobei diese Bezeichnung dann aber nicht auf Polynome eingeschränkt ist. Diese Sprechweise ist jedoch umstritten.

Diophantische Gleichungen

Sucht man ganzzahlige Lösungen einer skalaren Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, so spricht man von einer Diophantischen Gleichung. Ein Beispiel einer kubischen Diophantischen Gleichung ist

${\displaystyle 2x^{3}-x^{2}-8x=-4}$,

von der ganzzahlige ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ gesucht werden, die die Gleichung erfüllen, hier die Zahlen ${\displaystyle x=\pm 2}$.

Differenzengleichungen

Ist die Unbekannte eine Folge, so spricht man von einer Differenzengleichung. Ein bekanntes Beispiel einer linearen Differenzengleichung zweiter Ordnung ist

${\displaystyle x_{n}-x_{n-1}-x_{n-2}=0}$,

deren Lösung für Startwerte ${\displaystyle x_{0}=0}$ und ${\displaystyle x_{1}=1}$ die Fibonacci-Folge ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,\ldots }$ ist.

Funktionalgleichungen

Ist die Unbekannte der Gleichung eine Funktion, die ohne Ableitungen auftritt, so spricht man von einer Funktionalgleichung. Ein Beispiel für eine Funktionalgleichung ist

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$,

deren Lösungen gerade die Exponentialfunktionen ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$ sind.

Differentialgleichungen

Wird in der Gleichung eine Funktion gesucht, die mit Ableitungen auftritt, so spricht man von einer Differentialgleichung. Differentialgleichungen treten bei der Modellierung von naturwissenschaftlichen Problemen sehr häufig auf. Die höchste auftretende Ableitung wird dabei Ordnung der Differentialgleichung genannt. Man unterscheidet:

• gewöhnliche Differentialgleichungen, bei denen nur Ableitungen nach einer einzigen Variablen auftreten, zum Beispiel die lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

${\displaystyle f'(x)+xf(x)=0}$

• partielle Differentialgleichungen, bei denen partielle Ableitungen nach mehreren Variablen auftreten, zum Beispiel die lineare Transportgleichung erster Ordnung

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,t)}{\partial t}}+{\frac {\partial f(x,t)}{\partial x}}=0}$

• differential-algebraische Gleichungen, bei denen sowohl algebraische Gleichungen als auch Differentialgleichungen gemeinsam auftreten, beispielsweise die Euler-Lagrange-Gleichungen für ein mathematisches Pendel

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}_{1}&=2x_{1}\lambda \\{\ddot {x}}_{2}&=2x_{2}\lambda -1\\0&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1\end{aligned}}}$

• stochastische Differentialgleichungen, bei denen neben deterministischen auch stochastische Ableitungsterme vorkommen, beispielsweise die Black-Scholes-Gleichung der Finanzmathematik zur Modellierung von Wertpapierkursen

${\displaystyle {\rm {d}}S_{t}=rS_{t}{\rm {d}}t+\sigma S_{t}{\rm {d}}W_{t}}$

Integralgleichungen

Tritt die gesuchte Funktion in einem Integral auf, so spricht man von einer Integralgleichung. Ein Beispiel einer linearen Integralgleichung 1. Art ist

${\displaystyle \int _{0}^{x}(x-t)f(t)~\mathrm {d} t=x^{3}}$.