Annahmen

Das ursprüngliche Modell trifft einige idealisierende Annahmen:

1. Der Preis des Basiswertes, – also der Aktienpreis, folgt einer geometrischen brownschen Bewegung mit konstantem Drift und Volatilität.
2. Der Leerverkauf von Finanzinstrumenten ist uneingeschränkt möglich.
3. Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern. Alle Finanzinstrumente sind in beliebig kleinen Einheiten handelbar.
4. Von Abschluss bis Fälligkeit des Derivats gibt es keine Dividendenzahlung auf die zugrunde liegende Aktie.
5. Es gibt keine risikolose Möglichkeit zur Arbitrage (Arbitragefreiheit).
6. Finanzinstrumente werden kontinuierlich gehandelt.
7. Es existiert ein risikofreier Zinssatz, der zeitlich konstant und für alle Laufzeiten gleich ist.

In Modellerweiterungen werden auch Dividendenzahlungen, stochastische Zinssätze oder stochastische Volatilitäten betrachtet.

Black-Scholes-Modell und Black-Scholes-Differentialgleichung

Der Grundgedanke ist, aus dem Derivat und der Aktie ein risikoloses Portfolio zu konstruieren. „Risikolos“ meint in diesem Zusammenhang, dass der Wert des Portfolios für kurze Zeiträume – gleichbedeutend mit kleinen Änderungen des Aktienkurses – nicht vom Kurs der Aktie abhängt.

Grundannahmen: Wir betrachten einen Zeitraum ${\displaystyle T\in (0,\infty )}$ und einen Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ mit einer Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} }$, welche durch eine brownsche Bewegung ${\displaystyle W}$ erzeugt wurde und die üblichen Bedingungen erfüllt.

Nach den Annahmen bewegt sich der undiskontierte Aktienkurs ${\displaystyle S}$ gemäß einer geometrischen Brownschen Bewegung mit inkrementellen und dekrementellen Kursänderungen

${\displaystyle \mathrm {d} S=\mu \,S\,\mathrm {d} t+\sigma \,S\,\mathrm {d} W}$.

Dabei ist ${\displaystyle \mu }$ die erwartete Rendite des Aktienkurses, ${\displaystyle \sigma >0}$ die Volatilität und ${\displaystyle t\geq 0}$ die Zeit. ${\displaystyle W}$ bezeichnet einen Standard-Wiener-Prozess. ${\displaystyle \mathrm {d} W}$ kann als ein infinitesimaler Zuwachs von ${\displaystyle W_{t}}$ auf einem Zeitintervall der Länge ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ angesehen werden, d. h. als eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert ${\displaystyle 0}$ und Varianz ${\displaystyle \mathrm {d} t}$.

Sei nun ${\displaystyle V=V(t,S)}$ in ${\displaystyle C^{2}}$. Mit der Itō-Formel erhält man für die Änderungen des Wertes ${\displaystyle V}$ eines Derivats die Formel

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t+\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\mathrm {d} W}$.

Hierbei sind ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle W}$ dieselben Größen wie zuvor, da der Preis des Derivats vom Preisprozess der Aktie abhängt.

Der Wiener-Prozess ${\displaystyle W}$ beeinflusst also den Aktienpreis über einen Faktor ${\displaystyle \sigma \,S}$ und den Wert des Derivats über einen Faktor ${\displaystyle \sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}}$. Das im Sinne der Analyse risikolose Portfolio besteht also aus

• -1 Derivate (also eine Shortposition im Derivat)
• ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$ Stücke der Aktien

(oder mit umgekehrtem Vorzeichen: eine Longposition im Derivat und eine Shortposition in den Aktien in der angegebenen Größe). In der Praxis wird dieses Konzept der Portfolioabsicherung in Form des Delta-Hedging angewendet.

Mit den gegebenen Portfoliogewichten und den Preisprozessen für Aktie und Derivate lassen sich der Portfoliowert und die Wertänderungen des Portfolios über kurze Zeiträume formulieren.

Der Portfoliowert ${\displaystyle \ P}$ ist

${\displaystyle P=-V+S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}}$,

also die Summe des negativen Wertes des Derivats plus des Wertes von ${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}}$ Stück Aktien. Die Wertänderung des Portfolios über kurze Zeiträume ${\displaystyle \mathrm {d} P}$ lässt sich schreiben als

${\displaystyle \mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\mathrm {d} S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}=\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t}$.

Die Preisänderungen des Portfolios hängen also weder von den zufälligen Preisänderungen des Aktienkurses aus dem Wienerprozess ${\displaystyle W}$ noch von der erwartete Aktienrendite ${\displaystyle \mu }$ ab. Der zweite Punkt ist eine wichtige Erkenntnis aus dem Black-Scholes-Modell.

Da das Portfolio risikolos ist und laut Annahmen keine Arbitragemöglichkeiten bestehen, muss das Portfolio über kurze Zeiträume genau die risikolose Rendite ${\displaystyle r}$ erwirtschaften, also

${\displaystyle \mathrm {d} P=r\,P\,\mathrm {d} t}$

Durch Einsetzen in die letzte Gleichung erhält man die Black-Scholes-Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+r\,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=r\,V}$.

Diese Gleichung ist unter den gegebenen Annahmen für alle Derivate gültig, die sich auf Grundlage des Preisprozesses für ${\displaystyle S}$ definieren lassen. Die Art des Derivats, für das die Gleichung gelöst werden soll, bestimmt die Randbedingungen für die Differentialgleichung.

Insbesondere Musiela und Rutkowski haben darauf hingewiesen, dass das in der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung verwendete Portfolio nicht selbst-finanzierend ist. Die Argumentation ist zwar intuitiv und liefert die Black-Scholes-Differentialgleichung. Finanzmathematisch ist die Herleitung jedoch problematisch. Musiela und Rutkowski geben auch eine finanzmathematisch überzeugende Herleitung an.

Mehrdimensionales Black-Scholes-Modell

Analog lässt sich für ${\displaystyle n}$ Aktien ${\displaystyle S^{1},\dots ,S^{n}}$ und ${\displaystyle n}$ Standard-Wiener-Prozessen ${\displaystyle W^{1},\dots ,W^{n}}$, das mehrdimensionale Black-Scholes-Modell bilden:

${\displaystyle \mathrm {d} S^{i}=\mu _{i}\,S^{i}\,\mathrm {d} t+S^{i}\sum \limits _{j=1}^{n}\sigma _{ij}\,\mathrm {d} W^{j},\quad i=1,\dots ,n}$.

Preisformeln

Auf beiden Wegen erhält man die Preisformel nach Black-Scholes für einen europäischen Call bzw. Put:

${\displaystyle C(S,t)=S\Phi (d_{1})-Ke^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})}$

beziehungsweise

${\displaystyle P(S,t)=Ke^{-r(T-t)}\Phi (-d_{2})-S\Phi (-d_{1})}$

wobei

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}}$

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\Bigl (}-{\frac {z^{2}}{2}}{\Bigr )}\,\mathrm {d} z}$ bezeichnet die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Der Wert einer Option ist also durch 5 Parameter bestimmt:

• ${\displaystyle S}$: aktueller Aktienkurs
• ${\displaystyle r}$: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatz
• ${\displaystyle \sigma }$: Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschluss die einzige unbekannte Größe und damit letztlich Gegenstand der Preisfindung zwischen den Vertragsparteien.
• ${\displaystyle T-t}$: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit ${\displaystyle T}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle K}$: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegt

Die Griechen nach Black-Scholes

Als Griechen (englisch Greeks) werden die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den jeweiligen Modellparametern bezeichnet. Der Vorteil der expliziten Formel für die Optionspreise – etwa im Gegensatz zu einer numerischen Lösung – liegt darin, dass diese Ableitungen leicht berechnet werden können.