Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

Konstruktion

Bezeichnet ${\displaystyle M_{n}}$ die C*-Algebra der komplexen ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen, so kann man ${\displaystyle M_{2^{n}}}$ vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

${\displaystyle M_{2^{n}}\rightarrow M_{2^{n+1}},\quad X\mapsto {\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}}$

als Unteralgebra von ${\displaystyle M_{2^{n+1}}}$ auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf ${\displaystyle M_{2^{n}}}$ fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Kanonische Antivertauschungsrelationen

Es seien ${\displaystyle H}$ ein separabler Hilbertraum und ${\displaystyle \alpha :H\rightarrow L(H)}$ eine lineare Abbildung in die C*-Algebra ${\displaystyle L(H)}$ der stetigen, linearen Operatoren auf ${\displaystyle H}$ mit folgenden Eigenschaften:

${\displaystyle \alpha (x)\alpha (y)+\alpha (y)\alpha (x)\,=\,0}$

${\displaystyle \alpha (x)\alpha (y)^{*}+\alpha (y)^{*}\alpha (x)\,=\,\langle x,y\rangle \mathrm {id} _{H}}$

für alle Vektoren ${\displaystyle x,y\in H}$.

Man sagt, ${\displaystyle \alpha }$ erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen ${\displaystyle \alpha }$ lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren ${\displaystyle \alpha (x)}$ erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung ${\displaystyle \alpha }$, denn es gilt:

• Die von allen Operatoren ${\displaystyle \alpha (x),\,x\in H}$ erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle H}$, so kann die Einbettung ${\displaystyle C^{*}(\alpha (x_{1}),\ldots ,\alpha (x_{n}))\subset C^{*}(\alpha (x_{1}),\ldots ,\alpha (x_{n+1}))}$ mit obiger Einbettung ${\displaystyle M_{2^{n}}\rightarrow M_{2^{n+1}}}$ identifiziert werden (${\displaystyle C^{*}(\ldots )}$ steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Als UHF-Algebra und AF-Algebra

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl ${\displaystyle 2^{\infty }}$ (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte ${\displaystyle K_{0}}$-Gruppe ausgezeichnet. Diese ist ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}}\right]}$ mit der durch [0,1] gegebenen Skala. ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}}\right]}$ steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Produktzustände und Typ III-Faktoren

Zu jedem ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ kann man rekursiv Zustände ${\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}:M_{2^{n}}\rightarrow \mathbb {C} }$ definieren, wobei

• ${\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(0)}:M_{2^{0}}\cong \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ die identische Abbildung sei und
• ${\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}(x)=\lambda \varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\lambda )\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x_{2,2})}$ für jedes ${\displaystyle n>0}$, wobei ${\displaystyle x=(x_{i,j})}$ als ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix mit Elementen aus ${\displaystyle M_{2^{n-1}}}$ geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von ${\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}}$ auf ${\displaystyle M_{2^{n-1}}}$ gleich ${\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n-1)}}$, denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von ${\displaystyle M_{2^{n-1}}}$ nach ${\displaystyle M_{2^{n}}}$ ist

${\displaystyle (\varphi _{\lambda }^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x)=\varphi _{\lambda }^{(n)}\left({\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}}\right)=\lambda \varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)+(1-\lambda )\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)=\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)}$.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$, der auf allen ${\displaystyle M_{2^{n}}}$ mit ${\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}}$ übereinstimmt. Dieser heißt der zu ${\displaystyle \lambda }$ gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand ${\displaystyle \varphi _{\lambda }}$ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\displaystyle \pi _{\lambda }:A\rightarrow L(H_{\lambda })}$ auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H_{\lambda }}$. Für ${\displaystyle 0<\lambda <{\frac {1}{2}}}$ ist das Bild ${\displaystyle \pi _{\lambda }(A)\subset L(H_{\lambda })}$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist. Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$ sind nicht isomorph.

GICAR-Algebra

Sei ${\displaystyle \alpha :H\rightarrow L(H)}$ eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist ${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |\mu |=1}$, so erfüllt auch ${\displaystyle \beta :H\rightarrow L(H),\,x\mapsto \alpha (\mu x)}$ die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den ${\displaystyle \alpha (x)}$ bzw. von den ${\displaystyle \beta (x)}$ erzeugte C*-Algebra, wobei ${\displaystyle x}$ den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra ${\displaystyle A}$ ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus ${\displaystyle \sigma _{\mu }:A\rightarrow A}$ erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von ${\displaystyle A}$, die unter allen Eichautomorphismen ${\displaystyle \sigma _{\mu },|\mu |=1}$ invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreiecks:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&&&1&\\&&&&&\nearrow &&\\&&&&1&&&\ldots \\&&&\nearrow &&\searrow &&\\&&1&&&&3&\\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\\1&&&&2&&&\ldots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\\&&1&&&&3&\\&&&\searrow &&\nearrow &&\\&&&&1&&&\ldots \\&&&&&\searrow &&\\&&&&&&1&\end{matrix}}}$

Einzelnachweise

1. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.5.4.
2. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example IV.3.4.
3. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.
4. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.
5. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1: Example III.5.5.