Klassische Betrachtung

Einstein schrieb in seiner Deutung des Photoeffekts für Licht der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ jedem Photon die Energie ${\displaystyle E={\frac {h\,c}{\lambda }}}$ und den Impuls ${\displaystyle p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }}}$ zu, wobei ${\displaystyle h}$ die Planck-Konstante und ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit bezeichnen. De Broglie wendete diese Gleichung jetzt auf Materieteilchen an, indem er den Zusammenhang umkehrte und jedem Teilchen mit dem Impuls ${\displaystyle p}$ die Wellenlänge

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

zuordnete. Diese grundlegende Beziehung der Materiewellen wird De-Broglie-Gleichung genannt. Damit lässt sich der Gültigkeitsbereich der obigen Gleichungen von Planck und Einstein auf Teilchen mit Masse erweitern. Die entsprechenden De-Broglie-Gleichungen für Wellenlänge und Frequenz der Materiewelle lauten wie folgt:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},\quad \nu ={\frac {E}{h}}}$

In der Quantenmechanik ist es häufig zweckmäßig, anstelle der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ die Wellenzahl ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ und anstelle der Frequenz ${\displaystyle \nu }$ die Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ zu verwenden. Der dabei auftretende Faktor ${\displaystyle 1/2\pi }$ wird mit dem Wirkungsquantum zum reduzierten Planckschen Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$ (gesprochen: „h quer“) zusammengefasst. Will man zusätzlich die Ausbreitung der Welle mit einer bestimmten Richtung im dreidimensionalen Raum beschreiben, erweitert man die Wellenzahl ${\displaystyle k}$ zum Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}}$. In dieser Darstellung lauten die De-Broglie-Gleichungen dann wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}\\&E=\hbar \omega \\\end{aligned}}}$

Aus der Beziehung zwischen Impuls und kinetischer Energie in der klassischen Mechanik folgt für die Dispersionsrelation der Materiewellen

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}\Leftrightarrow \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$,

also ein quadratischer Zusammenhang im Gegensatz zur linearen Dispersionsrelation masseloser Objekte.

Relativistische Betrachtung

Um die De-Broglie-Gleichungen auch in der relativistischen Quantenmechanik zu verwenden, kann der Viererimpuls aus der speziellen Relativitätstheorie verwendet werden. Dieser hängt, abgesehen von der konstanten Lichtgeschwindigkeit, nur von der Masse und der Geschwindigkeit des Teilchens ab. Es gilt:

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$

${\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}$

wobei ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Mit der ersten Formel berechnet man die relativistische Energie. Die zweite Formel beschreibt den relativistischen Impuls des Teilchens. Mit diesen beiden Ausdrücken schreiben sich die De-Broglie-Gleichungen auch wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma mv}}\,=\,{\frac {h}{mv}}\,\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&\nu ={\frac {\gamma \,mc^{2}}{h}}={\frac {mc^{2}}{h}}{\bigg /}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle m}$ steht für die Masse des Teilchens, ${\displaystyle v}$ für die Geschwindigkeit und ${\displaystyle \gamma }$ für den Lorentzfaktor.

Diese beiden Gleichungen lassen sich durch die Verwendung von Vierervektoren in einer Gleichung wie folgt darstellen:

${\displaystyle p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar k^{\mu }}$

Dabei ist ${\displaystyle p^{\mu }}$ wieder der Viererimpuls des Teilchens und ${\displaystyle k^{\mu }}$ der Vierer-Wellenvektor mit

${\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$

Aufgrund der relativistischen Energie-Impuls-Relation folgt die Dispersionsrelation

${\displaystyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\Leftrightarrow \omega ={\sqrt {k^{2}c^{2}+{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}}}}$.

Bei kleinen Wellenzahlen, also kleinen Impulsen verglichen mit ${\displaystyle mc}$, erhält man daraus als Näherung die oben angegebene nichtrelativistische quadratische Dispersionsrelation (wenn man dort zur kinetischen Energie die konstante Ruheenergie ${\displaystyle mc^{2}}$ addiert). Im hochrelativistischen Fall folgt die lineare Dispersionsrelation

${\displaystyle \omega =ck}$,

die auch für masselose Teilchen gilt.

Experimenteller Nachweis

Jedem Teilchen und jedem zusammengesetzten Körper kann eine Materiewelle zugeordnet werden. Dies führt dazu, dass Teilchen unter bestimmten Bedingungen Wellenphänomene wie Beugung und Interferenz zeigen. Die ersten Nachweise von Elektroneninterferenz durch Davisson, Germer und Thomson bestätigten dieses Bild und insbesondere de Broglies Wellenlängenformel. Seitdem wurde der Wellencharakter von Materie bis hin zu Molekülgröße in vielen weiteren Versuchen nachgewiesen. Am eindrucksvollsten ist vielleicht der Doppelspaltversuch mit Elektronen, den Claus Jönsson 1959 an der Universität Tübingen realisierte. Heutzutage lässt sich der Nachweis von Welleneigenschaften bei Elektronen schon im Schulunterricht erbringen, zum Beispiel mit einer Elektronenbeugungsröhre.

Materiewellen im Alltag

Die Welleneigenschaften von makroskopischen Gegenständen spielen im Alltag keine Rolle. Wegen ihrer großen Masse sind die Impulse makroskopischer Dinge auch bei kleinsten alltagstypischen Geschwindigkeiten so groß, dass sich extrem kleine Wellenlängen ergeben. Da sich Welleneigenschaften nur dann zeigen, wenn Wellen auf Strukturen treffen, deren Abmessungen im Bereich der Wellenlänge liegen, ist im Makrokosmos kein Wellenverhalten zu beobachten. Die bisher (2019) größten Materiestücke, die in einem besonders ausgeklügelten Experiment Interferenzstreifen zeigten, sind bestimmte Moleküle aus bis zu 2000 Atomen. Zahlenmäßig noch deutlich größere Quantenobjekte können in Form von Bose-Einstein-Kondensaten (ultrakalten Atomwolken aus über 100.000 Atomen) hergestellt und zur Interferenz gebracht werden.

Jedoch finden sich auch im Alltag viele Geräte, deren Funktionieren ohne Wissen über Materiewellen nicht zu verstehen ist. Ein Beispiel ist die LED-Lampe: In ihrem Halbleiter-Material gehen Elektronen an einem p-n-Übergang von einem Energieband in ein anderes über und geben einen je nach Material ganz bestimmten Energiebetrag ab, mit dem je ein Photon, also Licht bestimmter Wellenlänge, erzeugt wird. Der Energiebetrag entspricht dem energetischen Abstand der Energiebänder, der durch die Wirkung der regelmäßig angeordneten Atome des Materials (Kristallgitter) auf die Materiewellen der Elektronen erklärt wird (siehe Modell der quasifreien Elektronen).

Anwendungen

Heutzutage werden die Wellenphänomene der Materie vielfältig bei der Untersuchung von Festkörpern und anderen Materialien eingesetzt, aber auch zur Klärung von physikalischen Grundfragen. Anwendungsbereiche sind die Elektronenbeugung, Atominterferometrie, Atomlaser und Neutroneninterferometrie. Allgemein spricht man bei der Untersuchung von Analoga der optischen Phänomene und Experimente mit Materiewellen statt mit Licht von Atomoptik.