Definition nach Dedekind

Die Etafunktion wird üblicherweise folgendermaßen als unendliches Produkt definiert:

${\displaystyle \eta (\tau ):=e^{\pi i\tau /12}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi in\tau })}$.

Aus der Definition folgt unmittelbar, dass ${\displaystyle \eta }$ in ${\displaystyle \mathbb {H} }$ keine Nullstellen hat.

Die Funktion ist eng verwandt mit der Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$, es ist

${\displaystyle \Delta (\tau )\,=\,(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$.

Definition nach Weber

Nach dem Braunschweiger Mathematiker Heinrich Weber ist die Dedekinsche Etafunktion auf folgende Weise definiert:

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}(x;x)_{\infty }}$

${\displaystyle \eta _{W}[\exp(2\pi i\tau )]=\eta (\tau )}$

Die gezeigte Definition veröffentlichte Weber im dritten Volumen seines Werkes Lehrbuch der Algebra aus dem Jahre 1902 auf der Seite 112. Also ist die Etafunktion nach Weberscher Definition direkt das Produkt aus dem Eulerschen Produkt und der vierundzwanzigsten Wurzelfunktion. Der Klammerausdruck mit den zwei x-Einträgen stellt das Pochhammer-Symbol dar. Somit kann die Dedekindsche Etafunktion nach der Weberschen Definition auf mit der Jacobischen Thetafunktion definiert werden:

${\displaystyle \eta _{W}(x)=3^{-1/2}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi ;x^{1/6})}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}$

${\displaystyle \eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}}$

Diese drei soeben gezeigten Formeln stimmen miteinander überein. Im Folgenden wird ein wichtiges Beispiel formuliert:

${\displaystyle \eta (i)=\eta _{W}({\text{e}}^{-2\pi })={\text{e}}^{-\pi /12}({\text{e}}^{-2\pi };{\text{e}}^{-2\pi })_{\infty }=3^{-1/2}\vartheta _{10}({\tfrac {1}{6}}\pi$ ;{\text{e}}^{-\pi /3})=}

${\displaystyle =2^{-1/6}\vartheta _{10}({\text{e}}^{-2\pi })^{1/6}\vartheta _{00}({\text{e}}^{-2\pi })^{1/6}\vartheta _{01}({\text{e}}^{-2\pi })^{2/3}=2^{-1/3}\vartheta _{10}({\text{e}}^{-\pi })^{1/3}\vartheta _{00}({\text{e}}^{-\pi })^{1/3}\vartheta _{01}({\text{e}}^{-\pi })^{1/3}=}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}\pi ^{-3/4}\Gamma ({\tfrac {1}{4}})=2^{-1/4}{\sqrt {G}}}$

Hierbei stellt das Symbol Γ die Gammafunktion dar und das G bringt die Gaußsche Konstante zum Ausdruck.

Außerdem gelten folgende Definitionen für die Thetafunktionen:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2{\biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }x^{k^{2}}{\biggr )}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1-2{\biggl [}\sum _{k=1}^{\infty }x^{(2k-1)^{2}}-x^{(2k)^{2}}{\biggr ]}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=2{\biggl [}\sum _{k=1}^{\infty }x^{(k-{\frac {1}{2}})^{2}}{\biggr ]}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}}$

Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen

Zur Berechnung der Dedekindschen Etafunktion kann der Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler verwendet werden:

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}\sum _{m=0}^{\infty }{\bigl [}x^{m(6m+1)}-x^{(2m+1)(3m+1)}-x^{(2m+1)(3m+2)}+x^{(m+1)(6m+5)}{\bigr ]}}$

Die verallgemeinerten Pentagonalzahlen bilden eine Doppelfolge aus Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen.

Denn dieselbe Formel kann auch so ausgedrückt werden:

${\displaystyle \eta _{W}(x)=x^{1/24}\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl [}x^{{\text{Kr}}(2k)}-x^{{\text{Fn}}(2k+1)}-x^{{\text{Kr}}(2k+1)}+x^{{\text{Fn}}(2k+2)}{\bigr ]}}$

Hier steht Fn(z) für die z-te Fünfeckszahl und Kr(z) für die z-te Kartenhauszahl:

${\displaystyle {\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)}$

${\displaystyle {\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)}$

Für die Synthese der Partitionszahlenfolge mit Hilfe einer Rekursionsformel können die Pentagonalzahlen ebenso verwendet werden.

Aus den nun gezeigten Formeln folgt dieses bestimmte Integral:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\eta _{W}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{{\tfrac {1}{2}}k(3k-1)+{\tfrac {25}{24}}}}={\sqrt {2}}\,\pi \sinh({\tfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )\,{\text{sech}}({\sqrt {6}}\,\pi )\approx 0{,}3416968346\ldots }$

Normale und strikte Partitionszahlen und Oberpartitionszahlen

Die Partitionszahlenfolge P selbst erscheint als Folge der Koeffizienten von folgender Funktion:

${\displaystyle x^{1/24}\eta _{W}(x)^{-1}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{-1}=\sum _{m=0}^{\infty }P(m)x^{m}}$

Ähnliche Folgen gelten für die strikte Partitionszahlenfolge Q und die Oberpartitionszahlenfolge ${\displaystyle {\overline {P}}}$:

${\displaystyle x^{-1/24}\eta _{W}(x)\vartheta _{01}(x)^{-1}=\prod _{n=1}^{\infty }(1+x^{n})=\sum _{m=0}^{\infty }Q(m)x^{m}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\vartheta _{01}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\overline {P}}(m)x^{m}}$

Definitionen der Partitionszahlenfolgen

Normale Partitionszahlenfolge P:

Die normale Partitionszahlenfolge gibt bei einer natürlichen Zahl die Anzahl der Möglichkeiten an, die betroffene Zahl in natürlich zahlige Summanden zu zerlegen. Bei diesen Zerlegungen wird die Reihenfolge der jeweiligen Summanden nicht berücksichtigt.

Strikte Partitionszahlenfolge Q:

Wenn jeder Summand nur einmal in der Partitionssumme erscheinen darf und somit kein Summand wiederholt in der Partitionssumme vorkommt, dann liegen die sogenannten strikten Partitionen vor, deren Anzahl in Abhängigkeit vom Wert der Summe durch die Zahlenfolge Q beschrieben wird.

Oberpartitionszahlenfolge ${\displaystyle {\overline {P}}}$:

Wenn zu einer Zahl z alle Partitionen so aufgestellt werden, dass die Summandengröße nie steigt, und bei jeder solchen Partition all diejenigen Summanden markiert werden dürfen, welche keinen gleich großen Summanden links von sich haben, dann wird die sich dadurch ergebende Anzahl der markierten Partitionen in Abhängigkeit von z durch die Oberpartitionsfunktion ${\displaystyle {\overline {P}}(z)}$ beschrieben.

Tabelle und Beziehungsformeln der Folgen

Tabelle der Zahlenfolgen:

z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
P(z)	1	1	2	3	5	7	11	15	22	30	42	56	77	101	135	176
Q(z)	1	1	1	2	2	3	4	5	6	8	10	12	15	18	22	27
${\displaystyle {\overline {P}}(z)}$	1	2	4	8	14	24	40	64	100	154	232	344	504	728	1040	1472

Wichtige Summenbeziehungen zu den genannten Zahlenfolgen untereinander:

${\displaystyle P(2n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(2k)}$

${\displaystyle P(2n+1)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(2k+1)}$

${\displaystyle {\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)}$

Jacobische und Webersche Funktionen

So sind die Weberschen Modulfunktionen über die Pochhammerschen Produkte definiert:

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{10}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/12}(x^{2};x^{4})_{\infty }^{-1}}$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{01}(x)=x^{-1/24}(x;x^{2})_{\infty }}$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{00}(x)=x^{-1/24}{\frac {(x^{2};x^{4})_{\infty }}{(x;x^{2})_{\infty }}}}$

Zwischen den Jacobischen Funktionen und den Weberschen Modulfunktionen besteht folgender Zusammenhang:

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=(x;x)_{\infty }(x;x^{2})_{\infty }=\eta _{W}(x){\mathfrak {f}}_{01}(x)}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=\eta _{W}(x^{2}){\mathfrak {f}}_{01}(x)^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)=\eta _{W}(x^{2}){\mathfrak {f}}_{10}(x)^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=\eta _{W}(x^{2}){\mathfrak {f}}_{00}(x)^{2}}$

Anhand dieser drei Formeln kann die Jacobische Identität für die Weberschen Funktionen angewendet werden:

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{00}(x)^{8}={\mathfrak {f}}_{01}(x)^{8}+{\mathfrak {f}}_{10}(x)^{8}}$

Die Weberschen Modulfunktionen lassen sich ebenso über die Dedekindsche Etafunktion direkt darstellen:

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{00}(x)={\frac {\vartheta _{01}(x^{2})\,\eta _{W}(x)}{\vartheta _{01}(x)\,\eta _{W}(x^{2})}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{01}(x)={\frac {\eta _{W}(x)}{\eta _{W}(x^{2})}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{10}(x)={\frac {{\sqrt {2}}\,\vartheta _{01}(x)\,\eta _{W}(x^{2})^{2}}{\vartheta _{01}(x^{2})\,\eta _{W}(x)^{2}}}}$

Etafunktion für die fünfte Potenz des Nomens

Für die fünften Potenzen des elliptischen Nomens existiert dieser Zusammenhang:

${\displaystyle {\frac {2\,{\mathfrak {f}}_{01}(q^{5})}{{\mathfrak {f}}_{01}(q)^{5}}}={\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{2\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{2}}}$

Aus der genannten Identität für die Thetafunktion ${\displaystyle \vartheta _{01}}$ könn folgende Quotienten direkt hervorgebracht werden:

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{5}){\mathfrak {f}}_{01}(q^{5})}{\eta _{W}(q){\mathfrak {f}}_{01}(q)}}}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{10}){\mathfrak {f}}_{01}(q^{5})^{2}}{\eta _{W}(q^{2}){\mathfrak {f}}_{01}(q)^{2}}}}$

Durch Kombination dieser beiden zuletzt genannten Formeln kann folgende Formel für die Dedekindsche Etafunktion aufgestellt werden:

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}={\frac {{\mathfrak {f}}_{01}(q)^{4}\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}={\frac {{\mathfrak {f}}_{01}(q)^{8}\eta _{W}(q^{10})}{\eta _{W}(q^{2})}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{2}}$

Nun wird erneut folgender Quotient hinzugefügt:

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{01}(x)={\frac {\eta _{W}(x)}{\eta _{W}(x^{2})}}}$

Aufgelöst ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{4}}{\eta _{W}(q)^{4}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {\eta _{W}(q^{10})}{\eta _{W}(q^{2})}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{8}}{\eta _{W}(q)^{8}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-2}}$

Entdeckung durch Hermite

Der Allgemeinfall der Gleichungen fünften Grades kann nach dem Satz von Abel-Ruffini nicht mit elementar mathematischen Ausdrücken gelöst werden. Aber dieses Lösen der allgemeinen quintischen Gleichung ist sehr wohl über elliptische Modulfunktionen erster Art möglich. Die Formel für die Ermittlung des elliptischen Moduls ausgehend von einer quintischen Gleichung in Bring-Jerrard-Form wurde vom französischen Mathematiker Charles Hermite erforscht. Er fand heraus, dass für eine Gleichung des folgenden Musters der zugehörige elliptische Modul k für die Lösungsformel der betroffenen Gleichung auf folgende Weise gebildet werden kann:

${\displaystyle x^{5}+x=t}$

${\displaystyle k={\bigl (}50{\sqrt {5}}\,t^{2}+32+2{\sqrt {3125\,t^{4}+256}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {3125\,t^{4}+256}}+16}}+5{\sqrt[{4}]{5}}\,t{\bigr )}}$

Mit Hilfe von hyperbolisch lemniskatischen Funktionen kann derselbe Modul auch so dargestellt werden:

${\displaystyle k={\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}{\bigl (}{\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,t{\bigr )}{\bigr ]}^{2}}$

Diese Überleitung vom absoluten Glied der gezeigten Bring-Jerrard-Gleichung hin zum elliptischen Modul wurde im Werk Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus von Charles Hermite exakt beschrieben. Die von Francesco Brioschi angefertigte italienische Version dieses Werkes von Charles Hermite mit dem Titel Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado beinhaltet auf der Seite 258 diejenige Formel, aus welcher die soeben gezeigte Modulermittlungsformel hervorgeht.

Lösung nach Prasolov und Solovyev

Die russischen Mathematiker Viktor Prasolov (Виктор Прасолов) und Yuri Solovyev (Юрий Соловьёв) haben in ihrem Werk Elliptische Funktionen und elliptische Integrale (Эллиптические функции и эллиптические интегралы, Elliptic functions and Elliptic integrals) aus dem Jahre 1997 die exakte Lösung der allgemeinen quintischen Gleichung in Bring-Jerrard-Form über die Dedekindsche Etafunktion niedergeschrieben. Vor allem im darin enthaltenen siebten Kapitel Thetafunktionen und Lösungen von quintischen Gleichungen erläuterten sie die Ermittlung der Lösungen mit den Thetafunktionen aus den Potenzen des elliptischen Nomens akkurat. Hierbei führten sie bei ihrer Beschreibung mehrere Funktionen und ebenso Funktionenscharen mit Indizes ein. Der genannte Abschnitt befindet sich in der amerikanischen Ausgabe der American Mathematical Society auf den Seiten 155 bis 169.

Die erste ihrer Funktionen, die Funktion ${\displaystyle u(q)}$ hatte diese Definition:

${\displaystyle u(q)=q^{-1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1+q^{2n-1})=q^{-1/24}{\frac {(q^{2};q^{4})_{\infty }}{(q;q^{2})_{\infty }}}={\frac {\vartheta _{01}(q^{2})\,\eta _{W}(q)}{\vartheta _{01}(q)\,\eta _{W}(q^{2})}}}$

Diese Funktion ist exakt gleich der folgenden Weberschen Funktion: ${\displaystyle u(q)={\mathfrak {f}}_{00}(q)}$

Die zweite ihrer Funktionen, die Funktion ${\displaystyle v_{\infty }(q)}$ hatte jene Definition:

${\displaystyle v_{\infty }(q)=u(q^{5})={\frac {\vartheta _{01}(q^{10})\,\eta _{W}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q^{5})\,\eta _{W}(q^{10})}}}$

Als Drittes wurde im Werk die Funktionenschar ${\displaystyle v_{c}}$ definiert:

${\displaystyle v_{c}(q)=u{\bigl [}\exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi ic{\bigr )}\,q^{1/5}{\bigr ]}}$

Zusätzlich wurden folgende zwei Gleichungsbeziehung zu den einzelnen Funktionen genannt:

${\displaystyle u(q)^{6}+v_{c}(q)^{6}=u(q)^{5}v_{c}(q)^{5}-4u(q)v_{c}(q)}$

${\displaystyle u(q)^{12}-64u(q)^{-12}=w_{z}(q)[w_{z}(q)^{2}+5]^{2}}$

Zuletzt wurde die Funktionenschar ${\displaystyle w_{z}(q)}$ auf der Seite 166 der amerikanischen Version aufgestellt:

${\displaystyle w_{z}(q)=5^{-1/2}u(q)^{-3}[v_{\infty }(q)-v_{z}(q)][v_{z+1}(q)-v_{z-1}(q)][v_{z+2}(q)-v_{z-2}(q)]}$

In demjenigen Abschnitt dieses Werks von Prasolov und Solovyev, welcher in der amerikanischen Version die Überschrift The general scheme of solution of quintic equations trägt, wird die exakte Lösungsformel für die Gleichung in Bring-Jerrard-Form beschrieben:

${\displaystyle x^{5}+x=t}$

${\displaystyle k={\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}{\bigl (}{\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,t{\bigr )}{\bigr ]}^{2}}$

${\displaystyle x_{z}={\frac {5\,t}{w_{z}[q(k)]^{2}+5}}}$