Kurvenlängen

In der Lemniskate von Bernoulli mit der kartesischen Relation (x² + y²)² = 2f²(x² − y²) kann der invertierte Sinus lemniscatus hyperbolicus immer als Verhältnis der lemniskatischen Kurvenlänge zur Brennweite f angegeben werden. Hierbei nimmt das vom Koordinatenursprungspunkt und somit Kurvenschnittpunkt S ausgehende Bogenmaß bis zu einem Punkt P mit folgender Parametrisierung immer den Wert des Produkts aus Brennweite f und invertiertem Sinus lemniscatus hyperbolicus vom Parameter t an:

${\displaystyle P={\biggl (}{\frac {ft{\sqrt {t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}}}}{{\sqrt {t^{4}+1}}+1}}{\bigg \vert }{\frac {ft{\sqrt {{\sqrt {t^{4}+1}}-t^{2}+1}}}{{\sqrt {t^{4}+1}}+1}}{\biggr )}}$

Die genannten Parameter für x und y erfüllen die kartesische Relation:

${\displaystyle x={\frac {ft{\sqrt {t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}}}}{{\sqrt {t^{4}+1}}+1}}}$

${\displaystyle y={\frac {ft{\sqrt {{\sqrt {t^{4}+1}}-t^{2}+1}}}{{\sqrt {t^{4}+1}}+1}}}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2f^{2}(x^{2}-y^{2})}$

Beweis der Parametrisierung

Die lemniskatische Kurvenlänge vom Punkt S bis zum Punkt P wird im Folgenden mit L(t) bezeichnet:

${\displaystyle L(t)=f\,\mathrm {aslh} (t)}$

Dies kann mit dem Integral vom Pythagoras der partiellen Ableitungen der Parametrisierungen gezeigt werden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L(t)={\biggl [}{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {ft{\sqrt {t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}}}}{{\sqrt {t^{4}+1}}+1}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {ft{\sqrt {{\sqrt {t^{4}+1}}-t^{2}+1}}}{{\sqrt {t^{4}+1}}+1}}{\biggr )}^{2}{\biggr ]}^{1/2}=}$

${\displaystyle ={\biggl \{}{\biggl [}{\frac {f(2t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}})}{(t^{4}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}){\sqrt {t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}}}}}{\biggr ]}^{2}+{\biggl [}{\frac {f({\sqrt {t^{4}+1}}-2t^{2}+1)}{(t^{4}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}){\sqrt {{\sqrt {t^{4}+1}}-t^{2}+1}}}}{\biggr ]}^{2}{\biggr \}}^{1/2}=}$

${\displaystyle ={\biggl [}{\frac {f^{2}({\sqrt {t^{4}+1}}-t^{2}+1)(2t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}})^{2}+f^{2}(t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}})({\sqrt {t^{4}+1}}-2t^{2}+1)^{2}}{(t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}})({\sqrt {t^{4}+1}}-t^{2}+1)(t^{4}+1+{\sqrt {t^{4}+1}})^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}=}$

${\displaystyle ={\frac {f{\sqrt {({\sqrt {t^{4}+1}}-t^{2}+1)(2t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}})^{2}+(t^{2}+1+{\sqrt {t^{4}+1}})({\sqrt {t^{4}+1}}-2t^{2}+1)^{2}}}}{(t^{4}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}){\sqrt {2({\sqrt {t^{4}+1}}+1)}}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {{\sqrt {2}}\,f({\sqrt {t^{4}+1}}+1)^{3/2}}{(t^{4}+1+{\sqrt {t^{4}+1}}){\sqrt {2({\sqrt {t^{4}+1}}+1)}}}}={\frac {f}{\sqrt {t^{4}+1}}}}$

Die Ursprungsstammfunktion beschreibt das Bogenmaß von S nach P:

${\displaystyle L(t)=\int _{0}^{1}{\biggl \{}t{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}L(v)(v=tu){\biggr ]}{\biggr \}}\mathrm {d} u=\int _{0}^{1}{\frac {ft}{\sqrt {t^{4}u^{4}+1}}}\mathrm {d} u=f\,\mathrm {aslh} (t)}$

Differentialgleichungssystem mit zwei Unbekannten

Die horizontalen und vertikalen Koordinaten dieser Superellipse sind in Abhängigkeit vom Doppelten der eingeschlossenen Fläche w = 2A müssen somit folgende Bedingungen erfüllen:

${\displaystyle x(w)^{4}+y(w)^{4}=1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}x(w)=-y(w)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}y(w)=x(w)^{3}}$

${\displaystyle x(w=0)=1}$

${\displaystyle y(w=0)=0}$

Die Lösungen dieses Gleichungssystems lauten wie folgt:

${\displaystyle x(w)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

${\displaystyle y(w)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}]^{-1/2}}$

Für den Quotienten gilt somit Folgendes:

${\displaystyle {\frac {y(w)}{x(w)}}={\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}{\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)[\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}w)^{2}+1]^{1/2}}}=\operatorname {slh} (w)}$

Die Funktionen x(w) und y(w) werden Kotangens lemniscatus hyperbolicus und Tangens lemniscatus hyperbolicus genannt.

${\displaystyle x(w)={\text{ctlh}}(w)}$

${\displaystyle y(w)={\text{tlh}}(w)}$

Aus der Skizze ist auch die Tatsache entnehmbar, dass die Ableitung der Funktion Areasinus lemniscatus hyperbolicus gleich dem Kehrwert der Quadratwurzel aus dem Nachfolger von der vierten Potenzfunktion ist.

Erster Beweis: Vergleich mit der Ableitung des Arkustangens

Auf der rechts abgebildeten Skizze befindet sich eine schwarze Diagonale. Die Länge derjenigen Strecke, welche vom Schnittpunkt dieser schwarzen Diagonalen mit der roten senkrechten Achse bis hin zum Punkt (1|0) senkrecht verläuft, soll s genannt werden. Und die Länge vom Abschnitt der schwarzen Diagonalen vom Koordinatenursprungspunkt bis zum Schnittpunkt dieser Diagonale mit der cyanen Kurvenlinie der Superellipse hat in Abhängigkeit vom slh-Wert folgenden Wert:

${\displaystyle D(s)={\sqrt {{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {s}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}}}={\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}}$

Dieser Zusammenhang wird durch den Satz des Pythagoras beschrieben.

Ein analoger Einheitskreis ergibt bei der beschriebenen Flächenzuordnung den kreistrigonometrischen Arkustangens.

Für diesen gilt folgende Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}}$

Für die Ermittlung der Ableitung des Areasinus lemniscatus hyperbolicus wird im Folgenden der Vergleich der infinitesimal kleinen Dreiecksflächen für die gleiche Diagonale bei der Superellipse und beim Einheitskreis aufgestellt. Denn die Aufsummierung der infinitesimal kleinen Dreiecksflächen beschreibt die Flächenmaße. Bei der Superellipse im Bild ist die Hälfte des betroffenen Flächenmaßes grün abgebildet. Wegen des quadratischen Verhältnisses der Flächen zu den Längen bei den Dreiecken mit gleichem infinitesimal kleinem Winkel am Koordinatenursprungspunkt gilt folgende Formel:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\text{aslh}}(s)={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\arctan(s){\biggr ]}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}D(s)^{2}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\biggl (}{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{\sqrt[{4}]{s^{4}+1}}}{\biggr )}^{2}={\frac {1}{\sqrt {s^{4}+1}}}}$

Zweiter Beweis: Integralbildung und Flächensubtraktion

Der Areatangens lemniscatus hyperbolicus ordnet im gezeigten Bild die Höhe des Schnittpunkts von Diagonale und Kurvenlinie dem Doppelten der grünen Fläche zu. Die grüne Fläche selbst entsteht als Differenz Integral der Superellipsenfunktion von Null bis zum betroffenen Höhenwert minus Fläche des anliegenden Dreiecks:

${\displaystyle {\text{atlh}}(v)=2{\biggl (}\int _{0}^{v}{\sqrt[{4}]{1-w^{4}}}\mathrm {d} w{\biggr )}-v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}{\text{atlh}}(v)=2{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}-{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}v{\sqrt[{4}]{1-v^{4}}}{\biggr )}={\frac {1}{(1-v^{4})^{3/4}}}}$

Es gilt folgende Transformation:

${\displaystyle {\text{aslh}}(x)={\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}}$

Und somit gilt nach der Kettenregel diese Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{aslh}}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{atlh}}{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}={\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl [}1-{\biggl (}{\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}{\biggr )}^{4}{\biggr ]}^{-3/4}={\frac {1}{(x^{4}+1)^{5/4}}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{4}+1}}{\biggr )}^{-3/4}={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}}$

Identitäten und Ableitungen

Die Funktionen tlh und ctlh erfüllen diese in der genannten Differentialgleichung beschriebenen Identitäten:

${\displaystyle {\text{tlh}}(x)=\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x){\biggl [}{\frac {\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x)^{2}+1}{\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x)^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}(x)=\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x){\biggl [}{\frac {\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x)^{2}+1}{\operatorname {sl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x)^{2}+\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}x)^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}}$

Die Funktionsbezeichnung sl steht für den Sinus lemniscatus und die Bezeichnung cl steht für den Kosinus lemniscatus. Außerdem sind jene Beziehungen zu den Jacobischen elliptischen Funktionen gültig:

${\displaystyle {\text{tlh}}(x)={\frac {{\text{sn}}(x;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(x;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(x;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}(x)={\frac {{\text{cd}}(x;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}{\sqrt[{4}]{{\text{cd}}(x;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}+{\text{sn}}(x;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}}}}}$

Jene Formeln zeigen die Tatsache, dass der Quotient der oberen Funktion dividiert durch die untere Funktion den Sinus lemniscatus hyperbolicus ergibt. Und sie zeigen zugleich, dass die Summe der vierten Potenzen dieser beiden Funktionen den konstanten Wert Eins ergibt. Es gilt für die Ableitungen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{tlh}}(x)={\text{ctlh}}(x)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\text{ctlh}}(x)=-{\text{tlh}}(x)^{3}}$

Koordinatentransformationen

Analog zur Ermittlung des uneigentlichen Integrals bei der Gaußschen Glockenkurvenfunktion kann zur Berechnung des Integrals von 0 bis ∞ bei der Funktion f(x) = exp(−x⁴) die Koordinatentransformation von einem allgemeinen Zylinder verwendet werden. Im Folgenden werden die Beweise von beiden Integralen parallel aufgeführt.

Dies ist die Zylinderkoordinatentransformation bei der Gaußschen Glockenkurvenfunktion:

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2}-y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\cos(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\cos(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\sin(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\sin(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\cos(\phi ){\bigr ]}^{2}-{\bigl [}r\sin(\phi ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\pi }{4}}}$

Und das ist die analoge Koordinatentransformation für den lemniskatischen Fall:

${\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}^{2}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4}-y^{4})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }\det {\begin{bmatrix}\partial /\partial r\,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{ctlh}}(\phi )\\\partial /\partial r\,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )&\partial /\partial \phi \,\,r\,{\text{tlh}}(\phi )\end{bmatrix}}\exp {\bigl \{}-{\bigl [}r\,{\text{ctlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}-{\bigl [}r\,{\text{tlh}}(\phi ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}\int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{4})\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\varpi /{\sqrt {2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\,\mathrm {d} \phi ={\frac {\varpi {\sqrt {\pi }}}{4{\sqrt {2}}}}}$

In beiden Fällen wird die Determinante der Jacobi-Matrix an die jeweils ursprüngliche Funktion im Integrationsbereich anmultipliziert.

Die dadurch entstehenden neuen Funktionen im Integrationsbereich werden im Anschluss nach den neuen Parametern integriert.

Additionstheoreme

Folgende algebraische Beziehung gilt für den Sinus lemniscatus hyperbolicus:

${\displaystyle \mathrm {slh} (x)\,\mathrm {slh} (\varpi /{\sqrt {2}}-x)=1}$

für ${\displaystyle 0<x<\varpi /{\sqrt {2}}}$

Der Sinus lemniscatus hyperbolicus hat folgendes Additionstheorem:

${\displaystyle \mathrm {slh} (a+b)={\frac {\mathrm {slh} (a){\sqrt {1+\mathrm {slh} (b)^{4}}}+\mathrm {slh} (b){\sqrt {1+\mathrm {slh} (a)^{4}}}}{1-\mathrm {slh} (a)^{2}\mathrm {slh} (b)^{2}}}}$

Und für den Kosinus lemniscatus hyperbolicus gilt:

${\displaystyle \mathrm {clh} (a+b)={\frac {\mathrm {clh} (a)^{2}\mathrm {clh} (b)^{2}-1}{\mathrm {clh} (a){\sqrt {1+\mathrm {clh} (b)^{4}}}+\mathrm {clh} (b){\sqrt {1+\mathrm {clh} (a)^{4}}}}}}$

Für die Verdopplung gilt folgende Formel:

${\displaystyle \mathrm {slh} (2x)={\frac {2\,\mathrm {slh} (x){\sqrt {1+\mathrm {slh} (x)^{4}}}}{1-\mathrm {slh} (x)^{4}}}}$

Für die Verdreifachung gilt Folgendes:

${\displaystyle \mathrm {slh} (3x)={\frac {3\,\mathrm {slh} (x)+6\,\mathrm {slh} (x)^{5}-\mathrm {slh} (x)^{9}}{1-6\,\mathrm {slh} (x)^{4}-3\,\mathrm {slh} (x)^{8}}}}$

Aus dem Additionstheorem des Sinus lemniscatus hyperbolicus folgen diese weiteren Theoreme:

${\displaystyle {\text{tlh}}[{\text{aslh}}(v)+{\text{aslh}}(w)]={\frac {v{\sqrt {1+w^{4}}}+w{\sqrt {1+v^{4}}}}{\sqrt {(1+v^{2}w^{2}){\sqrt {(1+v^{4})(1+w^{4})}}+2vw(v^{2}+w^{2})}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}[{\text{aslh}}(v)+{\text{aslh}}(w)]={\frac {1-v^{2}w^{2}}{\sqrt {(1+v^{2}w^{2}){\sqrt {(1+v^{4})(1+w^{4})}}+2vw(v^{2}+w^{2})}}}}$

Und für den lemniskatischen Sinus und den lemniskatischen Kosinus gilt:

${\displaystyle {\text{sl}}[{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(v)+{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(w)]={\frac {{\sqrt {2}}\,(v{\sqrt {1+w^{4}}}+w{\sqrt {1+v^{4}}})(1-v^{2}w^{2})}{(1+v^{2}w^{2}){\sqrt {(1+v^{4})(1+w^{4})}}+2vw(v^{2}+w^{2})}}}$

${\displaystyle {\text{cl}}[{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(v)+{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(w)]={\frac {(1-v^{2}w^{2})^{2}-(v{\sqrt {1+w^{4}}}+w{\sqrt {1+v^{4}}})^{2}}{(1-v^{2}w^{2})^{2}+(v{\sqrt {1+w^{4}}}+w{\sqrt {1+v^{4}}})^{2}}}}$

Diese vier Formeln sind für alle reellen Werte v und w gültig.

Denn es gilt:

${\displaystyle {\text{sl}}({\sqrt {2}}\,x)={\sqrt {2}}\,{\text{tlh}}(x){\text{ctlh}}(x)}$

${\displaystyle {\text{cl}}({\sqrt {2}}\,x)={\frac {{\text{ctlh}}(x)^{2}-{\text{tlh}}(x)^{2}}{{\text{ctlh}}(x)^{2}+{\text{tlh}}(x)^{2}}}}$

Kombinationstheoreme und Halbierungstheoreme

In Kombination mit dem Areasinus lemniscatus hyperbolicus können folgende Identitäten aufgestellt werden:

${\displaystyle {\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}{\bigl [}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\text{tlh}}{\bigl [}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}}$

Das Quadrat vom Tangens lemniscatus hyperbolicus ist das Pythagoräische Gegenstück zum Quadrat des Kotangens lemniscatus hyperbolicus.

Denn die vierten Potenzen von tlh und ctlh ergeben addiert konstant den Wert Eins.

Das Halbierungstheorem des Sinus lemniscatus hyperbolicus lautet so:

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aslh}}(x){\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {x^{2}+1+{\sqrt {x^{4}+1}}}}+{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}}}}$

Diese Formel kann als Kombination folgender zweier Formeln zum Vorschein gebracht werden:

${\displaystyle \mathrm {aslh} (x)={\sqrt {2}}\,{\text{arcsl}}{\bigl [}x({\sqrt {x^{4}+1}}+1)^{-1/2}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\text{arcsl}}(x)={\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{{\sqrt {1+x^{2}}}+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\bigr )}}$

Außerdem sind folgende Formeln für alle reellen Werte ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gültig:

${\displaystyle {\text{slh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}-{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{clh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x){\bigr ]}={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}+{\sqrt {2}}x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+x^{2}}}}}={\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

Aus den zuletzt genannten Formel folgen diese Identitäten:

${\displaystyle {\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}-x{\bigr )}}$

${\displaystyle {\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2{\sqrt {2}}\,x{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}}={\bigl (}2x^{2}+2+2{\sqrt {x^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}+x{\bigr )}}$

Eng verwandt sind folgende Formeln für den lemniskatischen Sinus und lemniskatischen Cosinus:

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aslh}}(x)]={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(x)]=x{\bigl (}{\sqrt {x^{4}+1}}+1{\bigr )}^{-1/2}}$

Drittelungstheoreme

Für die Drittelung des Flächenmaßes beziehungsweise Bogenmaßes beim Sinus lemniscatus hyperbolicus gelten für alle reellen Werte ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ folgende Gesetze:

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{4}]{108}}\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}({\tfrac {1}{9}})]\}-({\sqrt {3}}+1)\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}({\tfrac {1}{9}})]\}^{3}}{{\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{108}}\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}({\tfrac {1}{9}})]\}^{2}}}=x}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}+1)\,{\text{slh}}[{\tfrac {1}{3}}{\text{aslh}}(x)]+{\sqrt {2}}\,{\text{slh}}[{\tfrac {1}{3}}{\text{aslh}}(x)]^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}+1)\,{\text{slh}}[{\tfrac {1}{3}}{\text{aslh}}(x)]^{2}}}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}({\tfrac {1}{9}})]\}}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{4}]{108}}\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}(9)]\}+({\sqrt {3}}+1)\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}(9)]\}^{3}}{{\sqrt {3}}+1+{\sqrt[{4}]{108}}\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}(9)]\}^{2}}}=x}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}+1)\,{\text{slh}}[{\tfrac {1}{3}}{\text{aslh}}(x)]-{\sqrt {2}}\,{\text{slh}}[{\tfrac {1}{3}}{\text{aslh}}(x)]^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}+1)\,{\text{slh}}[{\tfrac {1}{3}}{\text{aslh}}(x)]^{2}}}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}{\text{am}}[{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{12}}({\sqrt {3}}+1){\text{aslh}}(x);\lambda ^{*}(9)]\}}$

Mit der Abkürzung am wird die Jacobische Amplitudenfunktion zum Ausdruck gebracht. Wichtiger Rechenhinweis:

${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{9}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(9)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})}$

Somit beinhaltet das Drittelungstheorem des Sinus lemniscatus hyperbolicus das Auflösen eines trikubischen Gleichungssystems.

Elliptische Lambdafunktion

Diese beiden zuletzt genannten Ausdrücke haben in der Welt der elliptischen Funktionen eine hohe Bedeutung.

Denn einige elliptische Lambda-Stern-Funktionswerte ungerader Zahlen können so vereinfacht ausgedrückt werden:

${\displaystyle \lambda ^{*}(5)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\sqrt {2}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(13)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(3{\sqrt {2}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(21)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(2{\sqrt {6}}+3{\sqrt {2}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(29)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {13}{3}}{\sqrt {2}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{412{\sqrt {2}}+12{\sqrt {174}}}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{412{\sqrt {2}}-12{\sqrt {174}}}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(37)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(21{\sqrt {2}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(45)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(10{\sqrt {6}}+17{\sqrt {2}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(53)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {55}{3}}{\sqrt {2}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{37708{\sqrt {2}}+300{\sqrt {318}}}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{37708{\sqrt {2}}-300{\sqrt {318}}}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(61)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(27{\sqrt {2}}+2{\sqrt[{3}]{5076{\sqrt {2}}+12{\sqrt {366}}}}+2{\sqrt[{3}]{5076{\sqrt {2}}-12{\sqrt {366}}}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(69)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\sqrt {2148{\sqrt {3}}+3720}}+30{\sqrt {2}}+17{\sqrt {6}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(77)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\sqrt {2276{\sqrt {11}}+7544}}+44{\sqrt {2}}+13{\sqrt {22}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(85)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(30{\sqrt {34}}+123{\sqrt {2}})]^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(93)={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(100{\sqrt {6}}+171{\sqrt {2}})]^{2}}$

Bringsches Radikal

Auch für die Darstellung des Bringschen Radikals BR in elliptischer Form kommen die tlh-Funktion und die ctlh-Funktion zum Einsatz. Denn für die Darstellung des Bringschen Radikals mit Elliptischem Nomen und Thetafunktion beziehungsweise Weberscher Modulfunktion muss der zugehörige elliptische Modul ermittelt werden.

Die sogenannte Bring-Jerrard-Form der quintischen Gleichungen beinhaltet ein quintisches Glied, ein lineares Glied und ein absolutes Glied:

${\displaystyle x^{5}+x=u}$

Der elliptische Modul und sein Pythagoräisches Gegenstück für diese Gleichung werden beim Bringschen Radikal nach Charles Hermite auf folgende Weise hervorgerufen:

${\displaystyle k={\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}}$

${\displaystyle k'={\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}}$

${\displaystyle x={\frac {W_{R5}(k)-W_{R5}(k')}{\sqrt {10\,k\,k'}}}\,{\sqrt {{\sqrt {5}}\,[W_{R5}(k)+W_{R5}(k')-1]-{\sqrt {[2\,W_{R5}(k)+1][2\,W_{R5}(k')+1]}}}}}$

Wichtiger Hinweis über die Definition der reduzierten Weberschen Modulfunktion:

${\displaystyle W_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\text{dn}}{\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}+{\text{dn}}{\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}}$

Und diese Etafunktionswerte bilden in rationaler Bruch-Kombination nach dem Aufsatz von Prasolov und Solovyev den elliptischen Ausdruck für das Bringsche Radikal. Alternativ kann das Bringsche Radikal auch mit den Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktionen R und S dargestellt werden. Vom komplementären Modul müssen im Anschluss das elliptische Nomen für die elliptische Darstellung der Lösung aufgestellt werden. Von diesem Nomen müssen dann nach Prasolov und Solovyev die fünfte Potenz und die fünfte Wurzel in die Thetafunktionen eingesetzt werden. Mit folgendem Verfahren kann auf der Grundlage der genannten Thetafunktionen und des Rogers-Ramanujan-Kettenbruchs die Lösung derselben Gleichung bestimmt werden:

${\displaystyle x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }$

${\displaystyle \times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times }$

${\displaystyle \times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt[{4}]{20}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}({\tfrac {5}{4}}{\sqrt[{4}]{5}}\,u)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}}$

Reduzierte Webersche Modulfunktion

Für die reduzierte Webersche Modulfunktion gilt folgendes ${\displaystyle W_{R5}}$-Produkt in Bezug auf zueinander Pythagoräisch komplementäre elliptische Module:

${\displaystyle W_{R5}{\bigl \{}{\text{ctlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}x^{5}+{\tfrac {5}{4}}x{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,W_{R5}{\bigl \{}{\text{tlh}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}x^{5}+{\tfrac {5}{4}}x{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=}$

${\displaystyle ={\frac {4\,{\sqrt {15}}\cot {\bigl \{}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arccot} {\bigl [}{\tfrac {1}{45}}{\sqrt {15}}{\bigl (}x^{2}{\sqrt {x^{12}+18\,x^{8}+113\,x^{4}+256}}+x^{8}+7\,x^{4}+11{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}+8\,x^{4}+28}{x^{12}+12\,x^{8}+43\,x^{4}+32+(x^{6}+3\,x^{2}){\sqrt {x^{12}+18\,x^{8}+113\,x^{4}+256}}}}}$