Webersche Modulfunktionen

Die Weberschen Modulfunktionen zählen zu den elliptischen Funktionen in der Mathematik. Sie wurden durch den Heidelberger Mathematiker Heinrich Weber eingeführt und erforscht. Sie sind sowohl mit der Dedekindschen Etafunktion als auch mit den Ramanujanschen Funktionen g und G nahe verwandt.

Definition der Weberschen Modulfunktionen

Definition der imaginären Funktionen

Für die obere Halbebene ℍ der komplexen Zahlen sind die Weberschen Standardmodulfunktionen in Abhängigkeit vom imaginären Halbperiodenverhältnis 𝜏 auf folgende Weise über die Dedekindsche Etafunktion definiert:

{\mathfrak {f}}_{0}(\tau )=\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi \,i\tau )\prod _{n=1}^{\infty }\{1+\exp[(2n-1)\pi \,i\tau ]\}={\frac {\eta (\tau )^{2}}{\eta ({\tfrac {1}{2}}\tau )\eta (2\tau )}}

{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )=\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi \,i\tau )\prod _{n=1}^{\infty }\{1-\exp[(2n-1)\pi \,i\tau ]\}={\frac {\eta ({\tfrac {1}{2}}\tau )}{\eta (\tau )}}

{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}\exp({\tfrac {1}{12}}\pi \,i\tau )\prod _{n=1}^{\infty }[1+\exp(2n\pi \,i\tau )]={\sqrt {2}}\,{\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}

Somit können diese Weberschen Funktionen auch mit Hilfe der Pochhammerschen Produkte definiert werden:

{\mathfrak {f}}_{0}(\tau )=\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi \,i\tau ){\frac {[\exp(2\pi \,i\tau );\exp(4\pi \,i\tau )]_{\infty }}{[\exp(\pi \,i\tau );\exp(2\pi \,i\tau )]_{\infty }}}

{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )=\exp(-{\tfrac {1}{24}}\pi \,i\tau )[\exp(\pi \,i\tau );\exp(2\pi \,i\tau )]_{\infty }

{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}\exp({\tfrac {1}{12}}\pi \,i\tau )[\exp(2\pi \,i\tau );\exp(4\pi \,i\tau )]_{\infty }^{-1}

Durch Multiplizieren dieser drei Definitionsgleichungen erhält man direkt folgende Beziehung:

{\mathfrak {f}}_{0}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}

Definition der reellen Funktionen

Zusätzlich wurde die Webersche Hauptfunktion in Abhängigkeit vom Nomeneintrag definiert:

Modulfunktionen	𝔣₀₀(x)	𝔣₀₁(x)	𝔣₁₀(x)
Produktdefinition	${\mathfrak {f}}_{00}(x)=x^{-1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1+x^{2n-1})$	${\mathfrak {f}}_{01}(x)=x^{-1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n-1})$	${\mathfrak {f}}_{10}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/12}\prod _{n=1}^{\infty }(1+x^{2n})$
Pochhammersche Definition	${\mathfrak {f}}_{00}(x)=x^{-1/24}{\frac {(x^{2};x^{4})_{\infty }}{(x;x^{2})_{\infty }}}$	${\mathfrak {f}}_{01}(x)=x^{-1/24}(x;x^{2})_{\infty }$	${\mathfrak {f}}_{10}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/12}(x^{2};x^{4})_{\infty }^{-1}$
Dedekindsche Etafunktionsdefinition	${\mathfrak {f}}_{00}(x)={\frac {\vartheta _{01}(x^{2})\,\eta _{W}(x)}{\vartheta _{01}(x)\,\eta _{W}(x^{2})}}$	${\mathfrak {f}}_{01}(x)={\frac {\eta _{W}(x)}{\eta _{W}(x^{2})}}$	${\mathfrak {f}}_{10}(x)={\frac {{\sqrt {2}}\,\vartheta _{01}(x)\,\eta _{W}(x^{2})^{2}}{\vartheta _{01}(x^{2})\,\eta _{W}(x)^{2}}}$
Jacobische Thetafunktionsdefinition	${\mathfrak {f}}_{00}(x)={\biggl [}{\frac {2\,\vartheta _{00}(x)^{2}}{\vartheta _{01}(x)\vartheta _{10}(x)}}{\biggr ]}^{1/6}$	${\mathfrak {f}}_{01}(x)={\biggl [}{\frac {2\,\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)\vartheta _{10}(x)}}{\biggr ]}^{1/6}$	${\mathfrak {f}}_{10}(x)={\biggl [}{\frac {2\,\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)}}{\biggr ]}^{1/6}$

Generell gilt folgendes Produkt für alle Werte w:

{\biggl [}\prod _{m=1}^{\infty }(1-w^{2m-1}){\biggr ]}{\biggl [}\prod _{n=1}^{\infty }(1+w^{n}){\biggr ]}=1

Deswegen kann in der gezeigten Tabelle in jeder Zeile folgender Zusammenhang sofort abgelesen werden:

{\mathfrak {f}}_{00}(x){\mathfrak {f}}_{01}(x){\mathfrak {f}}_{10}(x)={\sqrt {2}}

Wichtige Rechenhinweise über die Dedekindsche Etafunktion:

\eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}

\eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}

Summenreihen der Weberschen Funktionen

Strikte Partitionszahlenfolge

Die Koeffizienten der Summenreihe der Funktionen 1/𝔣₀₁(x) und 𝔣₁₀(x) bilden die Folge der strikten Partitionen ab. Bei der strikten Partitionsfolge Q(n) wird bei jeder Summe n angegeben, auf wie viele verschiedene Weisen die Zahl n in Summanden ohne Summandenwiederholung aufgeteilt werden kann. So lautet die exakte Reihenentwicklung:

{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{-1}=x^{1/24}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)\,x^{k}

{\mathfrak {f}}_{10}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/12}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)\,x^{2k}

{\mathfrak {f}}_{10}(x)={\sqrt {2}}\,{\mathfrak {f}}_{01}(x^{2})^{-1}

In der nun folgenden Tabelle werden die strikten Partitionen aufgelistet und exemplarisch dargestellt:

n	Q(n)	Zahlpartitionen ohne wiederholte Summanden
0	1	() leere Partition / leere Summe
1	1	(1)
2	1	(2)
3	2	(1+2), (3)
4	2	(1+3), (4)
5	3	(2+3), (1+4), (5)
6	4	(1+2+3), (2+4), (1+5), (6)
7	5	(1+2+4), (3+4), (2+5), (1+6), (7)
8	6	(1+3+4), (1+2+5), (3+5), (2+6), (1+7), (8)
9	8	(2+3+4), (1+3+5), (4+5), (1+2+6), (3+6), (2+7), (1+8), (9)
10	10	(1+2+3+4), (2+3+5), (1+4+5), (1+3+6), (4+6), (1+2+7), (3+7), (2+8), (1+9), (10)

Summenreihe aus dem Pentagonalzahlensatz

Für die Webersche Modulfunktion ist weiters folgender Ausdruck gültig:

{\mathfrak {f}}_{01}(x)={\biggl [}\sum _{z=-\infty }^{\infty }(-1)^{z}x^{(6z+1)^{2}/24}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{z=-\infty }^{\infty }(-1)^{z}x^{(6z+1)^{2}/12}{\biggr ]}^{-1}

Diese Formel basiert auf dem Pentagonalzahlensatz und außerdem auf folgender Formel:

{\mathfrak {f}}_{01}(x)={\frac {\vartheta _{00}({\tfrac {1}{12}}\pi ;x^{1/24})-\vartheta _{00}({\tfrac {5}{12}}\pi ;x^{1/24})}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{12}}\pi ;x^{1/12})-\vartheta _{00}({\tfrac {5}{12}}\pi ;x^{1/12})}}

Die allgemeine Hauptthetafunktion hat diese von Whittaker und Watson aufgestellte Definition:

\vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]

Zusammenhänge zwischen elliptischen Funktionen

Zusammenhang mit den Thetafunktionen

Die Thetafunktionen nach Carl Gustav Jacobi stehen in folgendem Zusammenhang zu den Weberschen Modulfunktionen:

\vartheta _{00}(x)=(x^{2};x^{2})_{\infty }(x^{2};x^{4})_{\infty }^{2}(x;x^{2})_{\infty }^{-2}=\eta _{W}(x^{2}){\mathfrak {f}}_{00}(x)^{2}

\vartheta _{01}(x)=(x;x)_{\infty }(x;x^{2})_{\infty }=\eta _{W}(x^{2}){\mathfrak {f}}_{01}(x)^{2}

\vartheta _{10}(x)=\eta _{W}(x^{2}){\mathfrak {f}}_{10}(x)^{2}

Daraus resultiert in Kombination mit der Jacobischen Identität:

{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{8}={\mathfrak {f}}_{01}(x)^{8}+{\mathfrak {f}}_{10}(x)^{8}

Bezüge zum Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Diese zwei Formeln dienen zur effizienten Bestimmung der Werte des Rogers-Ramanujan-Kettenbruchs auf der Grundlage der Weberschen Modulfunktionen:

R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}

R(x^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{01}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}

R(x^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}

S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}{4{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})+{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{5}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}

Durch Hinzunahme der Dedekindschen Etafunkton gilt außerdem jene Formel für diesen Kettenbruch:

R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta _{W}(x^{1/5})}{2\eta _{W}(x^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}

Und hieraus kann wiederum die nun folgende Formel hergeleitet werden:

R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{01}(x^{5})\vartheta _{01}(x^{1/5})}{2{\mathfrak {f}}_{01}(x^{1/5})\vartheta _{01}(x^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}

Analog gilt für den alternierenden Kettenbruch S:

S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})\vartheta _{00}(x^{1/5})}{2{\mathfrak {f}}_{00}(x^{1/5})\vartheta _{00}(x^{5})}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}

Und folgende Formel stellt den Zusammenhang zwischen R und S her:

R(x^{4})=R(x^{2})R(x)S(x)

Trigonometrische Zusammenhänge

Für die Hauptfunktion unter den Weberschen Modulfunktionen in Abhängigkeit vom elliptischen Nomen gilt dieser Zusammenhang:

{\mathfrak {f}}_{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{2}}\csc[2\arcsin(\varepsilon )]^{1/12}

{\mathfrak {f}}_{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{2}}\cot[2\arctan(\varepsilon )]^{1/12}

q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]

K(y)=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4y^{2}z^{2}}}}\,\mathrm {d} z

Das bedeutet, dass die Funktion 𝔣₀₀(x) für den reellen Definitionsbereich ein relatives Minimum am Punkt $P({\text{e}}^{-\pi }|{\sqrt[{4}]{2}})$ hat.

Die Webersche Funktion 𝔣₀₀(x) ist für den reellen Definitionsbereich streng monoton linksgekrümmt.

Funktionswerte

Lemniskatische Funktionswerte

Einige Funktionswerte von natürlichzahligen Potenzen des Kehrwerts der Gelfondschen Konstante werden nun genannt:

x-Werte	𝔣₀₀(x)	𝔣₀₁(x)	𝔣₁₀(x)
${\text{e}}^{-\pi }$	${\sqrt[{4}]{2}}$	${\sqrt[{8}]{2}}$	${\sqrt[{8}]{2}}$
${\text{e}}^{-2\pi }$	${\sqrt[{16}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)^{1/4}$	$2^{3/8}$	${\sqrt[{16}]{2}}\,({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$
${\text{e}}^{-3\pi }$	${\sqrt[{4}]{2}}\,(2+{\sqrt {3}})^{1/6}$	$2^{-9/8}\,({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}-1)(2+{\sqrt {3}})^{1/6}$	$2^{-9/8}\,({\sqrt[{4}]{12}}-{\sqrt {3}}+1)(2+{\sqrt {3}})^{1/6}$

Weitere Werte von 𝔣₀₀(x):

{\mathfrak {f}}_{00}({\text{e}}^{-5\pi })={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi )]=2^{-3/4}({\sqrt {5}}+1)

{\mathfrak {f}}_{00}({\text{e}}^{-7\pi })={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi )]=2^{-5/4}({\sqrt {7}}+{\sqrt[{4}]{28}}+1)

{\mathfrak {f}}_{00}({\text{e}}^{-11\pi })={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi )]={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{2}}\,{\bigl \{}{\sqrt {3}}({\sqrt {11}}+2)\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {1}{27}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}+\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {1}{27}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}+{\sqrt {2}}{\bigr \}}

Solche Werte lassen sich auch mit Hilfe der lemniskatischen Funktionen für alle Werte n ∈ ℕ vereinfacht so darstellen:

{\mathfrak {f}}_{00}{\bigl [}{\text{e}}^{-(2n+1)\pi }{\bigr ]}={\sqrt[{4}]{2}}\csc {\biggl \{}2\arctan {\biggl [}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {k}{2n+1}}\varpi {\bigr )}^{4}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/12}

Mit cl wird hierbei die Funktion Kosinus Lemniscatus dargestellt.

Nicht lemniskatische Funktionswerte von 𝔣₀₀(x)

Wenn der Kehrwert der Gelfondschen Konstante mit Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen potenziert wird, dann sind von den so entstehenden Zahlen die Weberschen Funktionswerte ${\mathfrak {f}}_{00}(x)$ stets algebraisch darstellbar:

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )]={\sqrt[{3}]{2}}

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )]={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )]=({\sqrt {5}}+1)^{1/4}

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )]={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )]={\sqrt {2}}

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )]={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )]=1+1/T_{TRI}

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )]={\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )]=({\sqrt {13}}+3)^{1/4}

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {17}}\,\pi )]=2^{-5/4}\left({\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {{\sqrt {17}}-3}}\right)

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {23}}\,\pi )]={\sqrt {2}}\,\rho

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {31}}\,\pi )]={\sqrt {2}}\,\psi

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {37}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {37}}+6)^{1/4}

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\sqrt {41}}\,\pi )]=2^{-9/4}\left({\sqrt {3{\sqrt {41}}+19}}+{\sqrt {7-{\sqrt {41}}}}+{\sqrt[{4}]{10{\sqrt {41}}+2}}+{\sqrt[{4}]{10{\sqrt {41}}-62}}\right)

Mit T_TRI wird die Tribonacci-Konstante, mit $\rho$ wird die Plastische Zahl und mit $\psi$ wird die Supergoldene Zahl dargestellt:

Konstante	Algebraischer Ausdruck	Kubische Gleichung
Tribonacci-Konstante	$T_{TRI}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\tfrac {1}{3}}$	$T_{TRI}^{3}-T_{TRI}^{2}-T_{TRI}-1=0$
Plastische Zahl	$\rho ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12}}\left({\sqrt[{3}]{9+{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{9-{\sqrt {69}}}}\right)$	$\rho ^{3}-\rho -1=0$
Supergoldene Zahl	$\psi ={\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116+12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{116-12{\sqrt {93}}}}+{\tfrac {1}{3}}$	$\psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0$

Zur Ramanujanschen G-Funktion besteht folgender direkter Zusammenhang:

{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]={\sqrt[{4}]{2}}\,G(x)

Nicht lemniskatische Funktionswerte von 𝔣₀₁(x)

Diese Werte sind elementar mathematisch darstellbar:

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})^{1/3}

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,\Phi ^{-1}\cot \left[{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan \left({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\right)\right]

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-7{\sqrt {2}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,\cot \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} \left[{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\left({\sqrt {2{\sqrt {14}}+7}}+1\right)\right]\right\}

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)^{1/6}

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-5{\sqrt {6}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)^{5/6}\cot[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}})]

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,\Phi ^{1/2}

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi )]={\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {6}}+{\sqrt {5}})^{1/6}\cot \left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10{\sqrt {6}}+15}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {6}}+{\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{1/2}

Zur Ramanujanschen G-Funktion besteht folgender direkter Zusammenhang:

{\mathfrak {f}}_{01}[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]={\sqrt[{4}]{2}}\,g(x)

Reduzierte Webersche Funktionen

Definition der reduzierten Funktionen

Die reduzierten Weberschen Modulfunktionen können auf folgende Weise in Abhängigkeit vom elliptischen Modul beziehungsweise von der Exzentrizität ε definiert werden: Definition über die Weberschen Standardmodulfunktionen:

w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}{\mathfrak {f}}_{01}[q(\varepsilon )^{n}]}{{\mathfrak {f}}_{01}[q(\varepsilon )]^{n}}}

W_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}{\mathfrak {f}}_{00}[q(\varepsilon )^{n}]}{{\mathfrak {f}}_{00}[q(\varepsilon )]^{n}}}

Definition über die Ramanujansche g-Funktion und G-Funktion:

w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {{\text{g}}[n^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]}{{\text{g}}[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]^{n}}}

W_{Rn}(\varepsilon )={\frac {{\text{G}}[n^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]}{{\text{G}}[K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{2}/K(\varepsilon )^{2}]^{n}}}

Definition über Pochhammersche Produkte:

w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}[q(\varepsilon )^{n};q(\varepsilon )^{2n}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{n}}}

W_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}[q(\varepsilon )^{2n};q(\varepsilon )^{4n}]_{\infty }[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{n}}{[q(\varepsilon )^{n};q(\varepsilon )^{2n}]_{\infty }[q(\varepsilon )^{2};q(\varepsilon )^{4}]_{\infty }^{n}}}

So ist das elliptische Nomen definiert:

q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]

Berechnungsformeln

Diese zwei vom Parameter n und vom Modul abhängigen Funktionen dienen zur effizienten Berechnung der Werte sehr vieler Modulfunktionen. Denn sie unterliegen einfachen Theoremen:

{\color {ProcessBlue}w_{R3}(\varepsilon )^{12}-2{\sqrt {2}}\,w_{R3}(\varepsilon )^{9}-\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2{\sqrt {2}}\,w_{R3}(\varepsilon )^{3}+1{\bigr ]}=0}

{\color {RoyalBlue}W_{R3}(\varepsilon )^{12}-2{\sqrt {2}}\,W_{R3}(\varepsilon )^{9}+\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2{\sqrt {2}}\,W_{R3}(\varepsilon )^{3}+1{\bigr ]}=0}

{\color {ProcessBlue}w_{R5}(\varepsilon )^{6}-2w_{R5}(\varepsilon )^{5}-\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}=0}

{\color {RoyalBlue}W_{R5}(\varepsilon )^{6}-2W_{R5}(\varepsilon )^{5}+\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2W_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}=0}

{\color {ProcessBlue}w_{R7}(\varepsilon )^{8}-2{\sqrt {2}}\,w_{R7}(\varepsilon )^{7}-7\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}w_{R7}(\varepsilon )^{4}+\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{4}{\bigl [}-2{\sqrt {2}}\,w_{R7}(\varepsilon )+1{\bigr ]}=0}

{\color {RoyalBlue}W_{R7}(\varepsilon )^{8}-2{\sqrt {2}}\,W_{R7}(\varepsilon )^{7}+7\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}W_{R7}(\varepsilon )^{4}+\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{4}{\bigl [}-2{\sqrt {2}}\,W_{R7}(\varepsilon )+1{\bigr ]}=0}

{\color {ProcessBlue}w_{R11}(\varepsilon )^{12}-\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{10}=2{\sqrt {2}}\,w_{R11}(\varepsilon ){\bigl \{}w_{R11}(\varepsilon )^{2}+\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\times }

{\color {ProcessBlue}\times {\bigl \{}w_{R11}(\varepsilon )^{4}+3\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}w_{R11}(\varepsilon )^{2}+\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\times }

{\color {ProcessBlue}\times {\bigl \{}2\,w_{R11}(\varepsilon )^{4}+3\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}w_{R11}(\varepsilon )^{2}+2\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}

{\color {RoyalBlue}W_{R11}(\varepsilon )^{12}+\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{10}=2{\sqrt {2}}\,W_{R11}(\varepsilon ){\bigl \{}W_{R11}(\varepsilon )^{2}-\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\times }

{\color {RoyalBlue}\times {\bigl \{}W_{R11}(\varepsilon )^{4}-3\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}W_{R11}(\varepsilon )^{2}+\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}\times }

{\color {RoyalBlue}\times {\bigl \{}2\,W_{R11}(\varepsilon )^{4}-3\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}W_{R11}(\varepsilon )^{2}+2\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}

Somit lösen diese beiden Funktionen für ungerade Parameter n die abgebildeten antisymmetrischen und symmetrischen Gleichungen.

Für die Tangensverdopplung und die Sinusverdopplung gelten diese trigonometrischen Theoreme:

\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {2\,\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}

\sin {\bigl [}2\arcsin(\varepsilon ){\bigr ]}=2\,\varepsilon {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}

Das symmetrische Produkt bei der Funktion $W_{R5}(\varepsilon )$ in Bezug auf zwei zueinander pythagoräisch komplementäre Moduln liefert folgenden Wert:

W_{R5}{\bigl \{}\operatorname {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}x^{5}+{\tfrac {5}{4}}x{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\,W_{R5}{\bigl \{}\operatorname {tlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} {\bigl (}{\tfrac {1}{4}}x^{5}+{\tfrac {5}{4}}x{\bigr )}{\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=

={\frac {4\,{\sqrt {15}}\cot {\bigl \{}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arccot} {\bigl [}{\tfrac {1}{45}}{\sqrt {15}}{\bigl (}x^{2}{\sqrt {x^{12}+18\,x^{8}+113\,x^{4}+256}}+x^{8}+7\,x^{4}+11{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}+8\,x^{4}+28}{x^{12}+12\,x^{8}+43\,x^{4}+32+(x^{6}+3\,x^{2}){\sqrt {x^{12}+18\,x^{8}+113\,x^{4}+256}}}}

Wenn in diese Formel der Wert $x=0$ eingesetzt wird, dann entsteht auf beiden Seiten der Gleichung der Wert ${\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ und somit das Quadrat der Goldenen Zahl. Und wenn der Wert $x={\sqrt[{4}]{3}}$ eingesetzt wird, dann entsteht der Wert $(2-{\sqrt {3}})({\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}})$ auf beiden Seiten. Wichtiger Rechenhinweis für die hyperbolisch lemniskatischen Funktionen:

Rechenhinweise für die Quadrate von tlh und ctlh
$\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}={\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}\left({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}-c\right)$
$\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}={\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}\left({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c\right)$
$\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{4}+\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{4}=1$

Identitäten mit den Jacobischen Funktionen

Identitäten für n = 3

Für die Stufe R3 gibt es diese elementare Beziehung zwischen den Werten w und W auf der einen Seite und dem elliptischen Modul auf der anderen Seite:

w_{R3}{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}=2^{-1/6}\left({\sqrt {t^{2}+1}}\,{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}+1\right)^{1/3}

Anders als für die Werte w und W aus den Stufen R5 und R7 ist für die Werte der Stufe R3 keine Darstellung über eine rationale Kombination aus den korrespondierenden Amplitudenfunktionen der gleichen numerischen Exzentrizität beziehungsweise des gleichen Legendreschen elliptischen Moduls möglich. Aber die Möglichkeit einer Darstellung mittels einer solchen rationalen Kombination bei den Kuben von w und W besteht sehr wohl. Folgende Identitäten haben die beiden reduzierten Weberschen Modulfunktionen zu den Jacobischen Amplitudenfunktionen:

w_{R3}(\varepsilon )=2^{1/6}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{1/3}\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{-2/3}

W_{R3}(\varepsilon )=2^{1/6}\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{1/3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{-2/3}

Für den Sinus-Amplitudinis-Wert des Drittels des K-Integrals gilt diese Formel:

\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}={\sqrt {2}}\,w_{R3}(\varepsilon )^{-1}W_{R3}(\varepsilon )^{-2}

Für die Stufe R3 ist der korrespondierende Weber-Nullwert gleich der Quadratwurzel aus Zwei.

Folgende Modultransformation im Nomen ist gültig:

q(\varepsilon )^{3}=q{\bigl \{}\varepsilon ^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}

Deswegen gilt für die Kubierung des elliptischen Nomens:

q(\varepsilon )^{3}=q{\bigl [}4\,\varepsilon ^{3}w_{R3}(\varepsilon )^{-4}W_{R3}(\varepsilon )^{-8}{\bigr ]}

Identitäten für n = 5

Jacobische Thetafunktionen und Amplitudenfunktionen führen direkt zu den reduzierten Weberschen Modulfunktionen. In der Stufe R5 sind sie noch als direkte Linearkombination der Amplitudenfunktionswerte darstellbar. Jedoch ist dies in der Stufe R7 nicht mehr möglich. So sind die Identitäten bezüglich der Jacobischen Thetafunktionen und bezüglich der Amplitudenfunktionen bei der Stufe R5 beschaffen:

w_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}-\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}

W_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}+\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}

Die nun folgenden Formeln können reflexiv zueinander verwendet werden, sie sind bezüglich w und W zueinander Umkehrfunktionen.

Das bedeutet, dass die Werte für w und W miteinander nach folgendem Schema ausgetauscht werden können:

w_{R5}(\varepsilon )=W_{R5}(\varepsilon )^{-2}{\bigl \{}{\sqrt {[2\,W_{R5}(\varepsilon )+1][W_{R5}(\varepsilon )^{2}+1]}}+W_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr \}}

W_{R5}(\varepsilon )=w_{R5}(\varepsilon )^{-2}{\bigl \{}{\sqrt {[2\,w_{R5}(\varepsilon )+1][w_{R5}(\varepsilon )^{2}+1]}}+w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr \}}

Die zuletzt genannte Formel kann auf folgende Weise bezüglich der Ausdrücke $w_{R5}$ wurzelfrei gemacht werden:

W_{R5}(\varepsilon )=w_{R5}(\varepsilon )^{-2}{\biggl \{}{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}w_{R5}(\varepsilon )^{2}-w_{R5}(\varepsilon )-1{\bigr ]}{\bigl [}w_{R5}(\varepsilon )^{2}+1{\bigr ]}+w_{R5}(\varepsilon )+1{\biggr \}}

In allen R-Stufen wird der Wert $w_{Rn}$ vom Landenschen Tochtermodul durch Produkt der Werte w und W vom Muttermodul und durch anschließende Teilung durch den zugehörigen reduzierten Weber-Nullwert der betroffenen R-Stufe hervorgerufen:

w_{R5}(\varepsilon )\,W_{R5}(\varepsilon )=2\,w_{R5}{\bigl [}\varepsilon ^{2}(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})^{-2}{\bigr ]}

Im Folgenden werden Tangensdifferenzen und Tangenssummen für die Darstellung der direkten Amplitudenfunktionswerte verwendet:

A\ominus B=\tan {\bigl [}\arctan(A)-\arctan(B){\bigr ]}={\frac {A-B}{1+AB}}

C\oplus D=\tan {\bigl [}\arctan(C)+\arctan(D){\bigr ]}={\frac {C+D}{1-CD}}

So gilt diese tabellarisch dargestellte Liste:

$\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}-1}{w_{R5}(\varepsilon )\,W_{R5}(\varepsilon )}}=1\ominus {\sqrt {2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\bigl [}{\sqrt {w_{R5}(\varepsilon )^{2}+1}}-w_{R5}(\varepsilon ){\bigr ]}$
$\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}+1}{w_{R5}(\varepsilon )\,W_{R5}(\varepsilon )}}={\sqrt {2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\bigl [}{\sqrt {w_{R5}(\varepsilon )^{2}+1}}+w_{R5}(\varepsilon ){\bigr ]}\ominus 1$
$\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2\,W_{R5}(\varepsilon )+1}}+1}{w_{R5}(\varepsilon )\,W_{R5}(\varepsilon )}}={\sqrt {2\,W_{R5}(\varepsilon )+1}}{\bigl [}{\sqrt {W_{R5}(\varepsilon )^{2}+1}}+W_{R5}(\varepsilon ){\bigr ]}\ominus 1$
$\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2\,W_{R5}(\varepsilon )+1}}-1}{w_{R5}(\varepsilon )\,W_{R5}(\varepsilon )}}=1\ominus {\sqrt {2\,W_{R5}(\varepsilon )+1}}{\bigl [}{\sqrt {W_{R5}(\varepsilon )^{2}+1}}-W_{R5}(\varepsilon ){\bigr ]}$

Wenn das Produkt aus Modul und Sinus-Amplitudinis-Produkt auf tangentielle Weise vom Modul abgezogen wird, dann entsteht ein separates Produkt aus der Tangensverdopplung des Moduls und einem gebrochen rationalen quartischen Polynom aus dem w-Wert:

\varepsilon \ominus \varepsilon \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}={\frac {2\,\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {w_{R5}(\varepsilon )+1}{w_{R5}(\varepsilon )^{4}-w_{R5}(\varepsilon )^{3}}}

Die Tangensverdopplung von dem Produkt aus Modul und Sinus-Amplitudinis-Produkt führt bei der Stufe R5 zum Produkt aus Tangensverdopplung des Moduls und Kehrwert des Quadrates vom w-Wert:

\varepsilon \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\oplus \varepsilon \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}={\frac {2\,\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}\,w_{R5}(\varepsilon )^{-2}

Wie bei der genannten Sinus-Amplitudinis-Produktformel für die Stufe R3 gilt ebenso für die Stufe R5 diese Formel:

\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}=2\,w_{R5}(\varepsilon )^{-1}W_{R5}(\varepsilon )^{-2}

Für die Stufe R5 ist der korrespondierende Weber-Nullwert gleich Zwei.

Deswegen gilt:

q(\varepsilon )^{5}=q{\bigl [}16\,\varepsilon ^{5}w_{R5}(\varepsilon )^{-4}W_{R5}(\varepsilon )^{-8}{\bigr ]}

Identitäten für n = 7

In der Stufe R7 ist eine Darstellung der Werte w und W durch reine Linearkombination der Jacobischen Amplitudenfunktionen nicht mehr möglich. Wenn aber Quotienten der Amplitudenfunktionswerte verwendet werden, dann werden die betroffenen Darstellung wieder möglich gemacht:

w_{R7}(\varepsilon )=2{\sqrt {2}}\,{\biggl \{}{\frac {\operatorname {sn} [{\tfrac {6}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}}+{\frac {\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}}-{\frac {\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {6}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}}-1{\biggr \}}^{-1}

W_{R7}(\varepsilon )=2{\sqrt {2}}\,{\biggl \{}{\frac {\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}{\operatorname {cn} [{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}}+{\frac {\operatorname {cn} [{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}{\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}}-{\frac {\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}{\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon ]}}-1{\biggr \}}^{-1}

Analog zu den beiden oben genannten Sinus-Amplitudinis-Produkten gilt auch für die Stufe R7 diese Formel:

\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}=2{\sqrt {2}}\,w_{R7}(\varepsilon )^{-1}W_{R7}(\varepsilon )^{-2}

Für die Stufe R7 ist der korrespondierende Weber-Nullwert gleich dem Doppelten der Quadratwurzel aus Zwei.

Deswegen gilt:

q(\varepsilon )^{7}=q{\bigl [}64\,\varepsilon ^{7}w_{R7}(\varepsilon )^{-4}W_{R7}(\varepsilon )^{-8}{\bigr ]}

Werteliste für die reduzierten Funktionen

Im Folgenden werden für verschiedene Moduln ε einige Werte der reduzierten Weberschen Funktionen aufgelistet:

Werte für n = 3:

w_{R3}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}-1){\sqrt[{6}]{2+{\sqrt {3}}}}

W_{R3}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\sqrt[{6}]{2+{\sqrt {3}}}}

w_{R3}({\sqrt {2}}-1)={\sqrt[{3}]{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}

W_{R3}({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}-2){\sqrt[{3}]{{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}

Klein-w-Werte für n = 5:

w_{R5}({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=

={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)\cot \left[{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan \left({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\right)\right]

w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]=\cot[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}})]

w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}})]=\cot[{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}})]

Groß-W-Werte für n = 5:

W_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)

W_{R5}[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]={\tfrac {1}{12}}({\sqrt[{3}]{10}}+2)^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{80}}

W_{R5}[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]={\tfrac {1}{12}}({\sqrt[{3}]{10}}+2)^{2}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{6}]{80}}

W_{R5}[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})]={\tfrac {1}{3}}(5+{\sqrt {5}})\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {21}}){\bigr ]}^{2}-{\tfrac {1}{2}}

W_{R5}[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}})]={\tfrac {1}{3}}(5-{\sqrt {5}})\cosh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {21}}){\bigr ]}^{2}-{\tfrac {1}{2}}

W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]={\tfrac {1}{8}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{4}]{60}})

W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}})]={\tfrac {1}{8}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{60}})

Werte für n = 7:

w_{R7}({\sqrt {2}}-1)=\cot \left\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arccsc} \left[{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\left({\sqrt {2{\sqrt {14}}+7}}+1\right)\right]\right\}

W_{R7}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {14}}+{\sqrt {2}}+2{\sqrt[{4}]{7}})

W_{R7}[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]={\tfrac {1}{12}}{\sqrt {2}}(2{\sqrt[{3}]{28}}+{\sqrt[{3}]{98}}+5+{\sqrt {21}}+{\sqrt {3}}{\sqrt[{6}]{28}})

W_{R7}[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})]={\tfrac {1}{12}}{\sqrt {2}}(2{\sqrt[{3}]{28}}+{\sqrt[{3}]{98}}+5-{\sqrt {21}}-{\sqrt {3}}{\sqrt[{6}]{28}})

Bei dieser Werteliste sind in den W-Klammern an allen Stellen die elliptischen Lambdafunktionswerte von rationalen Zahlen eingetragen.

w_PS-Funktion von Prasolov und Solovyev

Definition der w_PS-Funktion

Für das Lösen von Gleichungen fünften Grades definierten die russischen Mathematiker Viktor Prasolov (Виктор Прасолов) und Yuri Solovyev (Юрий Соловьёв) eine bestimmte elliptische Funktion auf Grundlage der Weberschen Modulfunktion 𝔣₀₀(x). Diese Funktion löst direkt die quintische Bring-Jerrard-Normalform auf:

w_{PS}(\alpha )=5^{-1/2}{\mathfrak {f}}_{00}(\alpha )^{-3}[{\mathfrak {f}}_{00}(\alpha ^{5})-{\mathfrak {f}}_{00}(\alpha ^{1/5})]\times \{{\mathfrak {f}}_{00}[\exp({\tfrac {2}{5}}i\pi )\alpha ^{1/5}]-{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {2}{5}}i\pi )\alpha ^{1/5}]\}

\times \{{\mathfrak {f}}_{00}[\exp({\tfrac {4}{5}}i\pi )\alpha ^{1/5}]-{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {4}{5}}i\pi )\alpha ^{1/5}]\}

Für diese w-Funktion existieren auch Identitäten mit dem Rogers-Ramanujan-Kettenbruch und der Thetafunktion:

w_{PS}(\alpha )={\frac {1}{64}}\,{\mathfrak {f}}_{00}(\alpha )^{12}{\biggl [}1-{\frac {R(\alpha ^{2})}{S(\alpha )^{2}}}{\biggr ]}^{2}{\biggl [}{\frac {1}{R(\alpha ^{2})^{2}}}-{\frac {S(\alpha )}{R(\alpha ^{2})}}{\biggr ]}^{2}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(\alpha ^{5})\vartheta _{00}(\alpha ^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(\alpha ^{5})^{3}}{\vartheta _{00}(\alpha )^{3}}}{\biggr ]}^{2}

w_{PS}(\alpha )={\frac {[\vartheta _{00}(\alpha ^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(\alpha ^{5})^{2}]^{2}[\vartheta _{00}(\alpha ^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(\alpha ^{5})^{2}-2\,\vartheta _{00}(\alpha ^{1/5})\,\vartheta _{00}(\alpha ^{5})-4\,\vartheta _{00}(\alpha )^{2}]}{16\,\vartheta _{10}(\alpha )^{2}\,\vartheta _{01}(\alpha )^{2}\,\vartheta _{00}(\alpha )^{2}}}

Diese beiden soeben genannten Identitäten stimmen miteinander überein.

Werteliste für die w_PS-Funktion

Im Folgenden werden Werte von dieser Funktion aufgelistet:

w_{PS}({\text{e}}^{-\pi })=0

w_{PS}({\text{e}}^{-3\pi })=w_{PS}[\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )]={\sqrt {3}}

w_{PS}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=w_{PS}[\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )]={\tfrac {1}{3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1)^{2}

w_{PS}[\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )]=w_{PS}[\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )]={\tfrac {1}{4}}\{{\sqrt {7}}-{\sqrt {3}}\tanh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {1}{9}}{\sqrt {21}})]\}^{2}

Anwendung bei der Bring-Jerrard-Form

Die w-Funktion nach Prasolov und Solovyev erfüllt auch folgende Gleichung:

w_{PS}(\alpha )[5+w_{PS}(\alpha )^{2}]^{2}={\mathfrak {f}}_{00}(\alpha )^{12}-64\,{\mathfrak {f}}_{00}(\alpha )^{-12}

Quintische Gleichungen in Bring-Jerrard-Form werden dann so aufgelöst:

x^{5}+5\,x=4\,c

x_{RE}={\frac {4\,c}{5+w_{PS}{\bigl \langle }q{\bigl \{}\operatorname {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{2}}}

Wichtiger Rechenhinweis für die hyperbolisch lemniskatischen Funktionen:

\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}={\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}\left({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c\right)

Entsprechender Algorithmus mit der reduzierten Modulfunktion

Äquivalent hierzu ist folgendes Verfahren:

x^{5}+5\,x=4\,c

Der elliptische Modul und sein pythagoräisches Gegenstück für diese Gleichung werden beim Bringschen Radikal nach Charles Hermite auf folgende Weise hervorgerufen:

k=\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}={\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}\left({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}-c\right)

k'=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}={\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}\left({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c\right)

Und so wird die reelle Lösung dieser quintischen Gleichung hervorgebracht:

x=5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+c^{2}}}{\bigl [}W_{R5}(k)-W_{R5}(k'){\bigr ]}\,{\sqrt {5W_{R5}(k)+5W_{R5}(k')-5-{\sqrt {5[2\,W_{R5}(k)+1][2\,W_{R5}(k')+1]}}}}

Auch richtig ist:

x={\frac {20\,c}{({\sqrt {c^{4}+1}}+c^{2})^{2}{\bigl [}W_{R5}(k)-W_{R5}(k'){\bigr ]}^{4}{\bigl \{}{\sqrt {5}}{\bigl [}W_{R5}(k)+W_{R5}(k')-1{\bigr ]}-{\sqrt {[2\,W_{R5}(k)+1][2\,W_{R5}(k')+1]}}{\bigr \}}^{2}+25}}

Quintisches Rechenbeispiel

Folgende Gleichung hat eine reelle Lösung, welche nach dem Satz von Abel-Ruffini nicht elementar, aber elliptisch darstellbar ist:

x^{5}+5\,x=4

Reelle Lösung dieser Gleichung:

k=\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (1)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )

k'=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (1)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )

x=5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}\,{\bigl \{}W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]-W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]{\bigr \}}\times

\times {\sqrt {5W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]+5W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]-5-{\sqrt {5\,\{2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]+1\}\{2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]+1\}}}}}

Genähert ergibt sich:

W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]\approx 1{,}971527201671233804783346663182383261864756

W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]\approx 0{,}82779089227667216644238116944423108682427

x\approx 0{,}75192639869405948026865366345020738740978

Siehe auch

Literatur

Heinrich Weber: Lehrbuch der Algebra. Vols. I–II. Chelsea, New York 1902, S. 113–114.
A. O. L. Atkin, F. Morain: Elliptic Curves and Primality Proving. Math. Comput. 61, 29–68, 1993.
Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.
Edmund Taylor Whittaker, George Neville Watson: A Course in Modern Analysis. 4th ed., Cambridge University Press, Cambridge, England 1990. S. 469–470.
Charles Hermite: Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Nr. 11, März 1858.
Francesco Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus. N. 11. Mars. 1858. 1. Dezember 1858, doi:10.1007/bf03197334.
Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs, vol. 170, Rhode Island, 1991, S. 149–169.
Jonathan Borwein, Peter Borwein: π and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley, 1998, ISBN 978-0-471-31515-5, Seite 139.

Einzelnachweise

↑ Eric W. Weisstein: Weber Functions. Abgerufen am 26. April 2022 (englisch).
↑ Der Mathematiker Heinrich Weber definierte diese drei Funktionen in seinem Lehrbuch der Algebra auf Seite 114.
↑ Eric W. Weisstein: Dedekind Eta Function. Abgerufen am 5. Mai 2022 (englisch).
↑ https://archive.org/details/lehrbuchderalgeb03webeuoft/page/244/mode/2up

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[1] Eric W. Weisstein: Weber Functions. Abgerufen am 26. April 2022 (englisch).

[2] Der Mathematiker Heinrich Weber definierte diese drei Funktionen in seinem Lehrbuch der Algebra auf Seite 114.

[3] Eric W. Weisstein: Dedekind Eta Function. Abgerufen am 5. Mai 2022 (englisch).

[4] ttps://archive.org/details/lehrbuchderalgeb03webeuoft/page/244/mode/2up