Produktdefinition der Transzendenten φ und ψ

Unter den Hermiteschen elliptischen Funktionen bilden die sogenannten elliptischen Transzendenten die Grundlage. Sie sind als die nun folgenden Produktreihen definiert:

${\displaystyle \varphi _{H}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/8}{\frac {(x;x^{2})_{\infty }(x^{4};x^{4})_{\infty }}{(x^{2};x^{2})_{\infty }(x^{2};x^{4})_{\infty }}}={\sqrt {2}}\,x^{1/8}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{2n}}{1+x^{2n-1}}}}$

${\displaystyle \psi _{H}(x)={\frac {(x;x^{2})_{\infty }^{2}}{(x^{2};x^{4})_{\infty }}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{2n-1}}{1+x^{2n-1}}}}$

Die Klammerausdrücke mit dem Unendlichkeitssymbol stellen die Pochhammer-Symbole dar.

Kettenbruchdefinition

Auch ist diese Kettenbruchdarstellung gültig:

${\displaystyle \varphi _{H}(x)={\cfrac {{\sqrt {2}}\,x^{1/8}}{1+{\cfrac {x}{1+x+{\cfrac {x^{2}}{1+x^{2}+{\cfrac {x^{3}}{\ddots }}}}}}}}}$

Definierende Summenreihen ohne Partitionsfolgen

Für die Funktionen φ und ψ sind basierend auf den Definitionen der Theta-Nullwertfunktionen auch folgende zwei Reihen gültig:

${\displaystyle \varphi _{H}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/8}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}{\biggr \}}^{1/2}{\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{-1/2}}$

${\displaystyle \psi _{H}(x)={\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{1/2}{\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{-1/2}}$

Mit dem Dreieckssymbol werden die Dreieckszahlen dargestellt: Δ(n) = n(n+1)/2

Und mit dem Kästchen wird die n-te Quadratzahl ausgedrückt.

MacLaurinsche Reihen

Für folgende zwei Funktionen stimmen die Beträge der Koeffizienten in den nun gezeigten MacLaurinschen Reihen überein:

${\displaystyle 2^{-1/2}x^{-1/8}\varphi _{H}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}P_{3}(k)x^{k}}$

${\displaystyle 2^{-1/2}x^{-1/8}\varphi _{H}(x)\,\psi _{H}(x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P_{3}(k)x^{k}}$

Mit der Bezeichnung P₃(k) wird angezeigt, auf wie viele verschiedene Weisen eine Summenzahl ${\displaystyle k}$ so in Summanden aufgeteilt werden kann, dass keiner der Summanden in der jeweiligen Summendarstellung mehr als dreimal auftaucht. Diese Zahlenfolge zeigt auch an, auf wie viele verschiedene Weisen eine Summenzahl ${\displaystyle k}$ so in Summanden aufgeteilt werden kann, dass kein gerader Summand wiederholt auftaucht.

Reihen mit strikten Partitionszahlen

Wenn jeder Summand höchstens einmal in der Partitionssumme vorkommen darf, dann liegen die sogenannten strikten Partitionen vor. Die gleiche Folge ergibt sich, wenn in der Partitionssumme nur ungerade Summanden auftauchen dürfen, aber diese auch mehrfach vorkommen dürfen. Tabellarisch werden auch diese Zahlen im nun Folgenden präsentiert:

In der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) ist die strikte Partitionsfolge Q unter der Verzeichnisnummer A000009 eingetragen.

Dann kann die Hermitesche elliptische Transzendente φ so definiert werden:

${\displaystyle \varphi _{H}(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl \{}8\,x^{1/2}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{12}{\biggr \}}{\biggr \rangle }^{1/4}}$

${\displaystyle \varphi _{H}(x)=2^{3/4}\,x^{1/8}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{3}{\biggl \langle }{\biggl \{}64\,x{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{24}+1{\biggr \}}^{1/2}+1{\biggr \rangle }^{-1/4}}$

Außerdem gilt dann:

${\displaystyle \psi _{H}(x)=2^{1/8}{\biggl \langle }{\biggl \{}64\,x{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{24}+1{\biggr \}}^{1/2}+1{\biggr \rangle }^{-1/8}}$

Nomenidentitäten

Wenn in diese Funktionen als innere Funktion das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße eingesetzt wird, dann können folgende Zusammenhänge formuliert werden:

${\displaystyle \varphi _{H}[q(\varepsilon )]=|\varepsilon |^{1/4}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[q(\varepsilon )^{2}]=|\tan[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon )]|^{1/2}}$

${\displaystyle \psi _{H}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{8}]{1-\varepsilon ^{2}}}}$

${\displaystyle \psi _{H}[q(\varepsilon )^{2}]={\sqrt {2}}\,{\sqrt[{16}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl (}{\sqrt {1+\varepsilon }}+{\sqrt {1-\varepsilon }}{\bigr )}^{-1/2}}$

Dabei ist das elliptische Nomen selbst so definiert:

${\displaystyle q(\varepsilon )=\exp \left[-\pi K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)K(\varepsilon )^{-1}\right]}$

Elliptische Integrale

Das vollständige elliptische Integral erster Art beziehungsweise die Jacobische Viertelperiode kann wie folgt definiert werden:

${\displaystyle K(y)=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4y^{2}z^{2}}}}\,\mathrm {d} z}$

Und der Buchstabe ε steht für die numerische Exzentrizität derjenigen Ellipse, bei welcher das Verhältnis des Viertelumfangs zur großen Halbachse gleich dem vollständigen elliptischen Integral zweiter Art E(k) mit der numerischen Exzentrizität ε als elliptischer Modul k ist. Es gilt somit die Regel: ε = k

Analog gilt für das vollständige elliptische Integral zweiter Art diese Definitionsformel:

${\displaystyle E(y)=\int _{0}^{1}{\frac {2{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4y^{2}z^{2}}}}{(z^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} z}$

Und die Integrale ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle E}$ stehen in jener Beziehung zueinander:

${\displaystyle E(y)+{\sqrt {1-y^{2}}}\,K(y)=\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)E\left[y^{2}\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)^{-2}\right]}$

Lemniskatische Werte

Die folgende Tabelle stellt einige grundlegenden Werte und lemniskatischen Werte von diesen beiden Funktionen gegenüber:

Tabelle der Hermiteschen Funktionswerte

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \varphi _{H}(x)}$	${\displaystyle \psi _{H}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\varphi _{H}(x)}{\psi _{H}(x)}}}$
0	0	1	0
1	1	0	${\displaystyle +\,\infty }$
${\displaystyle {\text{e}}^{-\pi }}$	${\displaystyle 2^{-1/8}}$	${\displaystyle 2^{-1/8}}$	1
${\displaystyle {\text{e}}^{-2\pi }}$	${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)^{1/2}}$	${\displaystyle 2^{5/16}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$	${\displaystyle 2^{-5/16}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$
${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi )}$	${\displaystyle 2^{5/16}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$	${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)^{1/2}}$	${\displaystyle 2^{5/16}({\sqrt {2}}+1)^{1/4}}$
${\displaystyle {\text{e}}^{-3\pi }}$	${\displaystyle 2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}-{\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle 2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle 2^{-1}({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})}$
${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )}$	${\displaystyle 2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle 2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}-{\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle 2^{-1}({\sqrt {3}}+1+{\sqrt[{4}]{12}})}$
${\displaystyle {\text{e}}^{-4\pi }}$	${\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)^{1/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)}$	${\displaystyle 2^{13/32}({\sqrt {2}}+1)^{5/8}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{1/2}}$	${\displaystyle 2^{-13/32}({\sqrt {2}}-1)^{1/8}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{1/2}}$
${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{4}}\pi )}$	${\displaystyle 2^{13/32}({\sqrt {2}}+1)^{5/8}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{1/2}}$	${\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)^{1/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)}$	${\displaystyle 2^{13/32}({\sqrt {2}}+1)^{5/8}({\sqrt[{4}]{2}}+1)^{1/2}}$
${\displaystyle {\text{e}}^{-5\pi }}$	${\displaystyle 2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)}$	${\displaystyle 2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}+1)}$	${\displaystyle 2^{-2}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}}$
${\displaystyle \exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi )}$	${\displaystyle 2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}+1)}$	${\displaystyle 2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)}$	${\displaystyle 2^{-2}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{2}}$

Für die Ermittlung dieser lemniskatischen Werte können folgende Formeln angewendet werden:

${\displaystyle \varphi _{H}({\text{e}}^{-2\pi n})=\prod _{m=1}^{n}\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {2m-1}{4n}}\varpi {\bigr )}}$

${\displaystyle {\frac {\varphi _{H}[{\text{e}}^{-(2n+1)\pi }]}{\psi _{H}[{\text{e}}^{-(2n+1)\pi }]}}=\prod _{m=1}^{n}\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {m}{2n+1}}\varpi {\bigr )}}$

Beide Formeln sind für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ gültig.

Nicht lemniskatische Werte

Analog können diese Werte aufgestellt werden:

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/2}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-1)^{3/4}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]={\frac {\Phi \,{\text{g}}(50)-{\sqrt {2}}-1}{\Phi ({\sqrt {2}}+1)\,{\text{g}}(50)+1}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

Dabei hat der Ramanujansche g-Funktionswert g(50) folgende Identität:

${\displaystyle {\text{g}}(50)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=}$

${\displaystyle =\Phi ^{-1}\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}{\bigr )}{\bigr ]}=}$

${\displaystyle ={\text{nc}}[{\tfrac {4}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]-{\text{nc}}[{\tfrac {2}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]\approx }$

${\displaystyle \approx 2{,}12190403802900202926}$

Und es gilt für die Goldene Zahl:

${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$

Jene Funktionswerte werden auf trigonometrische Weise oder faktorisiert ausgedrückt:

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )^{1/4}}$

${\displaystyle \psi _{H}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )^{1/4}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )]=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-3})]^{1/4}=2^{-7/8}\Phi ^{-3/8}{\bigl (}{\sqrt {\Phi +{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {\Phi -{\sqrt {2}}}}{\bigr )}}$

${\displaystyle \psi _{H}[\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-3})]^{1/4}=2^{-7/8}\Phi ^{-3/8}{\bigl (}{\sqrt {\Phi +{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {\Phi -{\sqrt {2}}}}{\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )]=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}})]^{1/4}=2^{-5/8}(3-{\sqrt {7}})^{1/4}}$

${\displaystyle \psi _{H}[\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}})]^{1/4}=2^{-5/8}(3+{\sqrt {7}})^{1/4}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )]=2^{-7/8}{\bigl (}{\sqrt {11}}+3{\bigr )}^{1/4}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}}$

${\displaystyle \psi _{H}[\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )]=2^{-7/8}{\bigl (}{\sqrt {11}}-3{\bigr )}^{1/4}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {15}}\,\pi )]=2^{-7/8}\Phi ^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \psi _{H}[\exp(-{\sqrt {15}}\,\pi )]=2^{-7/8}\Phi ^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}}}}$

Die nun folgenden Werte werden mit hyperbolisch lemniskatischen Funktionsausdrücken dargestellt:

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )]=\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3{\sqrt {2}})]^{1/2}}$

${\displaystyle \psi _{H}[\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )]=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3{\sqrt {2}})]^{1/2}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {37}}\,\pi )]=\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (21{\sqrt {2}})]^{1/2}}$

${\displaystyle \psi _{H}[\exp(-{\sqrt {37}}\,\pi )]=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (21{\sqrt {2}})]^{1/2}}$

Andere Werte können vereinfacht beispielsweise mit den lemniskatischen Funktionen dargestellt werden:

Die vier Werte im Kästchen oben rechts in dieser Tabelle sind stets positive Werte!

Für die gezeigten Ableitungen der lemniskatischen Funktionen gilt:

${\displaystyle \operatorname {sl'} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {sl} (x)=\operatorname {cl} (x)[\operatorname {sl} (x)^{2}+1]}$

${\displaystyle \operatorname {cl'} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {cl} (x)=-\operatorname {sl} (x)[\operatorname {cl} (x)^{2}+1]}$

Die hier abgebildeten Werte stehen in Tangensdarstellung:

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {26}}\,\pi )]=}$

${\displaystyle =({\sqrt {2}}+1)^{1/2}({\sqrt {26}}+5)^{1/4}\tan {\bigl [}{\tfrac {3}{8}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {13}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {6}}+4{\sqrt {13}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {6}}-4{\sqrt {13}}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )]=\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{1/4}}$

${\displaystyle \varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {42}}\,\pi )]=\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{1/4}}$