Basisgrößen und deren Einheiten in der Physik

Messen einer physikalischen Größe heißt Größenarten (z. B. Geschwindigkeit, Druck) mit etwas vergleichen.

Für solche Vergleiche benötigt man nie mehr als sieben Grundgrößenarten, die man Basisgrößenarten nennt. Für sie sind über Prototypen Basiseinheiten (z. B. Meter, Sekunde) definiert. Jede Basisgrößenart stellt eine eigene Dimension dar, die nicht über die restlichen Basisgrößenarten beschrieben werden kann. Sie sind alle voneinander unabhängig.

Grundgrößensysteme

Ein Grundgrößensystem beinhaltet alle Dimensionen, in denen ein Messvorgang stattfindet. Ein System, das alle bekannten Dimensionen – L = Länge, M = Masse, T = Zeit, I = Stromstärke, Θ = thermodynamische Temperatur, N = Stoffmenge und J = Lichtstärke – enthält, heißt {L,M,T,I,Θ,N,J}-System. Es ist ausreichend, um alle Vorgänge in der Natur zu erfassen. In der Mechanik, dem Hauptanwendungsgebiet der Dimensionsanalyse, kann man sich meist auf ein {L,M,T}-System beschränken.

Im Grundgrößensystem selbst ist die explizite Wahl einer Basiseinheit belanglos. Die Länge [L] wird so etwa mit den Basiseinheiten Meter, Fuß, Zentimeter, Yard etc. gemessen. Die Basiseinheit dient aber nur einem Vergleichszweck, sie ist nicht mit der Dimension zu verwechseln.

Grundgrößensysteme können nicht nur aus denjenigen Grundgrößenarten gebildet werden, die auch gleichzeitig Basisgrößenarten sind, sondern auch mit allen anderen. So ist nach Newton die Kraft als zusammengesetzte Größe aus Masse und den Grundgrößenarten Länge und Zeit geeignet, die Masse in einem {L,M,T}-System zu ersetzen. Dann entsteht ein {L,F,T}-System mit der Grundgrößenart Kraft [F] an Stelle der Masse, über die sie definiert ist. Die Kraft besitzt hier als Dimensionsbegriff eine eigene, unabhängige Dimension, welche den Massenbegriff einschließt.

Äquivalenz von Grundgrößensystemen

Alle Größenarten eines {M,L,T}-System lassen sich auch in einem {F,L,T}-System angeben. Ein {M,F,L,T}-System darf es wegen der Abhängigkeit von Masse und Kraft nicht geben. Die Forderung nach voneinander unabhängigen Dimensionen wäre verletzt.

Man kann alternativ Grundgrößensysteme wählen, in denen der Druck, die Geschwindigkeit oder die Frequenz Grundgrößen sind. Bedingung ist, dass jede Grundgröße für sich eine von den anderen verwendeten Grundgrößen unabhängige Dimension darstellt.

Man nennt alle Grundgrößensysteme, in denen dieselben Größen dargestellt werden können, äquivalent. Für das Auffinden von so genannten Π-Faktoren ist die explizite Wahl von Grundgrößen belanglos. Sie ist nur eine Frage der bevorzugten Darstellungsweise.

In der Mechanik gebräuchliche Größenarten in einem {M,L,T}-System sind nachfolgend mit ihren Dimensionsformeln aufgelistet. Ihre Einheiten sind Potenzprodukte der Basiseinheiten. Ihre Dimensionsformeln sind Potenzprodukte der Dimensionen, innerhalb derer diese Einheiten beschrieben sind.

In der Mechanik gebräuchliche Größenarten in einem {M,L,T}-System

Größenart	Größenbezeichnung (Formelzeichen)	Einheit	Dimensionsformel
Masse	${\displaystyle m}$	kg	${\displaystyle M}$
Länge	${\displaystyle l}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle h}$, …	m	${\displaystyle L}$
Zeit	${\displaystyle t}$	s	${\displaystyle T}$
Frequenz	${\displaystyle f}$	Hz (= 1/s)	${\displaystyle T^{-1}}$
Winkelgeschwindigkeit	${\displaystyle \omega }$	1/s	${\displaystyle T^{-1}}$
Geschwindigkeit	${\displaystyle v}$	m/s	${\displaystyle L\cdot T^{-1}}$
Beschleunigung	${\displaystyle a}$	m/s²	${\displaystyle L\cdot T^{-2}}$
Impuls	${\displaystyle p}$	m·kg/s	${\displaystyle M\cdot L\cdot T^{-1}}$
Dichte	${\displaystyle \rho }$	kg/m³	${\displaystyle M\cdot L^{-3}}$
Kraft	${\displaystyle F}$	N (= kg·m/s²)	${\displaystyle M\cdot L\cdot T^{-2}}$
Wichte	${\displaystyle \gamma }$	N/m³	${\displaystyle M\cdot L^{-2}\cdot T^{-2}}$
Druck, Spannung	${\displaystyle p}$	N/m²	${\displaystyle M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}}$
Elastizitätsmodul	${\displaystyle E}$	N/m²	${\displaystyle M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}}$
Energie	${\displaystyle W}$	J (= m²·kg/s²)	${\displaystyle M\cdot L^{2}\cdot T^{-2}}$
Leistung	${\displaystyle P}$	W (= m²·kg/s³)	${\displaystyle M\cdot L^{2}\cdot T^{-3}}$
Dynamische Viskosität	${\displaystyle \mu }$	N·s/m²	${\displaystyle M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}}$
Kinematische Viskosität	${\displaystyle \nu }$	m²/s	${\displaystyle L^{2}\cdot T^{-1}}$

Formulierungen, wie „maßgebliche Größe der Dichte“ oder „Einfluss der Größen Geschwindigkeit und Beschleunigung“, sind umgangssprachlich. Diese Verwendung des Begriffs Größe ist im physikalischen Sinne nicht korrekt. Dichte, Geschwindigkeit, Beschleunigung usw. sind Größenarten. Erst in einer Gleichung der Art:

${\displaystyle v=3\,\mathrm {m/s} }$

wird eine Größe ${\displaystyle v}$ (man kann auch von Messgröße sprechen) über eine (Maß-)Einheit [m/s] und eine Maßzahl 3 beschrieben. Für technische Zwecke ist dies aber nicht relevant.

Grundgrößensysteme und ihre Transformationen

Jedes Grundgrößensystem kann mithilfe einer Übergangsmatrix, welche die Exponenten der Dimensionen enthält, in ein dazu äquivalentes überführt werden. Möchte man in einem Grundgrößensystem beispielsweise die Dimension der Kraft ${\displaystyle F}$, gegeben in der Form

${\displaystyle F^{1}=M^{1}\cdot L^{1}\cdot T^{-2}}$,

durch die Masse ${\displaystyle M}$ ausdrücken, so gelingt dies durch die einfache algebraische Umstellung

${\displaystyle M^{1}=F^{1}\cdot L^{-1}\cdot T^{2}}$.

Oder, in übersichtlicher Form dargestellt, mit der Übergangsmatrix der Exponenten ${\displaystyle D_{1}}$

${\displaystyle D_{1}={\begin{pmatrix}&\mathbf {F} &\mathbf {L} &\mathbf {T} \\\mathbf {M} &1&-1&2\\\mathbf {L} &0&1&0\\\mathbf {T} &0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Die Transformation der Grundgrößen des {M,L,T}-Systems zum {F,L,T}-Grundgrößensystem ist durch die Matrizenmultiplikation

${\displaystyle R\cdot D_{1}={\begin{pmatrix}&\mathbf {M} &\mathbf {L} &\mathbf {T} \\m&1&0&0\\l,b,h,\dots &0&1&0\\t&0&0&1\\f&0&0&-1\\\omega &0&0&-1\\v&0&1&-1\\a&0&1&-2\\\rho &1&-3&0\\F&1&1&-2\\\gamma &1&-2&-2\\p,E&1&-1&-2\\W&1&2&-2\\P&1&2&-3\\\mu &1&-1&-1\\\nu &0&2&-1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}&\mathbf {F} &\mathbf {L} &\mathbf {T} \\\mathbf {M} &1&-1&2\\\mathbf {L} &0&1&0\\\mathbf {T} &0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&\mathbf {F} &\mathbf {L} &\mathbf {T} \\m&1&-1&2\\l,b,h,\dots &0&1&0\\t&0&0&1\\f&0&0&-1\\\omega &0&0&-1\\v&0&1&-1\\a&0&1&-2\\\rho &1&-4&2\\F&1&0&0\\\gamma &1&-3&0\\p,E&1&-2&0\\W&1&1&0\\P&1&1&-1\\\mu &1&-2&1\\\nu &0&2&-1\\\end{pmatrix}}=Q}$.

möglich, wenn die Dimensionsmatrix ${\displaystyle R}$ die Exponenten aller Dimensionsformeln des {M,L,T}-Systems enthält. Die gesuchten Exponenten der Dimensionsformeln im {F,L,T}-System finden sich dann in der Dimensionsmatrix ${\displaystyle Q}$.

Da Länge und Zeit durch die Transformation unberührt bleiben, ändern sich lediglich die Exponenten derjenigen Größen, die mit der Dimension der Masse ${\displaystyle M}$ korreliert sind. Man erkennt, dass sich für einige Grundgrößen, wie beispielsweise den Druck ${\displaystyle p}$, die Dimensionsformeln vereinfachen. Für andere hingegen, wie die direkt von der Masse abhängende Dichte ${\displaystyle \rho }$, jedoch verkomplizieren. Es ist nützlich ein solches Grundgrößensystem zu bilden, in dem sich die Größen des konkreten Problems möglichst einfach darstellen lassen.

Definition

${\displaystyle \Pi }$-Faktoren nennt man diejenigen Produkte, die sich aus einer Matrix wie der obigen Dimensionsmatrix ${\displaystyle R}$ ergeben, wenn man einzelne Größen in beliebige Potenzen erhebt und sie mit anderen in der Matrix vorkommenden Größen derart multipliziert, dass das Produkt dimensionslos wird bzw. die Dimension 1 besitzt. Die Dimension einer Größe ${\displaystyle x}$ wird durch das Klammerzeichen ${\displaystyle [x]}$ angegeben. Beispielsweise ist das Potenzprodukt

${\displaystyle \Pi =v^{1}\cdot a^{-1}\cdot t^{-1}}$

ein ${\displaystyle \Pi }$-Faktor der Matrix ${\displaystyle R}$, der die geforderte Dimension

${\displaystyle [\Pi ]=L^{1}\cdot T^{-1}\cdot L^{-1}\cdot T^{2}\cdot T^{-1}=1}$

besitzt. Die Dimension 1 bleibt natürlich auch dann erhalten, wenn man ${\displaystyle \Pi }$ in beliebige Potenzen erhebt. Es ist:

${\displaystyle [\Pi ^{2}]=[{\sqrt {\Pi }}]=[\Pi ^{\lambda }]=1,\,\lambda \in \mathbb {R} \neq 0}$

Anzahl der Π-Faktoren

Es sind beliebig viele Darstellungen eines einmal gefundenen Faktors möglich. Die Anzahl der ${\displaystyle \Pi }$-Faktoren, die nicht als Potenz eines vorher gefundenen Faktors oder als Produkt von in Potenzen erhobenen Faktoren geschrieben werden können, ist allerdings beschränkt. Über die Existenz dieser ${\displaystyle \Pi }$-Faktoren in einer gewählten Dimensionsmatrix ${\displaystyle A}$ kann gesagt werden, dass es genau ${\displaystyle p=n-r}$ linear unabhängige ${\displaystyle \Pi }$-Faktoren gibt.

Dabei sind:

• p: Die Anzahl der dimensionslosen ${\displaystyle \Pi }$-Faktoren
• n: Die Anzahl der dimensionsgebundenen Größen
• r: Der Rang der Matrix ${\displaystyle A}$.

Formale Vorgehensweise für eine Dimensionsanalyse

${\displaystyle A}$ ist als Dimensionsmatrix mit ${\displaystyle n}$ Zeilen für die Größen ${\displaystyle x_{n}}$ und 3 Spalten für 3 Dimensionen ${\displaystyle Y_{j}}$ zu wählen:

${\displaystyle (1)\quad A={\begin{pmatrix}&Y_{1}&Y_{2}&Y_{3}\\x_{1}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\x_{2}&a_{21}&\ddots &\ddots \\x_{3}&a_{31}&\ddots &\ddots \\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\x_{n}&a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}\\\end{pmatrix}}}$

Findet man einen Zeilenvektor ${\displaystyle k}$ mit der Spaltenanzahl ${\displaystyle n}$, für den gilt:

${\displaystyle (2)\quad k\cdot A={\begin{pmatrix}k_{1}&k_{2}&k_{3}&\dots &k_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&\ddots &\vdots \\a_{31}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

dann hat man mit:

${\displaystyle (3)\quad \Pi =x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{k_{n}}}$

einen ${\displaystyle \Pi }$-Faktor von ${\displaystyle A}$ gefunden.

Kontrollmöglichkeiten

Die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren, die diese Gleichung (2) erfüllen, ist ${\displaystyle p}$. Ihre lineare Unabhängigkeit beweist man, indem man zeigt, dass der Rang der Matrix ${\displaystyle K}$, die man aus ${\displaystyle p}$ gefundenen Zeilenvektoren bilden kann, ebenfalls ${\displaystyle p}$ ist.

${\displaystyle (4)\quad \mathrm {rg} (K)={\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&\dots &k_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\k_{p1}&k_{p2}&k_{p3}&\dots &k_{pn}\\\end{pmatrix}}=p}$

Multipliziert ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle A}$ ergibt sich die Nullmatrix ${\displaystyle 0}$ mit der Anzahl der gewählten Dimensionen (hier: 3) als Spalten und der Anzahl der Vektoren als Zeilen.

${\displaystyle (5)\quad {\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&\dots &k_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\k_{p1}&k_{p2}&k_{p3}&\dots &k_{pn}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&\ddots &\vdots \\a_{31}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0\\\end{pmatrix}}}$

Aus der Matrixalgebra ergibt sich, dass auch jede beliebige Linearkombination der gefundenen Zeilenvektoren Gleichung (2) löst, und damit einen ${\displaystyle \Pi }$-Faktor darstellt. Demnach ist (5) auch für jede Matrix erfüllt, die sich aus ${\displaystyle K}$ ergibt, indem man Zeilen mit beliebigen reellen Zahlen verschieden von Null multipliziert und mit anderen Zeilen addiert oder subtrahiert. Am Rang der Matrix ${\displaystyle K}$ ändert sich nichts. Für die Anzahl möglicher Lösungsmöglichkeiten heißt dies, dass man mit ${\displaystyle p}$ gefundenen ${\displaystyle \Pi }$-Faktoren beliebig viele andere ${\displaystyle \Pi }$-Faktoren bilden kann:

${\displaystyle (6)\quad \Pi =\Pi _{1}^{\lambda _{1}}\cdot \Pi _{2}^{\lambda _{2}}\cdot \quad \cdot \Pi _{p}^{\lambda _{p}},\,\lambda _{i}\in \mathbb {R} \neq 0,}$

wobei deren zugehörige Zeilenvektoren homogene Lösungen von (2) wären. Es sind allerdings weiterhin nur genau ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$-Faktoren, die ein Fundamentalsystem der Dimensionsmatrix bilden.

Schlussfolgerungen

• Mit einem beliebigen Fundamentalsystem sind über (6) alle existierenden Lösungen von (2) bestimmt. Dabei sind beliebig viele Lösungen darstellbar.
• Dimensionslose Zahlenkonstanten, die oft schon Verhältnisgrößen sind, bleiben bei dieser Rechnung dimensionslos und stellen automatisch einen dimensionslosen Π-Faktor dar.

Auffinden eines Fundamentalsystems von Π-Faktoren

Aussagen des Π-Theorems

Das so genannte ${\displaystyle \Pi }$-Theorem (in der Literatur auch oft Buckingham-Theorem), leitet einen Schritt weiter. Seine Hauptaussage ist, dass sich jede dimensionsgebundene Gleichung

${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n});\quad [y]=[f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})]\neq 1}$

in die Form von

${\displaystyle (9)\quad {\frac {y}{x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{k_{n}}}}=G(\Pi _{1},\Pi _{2},\dots ,\Pi _{p})}$

${\displaystyle \left[{\frac {y}{x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{k_{n}}}}\right]=\left[G(\Pi _{1},\Pi _{2},\dots ,\Pi _{p})\right]=1,\,k_{i}\in \mathbb {R} \neq 0,\,p\,{\text{wie vorher}}}$

überführen lässt und damit nur aus dimensionslosen Potenzprodukten (und Zahlenkonstanten) aufgebaut ist. Dabei kann es sein, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die linke Seite der Gleichung in dimensionsloser Form darzustellen. Gelegentlich wird in der Literatur die linke Seite ebenfalls als Π-Faktor bezeichnet. Dies ist legitim, aber nicht konsequent, denn durch die Trennung in linke und rechte Seite erhält man die präzisere Aussage

${\displaystyle {\frac {y}{x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{k_{n}}}}-G(\Pi _{1},\Pi _{2},\dots ,\Pi _{p})=0}$

an Stelle von

${\displaystyle F\left(\Pi _{1},\Pi _{2},\dots ,\Pi _{p},{\frac {y}{x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{k_{n}}}}\right)=0}$

Die Bedeutung des Theorems liegt darin, dass eine Aussage über den funktionalen Zusammenhang dimensionsbehafteter physikalischer Größen gemacht werden kann, der sich vielleicht nicht explizit formelmäßig angeben lässt. Dies gilt für viele komplexe Sachverhalte in der Natur (z. B. Turbulenz, Kármánsche Wirbelstraße). Da Größen nur noch in bestimmten Relationen, den vorgestellten Π-Faktoren, zueinander auftreten können, erreicht man gleichzeitig eine nützliche Reduktion der Funktionsvariablen in ${\displaystyle G}$ gegenüber denen in ${\displaystyle f}$, denn es gilt wiederum ${\displaystyle p=n-r}$.

Schlussfolgerungen

Ist die Anzahl ${\displaystyle p}$ der Π-Faktoren klar, dann gilt:

• Bei ${\displaystyle p=0}$ ist der gesuchte funktionale Zusammenhang bis auf eine Proportionalitätskonstante bestimmt.
• Existieren einer oder mehrere Faktoren (${\displaystyle p>0}$), dann kann ein funktionaler Zusammenhang, etwa aus experimentellen Ergebnissen oder durch pure Intuition, nur erraten werden. Explizit herleiten lässt er sich nicht.

Häufig trifft im zweiten Fall der Produktansatz nach Rayleigh zu, also dass die gefundenen Π-Faktoren miteinander multipliziert und in eine entsprechende, oft ganzzahlige Potenz erhöht, das gesuchte Endergebnis liefern.

Es lassen sich noch zwei allgemeinere Schlussfolgerungen ziehen:

• Satz 1: Wenn eine Größe ${\displaystyle x_{a}}$ nicht dazu benötigt wird, auf ein Fundamentalsystem von Π-Faktoren zu gelangen oder ${\displaystyle y}$ dimensionslos zu machen, dann hängt ${\displaystyle y}$ entweder nicht von ${\displaystyle x_{a}}$ ab, oder der gedachte funktionale Zusammenhang muss um mindestens eine weitere Größe erweitert werden.
• Satz 2: Wenn ${\displaystyle y}$ durch kein Potenzprodukt aus den ${\displaystyle x_{i}}$ dimensionslos gemacht werden kann, dann ist die Dimensionsmatrix unvollständig oder falsch.

Das bedeutet, dass man in jedem Falle bei dimensionsbehafteten Gleichungen, was physikalische Formeln immer sind, zu einer vorteilhaften, dimensionslosen Darstellung gelangen kann, in der die Einheiten der Größen keine Rolle spielen.

Diese fundamentalen Prinzipien sind bedeutsam für die gesamte Physik.

Vollständige und teilweise Modellähnlichkeit

Wenn es gelingt, alle Π-Faktoren in einem physikalisch interessierenden Wertebereich konstant zu halten, spricht man von vollständiger Modellähnlichkeit, ansonsten von teilweiser Modellähnlichkeit.

Oftmals glückt die vollständige Modellähnlichkeit allerdings nicht, und man ist gezwungen, den mehr oder weniger großen Nebeneffekt auf das letztendliche Messergebnis abzuschätzen. Nebeneffekte können auch anderweitig auftreten, nämlich wenn eine Größe, deren Einfluss auf den Prototyp belanglos wäre, das Modell unerwünscht stark beeinflusst (s. Froude-Zahl im Schiffsmodell).

Modellgesetze

Über die Gleichsetzung der Π-Faktoren von Modell und Prototyp ergeben sich Modellgesetze. Variiert man in der Reynoldszahl des Modells gegenüber dem Prototyp die Länge, kann man dies, wie oben erklärt, durch Anpassung der Viskosität und/oder der Geschwindigkeit ausgleichen.

Um die Modellgesetze in eine vorteilhafte Form zu bringen, ist man immer bestrebt, nur diejenigen Größen in die Π-Faktoren zu übernehmen, die man auch im Modell variieren kann und nicht diejenigen, die sich aus der Konsequenz dieser Variation ergeben würden. Die praktisch sinnvollste Form erreicht man, wenn es möglich ist, diese Gleichungen derart zu schreiben, dass beim Einsetzen der Größenwerte des Prototyps immer eine eindeutige Aussage über eine einzelne Versuchseinstellung im Modell möglich ist. Also dergestalt, dass sich bei jeder Änderung der Ausgangssituation im Prototyp immer die erforderliche Versuchseinstellung im Modell offenbart.

Modellversuche

Ein nicht zu unterschätzender Vorteil liegt überdies noch darin, in einem Modellversuch nicht mehr alle einfließenden Größen einzeln variieren zu müssen, sondern nur noch die aus ihnen gebildeten, und von der Anzahl her geringeren, Π-Faktoren. Auch für die Darstellung der späteren Versuchsergebnisse ist dies von entscheidender Bedeutung. Indem man nur noch Π-Faktoren statt einzelner, dimensionsbehafteter, Größen aufträgt, gelangt man zu einer wesentlich knapperen und übersichtlicheren Veranschaulichung der Messgrößen (man spart Dimensionen). Alle Diagramme, in denen die Achsen dimensionslos dargestellt sind, basieren auf der Grundlage der Dimensionsanalyse.

Beim Bau eines Modells und der späteren Versuchsdurchführung muss man sorgfältig alle relevanten Größen im Voraus überlegen. Nur über die richtigen Parameter gelangt man auf die richtigen oder einen vollständigen Satz von Π-Faktoren und kann eine realistische Simulation durchführen. Bei Auswahl zu vieler Größen, die möglicherweise nur geringe Bedeutung auf die Messung haben, steigt jedoch die Anzahl der Versuche gewaltig. Dies erfordert physikalischen Sachverstand.

Vielleicht stellt sich im Nachhinein heraus, dass eine Größe, der man eine Bedeutung zugedacht hatte, wesentlich weniger Einfluss auf das Ergebnis hat als angenommen. Falls diese Größe nur in einem einzigen Faktor vorkommt, ist es möglich, diesen zu streichen. Ansonsten empfiehlt es sich, mit einem neuen Satz von Größen die Dimensionsmatrix zu bilden und ein passendes Fundamentalsystem zu finden.

Galileis Fallgesetz

Zunächst sei fälschlicherweise angenommen, dass im Fallgesetz von Galileo Galilei der Fallweg ${\displaystyle s}$ neben der Fallbeschleunigung ${\displaystyle g}$ und Zeit ${\displaystyle t}$ auch von der Masse ${\displaystyle m}$ des fallenden Körpers abhinge, also:

${\displaystyle s=f(g,t,m)\,}$

Die zugeordnete Dimensionsmatrix ${\displaystyle A}$ lautet in ausführlicher Schreibweise

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}&\mathbf {M} &\mathbf {L} &\mathbf {T} \\g&0&1&-2\\t&0&0&1\\m&1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

bzw. in mathematisch exakter Formulierung

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&-2\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}.}$

Da alle Zeilenvektoren von ${\displaystyle A}$ linear unabhängig sind, ergibt sich der Rang zu ${\displaystyle \mathrm {rg} (A)=3}$; es existieren keine Π-Faktoren, denn mit ${\displaystyle n=r=3}$ gilt ${\displaystyle p=n-r=0}$. Es kann nur gelten:

${\displaystyle {\frac {s}{gt^{2}}}={\text{const.}}}$

Der Ansatz ${\displaystyle s=f(g,t,m)}$ kann nicht dimensionslos gemacht werden und ist folglich physikalisch nicht korrekt. Eine Abhängigkeit des Fallwegs von der Masse führt erst dann zu einer richtigen Beschreibung, wenn die Luft berücksichtigt wird. Denn die für die bremsende Reibung verantwortliche Luftdichte enthält die Dimension der Masse.

Galilei stand die Differentialrechnung nicht zur Verfügung. Ihm war unbekannt, dass die Fallgeschwindigkeit ${\displaystyle v}$ die zeitliche Ableitung des Fallwegs ${\displaystyle s}$ ist. Zeitweilig nahm er an, dass ${\displaystyle s\sim v}$. Hätte er sich der Dimensionsanalyse bedient, wäre klar gewesen, dass der Ansatz ${\displaystyle s=f(v,g)}$ zu

${\displaystyle {\frac {sg}{v^{2}}}={\text{const.}}}$

führt und dies ohne Kenntnis der Differentialrechnung.

Eulers Knickstab

Vertikal belastete Stäbe einer bestimmten Länge sind knickgefährdet, d. h. ihr Versagen erfolgt häufig, bevor die eigentliche Bruchlast des Querschnitts erreicht ist. Die so genannte Knicklast ${\displaystyle F}$ eines solchen Stabes mit Rechteckquerschnitt hängt vom Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$, seiner Länge ${\displaystyle l}$, seiner Querschnittshöhe ${\displaystyle h}$, seiner Querschnittsdicke ${\displaystyle d}$ und den Lagerbedingungen an den Enden ab:

${\displaystyle F=f(E,l,h,d)\,}$.

Die Dimensionsmatrix ${\displaystyle A}$ für den zweiten Fall der nebenstehenden Abbildung ergibt sich für ein {F,L,T}-System in ausführlicher Schreibweise zu

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}&\mathbf {F} &\mathbf {L} &\mathbf {T} \\E&1&-2&0\\l&0&1&0\\h&0&1&0\\d&0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

bzw. in mathematisch exakter Formulierung zu

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$.

Der Rang von ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle r:=\mathrm {rg} (A)=2}$. Die Anzahl der Π-Faktoren ergibt sich mit ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle r=2}$ zu ${\displaystyle p=n-r=2}$. Bei diesen beiden leicht zu erratenden Π-Faktoren handelt es sich um die so genannten geometrischen Ähnlichkeiten ${\displaystyle \Pi _{1}=hl^{-1}}$ und ${\displaystyle \Pi _{2}=hd^{-1}}$. Für dimensionsloses ${\displaystyle F}$ muss

${\displaystyle {\frac {F}{E\cdot l^{2}}}=G\left({\frac {h}{l}},{\frac {h}{d}}\right)}$

gelten, womit die Dimensionsanalyse gezeigt hat, dass man in Laborversuchen lediglich die so genannte Schlankheit des Stabes ${\displaystyle hl^{-1}}$ und das Seitenverhältnis des Querschnitts ${\displaystyle hd^{-1}}$ variieren muss, um für beliebige E-Moduln von Rechteckstäben deren Knicklast zu erhalten.

Nach Gleichung 6 im Abschnitt Existenz und Anzahl von Π-Faktoren lässt sich ein weiterer Π-Faktor bilden:

${\displaystyle \Pi _{3}=\Pi _{1}\cdot \Pi _{2}^{-1}={\frac {h}{l}}\cdot {\frac {1}{\frac {h}{d}}}={\frac {d}{l}}}$.

Mithilfe dieses Faktors liefert die Dimensionsanalyse die gleichwertige Beziehung

${\displaystyle {\frac {F}{E\cdot l^{2}}}=G\left({\frac {h}{l}},{\frac {d}{l}}\right)}$.

Häufig liegt es nahe, ${\displaystyle G}$ als ein Produkt der Π-Faktoren anzusetzen. Für dieses Beispiel gelangt man damit zur Gleichung

${\displaystyle {\frac {F}{E\cdot l^{2}}}=C\cdot \left({\frac {h}{l}}\right)^{3}\cdot {\frac {d}{l}}}$,

die der exakten, von Leonhard Euler aufgestellten Beziehung

${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}}{12}}\cdot {\frac {E\cdot h^{3}\cdot d}{l^{2}}}}$

analog, d. h. von gleicher funktionaler Gestalt ist. Die Knicklast lässt sich in Versuchen an Stäben beliebiger Länge und Elastizität, und nicht nur auf die Rechteckform beschränkt, leicht verifizieren und in Diagrammform dargestellten. Die Kenntnis geschlossener Formeln, wie etwa der von Euler, ist nicht nötig. Bemerkenswert ist die gewonnene Erkenntnis, dass Elastizitätsmodul und Länge eines feststehenden Querschnitts für einen Knickversuch prinzipiell frei wählbar sind. Die Proportionalität zwischen ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle l}$ ist nach der Dimensionsanalyse bekannt.

In Fluiden umströmte Körper

Energie des ersten Atombombentests 1945 in New Mexico

Ein berühmtes Beispiel für die Anwendung der Dimensionsanalyse stammt vom britischen Physiker Geoffrey Ingram Taylor. Nachdem er eine Bilderserie mit genauen Zeitintervallen der ersten Atombombenexplosion 1945 in New Mexico erhalten hatte (Trinity-Test), konnte er die freigesetzte Energie der dortigen Nuklearexplosion ermitteln. Die vor Ort gemessene Sprengkraft war von den Entwicklern in Los Alamos gegenüber den außenstehenden Briten geheim gehalten worden.

Durch frühere Überlegungen zu diesem Thema war Taylor klar, dass der Radius ${\displaystyle R}$ der anfangs etwa halbkugelförmigen Explosion maßgeblich von der Zeit ${\displaystyle t}$ seit dem Zünden der Bombe, der Dichte ${\displaystyle \rho }$ der die Explosion umgebenden Luft und natürlich von der freigesetzten Energie ${\displaystyle E}$ der Bombe abhängt. Andere Größen sind vernachlässigbar.

Damit gilt: ${\displaystyle R=f(t,\rho ,E)}$

und:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}&\mathbf {M} &\mathbf {L} &\mathbf {T} \\t&0&0&1\\\rho &1&-3&0\\E&1&2&-2\\\end{pmatrix}}\,{\text{bzw.}}\,A={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&-3&0\\1&2&-2\\\end{pmatrix}}}$

Der Rang von ${\displaystyle A}$ ist 3 und ${\displaystyle p=n-r=3-3=0}$. Der funktionale Zusammenhang ist bis auf eine Konstante ${\displaystyle c}$ bestimmt, denn es kann nur gelten:

${\displaystyle {\frac {R^{5}\cdot \rho }{E\cdot t^{2}}}=c^{5}\to R(t)=c\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {E\cdot t^{2}}{\rho }}}\to E(R,t)={\frac {R^{5}\cdot \rho }{c^{5}\cdot t^{2}}}}$

Bei einer geschätzten Temperatur zum Explosionszeitpunkt um etwa 6 Uhr morgens in New Mexico von ${\displaystyle T=20\ ^{\circ }C}$ ergibt sich für die Luftdichte: ${\displaystyle \rho =1{,}204\,\mathrm {kg/m} ^{3}}$.

Der Radius ${\displaystyle R}$ ist zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0{,}025\,\mathrm {s} }$ im obigen Bild etwa ${\displaystyle R=130\,\mathrm {m} }$.

Der Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle c}$ ließe sich aus einer Vergleichsexplosion mit konventionellem Sprengstoff (mehrere kg TNT) bestimmen. Taylor besaß genug Hintergrundwissen, um ${\displaystyle c\approx 1{,}0}$ annehmen zu können. Damit ist:

${\displaystyle E={\frac {130^{5}\cdot 1{,}204}{1{,}0^{5}\cdot 0{,}025^{2}}}=7{,}15\cdot 10^{13}\,\mathrm {J} }$

1 Tonne TNT besitzt eine Energie von 4,18 Milliarden Joule. Dies führt zur Abschätzung:

${\displaystyle E={\frac {7{,}15\cdot 10^{13}}{4{,}18\cdot 10^{9}}}=17.095\,{\text{Tonnen TNT}}}$

Trinity hatte nach offiziellen Angaben eine Energie von annähernd 19.000–21.000 Tonnen TNT. Die Abweichung zu oben erklärt sich dadurch, dass der Radius ${\displaystyle R}$ in der 5. Potenz eingeht. Das Ergebnis ist bemerkenswert genau. Taylor selbst errechnete ca. 19.000 Tonnen TNT.