Bei dem Ellsberg-Paradoxon handelt es sich um ein Paradoxon aus der Entscheidungstheorie, bei dem Entscheidungen die Postulate der (subjektiven) Erwartungsnutzen-Theorie (subjective expected utility – SEU) verletzen, die in weiten Teilen der Ökonomie nicht nur als normative Basis für Entscheidungen gesehen wird, sondern auch als Grundlage von deskriptiven Modellen dient. Ein solches Wahlverhalten lässt sich generell nicht als eine zugrunde liegende einzelne Wahrscheinlichkeitsverteilung auffassen und ist somit insbesondere nicht durch Risikoeinstellungen (Risikoaversion, -neutralität oder -affinität) erklärbar. Daniel Ellsberg trifft deswegen die zusätzliche Unterscheidung zwischen Risiko und Ungewissheit (im Original ambiguity). Ein wichtiges Resultat des Experiments ist, dass Menschen häufig ein Risiko – dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist – einer Situation von Ungewissheit vorziehen, selbst wenn die wahrgenommenen Wahrscheinlichkeiten konstant gehalten werden.

Historischer Hintergrund

Sowohl John Maynard Keynes als auch Frank Knight setzen sich bereits in den 1920er-Jahren mit dem Konzept von Ungewissheit auseinander.

So schreibt F.H. Knight:

Außerdem wird häufig angeführt, dass die Konzepte, die Keynes 1921 in seiner A Treatise on Probability entwickelt, sehr eng mit der Kritik am SEU Modell, die Ellsberg formuliert, verwandt sind. Unter anderem führt er dort ein Konzept von Ungewissheit ein, die er als non-comparable probabilities bezeichnet.

Abgrenzung zwischen Risiko, Unsicherheit und Ungewissheit

In der realen Welt müssen Menschen Entscheidungen in ganz unterschiedlichen Situationen treffen. Schon Knight unterscheidet zwischen
(i) a priori Wahrscheinlichkeiten, die in Zufallsspielen logisch hergeleitet werden können;
(ii) Statistischen Wahrscheinlichkeiten, die aus empirischen Daten gewonnen werden; und
(iii) Vorhersagen in Situationen, in denen es keinerlei Basis für irgendeine Art der Klassifizierung gibt.
Daran angelehnt können verschiedene Szenarien von Sicherheit/Risiko/Ungewissheit(Ambiguität) unterschieden werden.

Das Ellsberg-Experiment beinhaltet dabei sowohl Risiko (die Urne bzw. Farben deren Verteilung bekannt ist) als auch Ungewissheit/Ambiguität („Knightian uncertainty“ – die Urne bzw. die Farben deren Verteilung nicht bekannt ist).

Subjektive Erwartungsnutzen-Theorie

Häufig erscheint es plausibel, dass aus Wetten von Agenten bzgl. verschiedener Lotterien direkt deren (subjektive) Wahrscheinlichkeitsverteilungen ableitbar sind, dabei unterstellt man allerdings automatisch, dass diese rational im Rahmen einer (subjektive) Erwartungsnutzen-Theorie (subjective expected utility – SEU) agieren. Das bedeutet insbesondere, man unterstellt, dass zwischen Ereignissen zumindest eine „qualitative Wahrscheinlichkeitsbeziehung“ vorliegt.

Damit eine Beziehung zwischen Ereignissen die Eigenschaften einer „qualitativen Wahrscheinlichkeitsbeziehung“ hat, müssen insbesondere folgende Bedingungen erfüllt sein: (${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ und ${\displaystyle {\overline {\beta }}}$ bezeichnen die Komplemente zu α und β)

1. ordnet alle Ereignisse; für zwei Ereignisse α und β gilt: Entweder ist α „nicht weniger wahrscheinlich“ als β oder β ist „nicht weniger wahrscheinlich als“ α; und falls α ≥ β und β ≥ γ ⇒ α ≥ γ
2. Wenn α wahrscheinlicher als β ist ⇒ ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ ist weniger wahrscheinlich als ${\displaystyle {\overline {\beta }}}$; falls α gleich wahrscheinlich wie ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ ist und β gleich wahrscheinlich wie ${\displaystyle {\overline {\beta }}}$ ist ⇒ α ist gleich wahrscheinlich wie β
3. Schließen sich α und γ gegenseitig aus und β und γ ebenfalls (α ∩ γ = β ∩ γ = 0), und gilt gleichzeitig α ist wahrscheinlicher als β ⇒ Die Vereinigung (α ∪ γ) ist wahrscheinlicher als (β ∪ γ)

Um nun von den Entscheidungen der Agenten (Aktionen) auf eine zugrunde liegende „qualitative Wahrscheinlichkeitsbeziehung“ bzgl. der Ereignisse schließen zu können, muss die Beziehung ≿ zwischen den Aktionen einigen axiomatischen Beschränkungen unterliegen. Ein solches System sind die Savage Postulate, wobei die wichtigsten Folgende sind:

• P1 (Ordering): Die Beziehung ≿ ist vollständig, reflexiv und transitiv.
• P2 (Sure-Thing Principle): Die Präferenzordnung zwischen zwei Aktionen f und f*, hängt nur von Werten von f und f* ab, in denen sie sich unterscheiden. Das heißt für zwei Aktionen f und f*, die sich nur bei einem speziellen Ereignis E unterscheiden und ansonsten gleich sind, ist für den Vergleich irrelevant, welche Werte diese außerhalb von E annehmen.

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ll}f^{*}(s)&{\mbox{if }}s\in E\\g(s)&{\mbox{if }}s\notin E\end{array}}\right]\succsim \left[{\begin{array}{ll}f(s)&{\mbox{if }}s\in E\\g(s)&{\mbox{if }}s\notin E\end{array}}\right]\Rightarrow \left[{\begin{array}{ll}f^{*}(s)&{\mbox{if }}s\in E\\h(s)&{\mbox{if }}s\notin E\end{array}}\right]\succsim \left[{\begin{array}{ll}f(s)&{\mbox{if }}s\in E\\h(s)&{\mbox{if }}s\notin E\end{array}}\right]}$

• P3 (Eventwise Monotonicity): Gegeben sei eine Aktion, die im Falle von (dem nichtleeren) Ereignis E immer das Ergebnis x erzielt. Wenn diese Aktion nun so geändert wird, dass sie im Falle von E immer das Ergebnis y erzielt, dann sollte die Präferenz zwischen den beiden Aktionen genau der Präferenz zwischen den Ergebnissen x und y entsprechen (oder genauer gesagt: Der Ordnung der konstanten Funktionen, die x bzw. y erzielen).

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ll}x&{\mbox{if }}s\in E\\g(s)&{\mbox{if }}s\notin E\end{array}}\right]\succsim \left[{\begin{array}{ll}y&{\mbox{if }}s\in E\\g(s)&{\mbox{if }}s\notin E\end{array}}\right]\Leftrightarrow x\succsim y}$

• P4 (Weak Comparative Probability): P4 dient dazu, eine (qualitative) Rangfolge von Ereignissen zu etablieren. Gegeben die Ergebnisse x*≻x und y*≻y, dann gilt für alle Ereignisse A und B: (${\displaystyle {\overline {A}}}$ und ${\displaystyle {\overline {B}}}$ bezeichnen die Komplemente zu A und B)

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ll}x^{*}&{\mbox{if }}A\\x&{\mbox{if }}{\overline {A}}\end{array}}\right]\succsim \left[{\begin{array}{ll}x^{*}&{\mbox{if }}B\\x&{\mbox{if }}{\overline {B}}\end{array}}\right]\Leftrightarrow \left[{\begin{array}{ll}y^{*}&{\mbox{if }}A\\y&{\mbox{if }}{\overline {A}}\end{array}}\right]\succsim \left[{\begin{array}{ll}y^{*}&{\mbox{if }}B\\y&{\mbox{if }}{\overline {B}}\end{array}}\right]}$

Ellsberg-Experiment

Das Ellsberg-Paradoxon geht auf die von Daniel Ellsberg 1961 veröffentlichte Arbeit „Risk, ambiguity and the Savage axioms“ zurück. Dort stellt er zwei Versionen eines Urnenexperiments vor, die beide zur Schlussfolgerung kommen, dass Menschen in den meisten Situationen Ungewissheits-Aversion zeigen.

Probabilistic Sophistication

Eine allgemeinere Version des SEU Modells führen Mark J. Machina und David Schmeidler ein, in der Präferenzen nicht notwendigerweise mit der Erwartungsnutzen-Hypothese konform sein müssen, sich allerdings weiterhin mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben lassen. Der Hauptunterschied liegt darin, dass Erwartungsnutzenfunktionen (subjektive) Wahrscheinlichkeiten linear kombinieren, während „probabilistic sophistication“ dies nicht fordert. „Probabilistic sophistication“ ist somit eine schwächere Forderung als diejenigen, die benötigt werden, um eine SEU zu konstruieren: Verletzungen des Sure-Thing Principle oder der Erwartungsnutzentheorie im Allgemeinen implizieren nicht generell eine Verletzung von „probabilistic sophistication“.

Doch auch diese schwächeren Forderungen werden im Ellsberg-Paradox verletzt. Die dort getroffenen Entscheidungen lassen keinen Schluss auf eine zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung (linear oder anderweitig) zu.

Normative und deskriptive Perspektive

In der Ökonomie bilden SEU-Annahmen häufig die Grundlage von deskriptiven rational-agent-Modellen. Für eine solche Auslegung stellt das Ellsberg-Paradoxon einen direkten Widerspruch dar und ist ohne Änderung der Modellbasis oder expliziter Beschränkung des Anwendungsbereiches nicht integrierbar. Die eventuell schwächere Behauptung, dass den Savage-Axiomen zumindest eine normative Rolle zukomme, ist leichter zu verteidigen, wobei sich auch hier ein Problem ergibt, da Individuen in bestimmten Situationen selbst nach Reflexion die Axiome absichtlich verletzen, ihre Normativität somit nicht anerkennen. Ellsberg argumentiert, dass bei diesem Verhalten zumindest drei Eigenschaften, die üblicherweise mit irrationalen Verhalten assoziiert sind, nicht vorzufinden sind, nämlich:

• a) Dass dieses Verhalten unvorhersagbar ist (sich also keine formalen Entscheidungsregeln finden lassen).
• b) Dass es Intransitivität aufweist.
• c) Dass es Nutzen verwirft, indem es z. B. strikt dominierte Strategien wählt.

Der letzte Punkt (c) ist allerdings fragwürdig: Solange wir uns in der Situation des Ausgangsbeispiels der Drei-Farben-Version bewegen und als Benchmark eine Wahl gemäß der Laplace-Regel (1/3;1/3;1/3) anlegen, ist die Wahl von Wette I und IV nicht tatsächlich mit Nachteilen verbunden, da jede andere Wahl die gleiche erwartete Auszahlung generiert. Wenn man nun allerdings ein Premium für die „gefühlt sichere Wahl“ zahlt (also ein Premium für Wette I gegenüber Wette II und gleichzeitig ein Premium für Wette IV gegenüber Wette III), ist dieses von dem erwarteten Gewinn zu subtrahieren, und damit verliert diese Strategie gegenüber der Laplace-Referenzstrategie. bzw. jeder anderen SEU Strategie, die keine solchen Prämien zahlt, da es nicht möglich ist, dass es mehr rote als schwarze Kugeln gibt, aber gleichzeitig mehr schwarze als rote Kugeln (Es handelt sich schließlich um dieselbe Urne). Dies gilt unabhängig von der zugrunde liegenden Nutzenfunktion und insbesondere unabhängig von der Risikoaversion.

Kritik an der normativen Gültigkeit einer solchen Wahl kommt unter anderem auch von Howard Raiffa:
Er schlägt als Gedankenexperiment eine Randomisierung vor: Angenommen ein Individuum hat die (typische) Präferenzordnung I≻II und IV≻III. Nun werden ihm zwei Wetten angeboten:

Option A: Eine faire Münze wird geworfen und im Falle von Kopf wird Wette I gespielt und im Falle von Zahl Wette IV
Option B: Eine faire Münze wird geworfen und im Falle von Kopf wird Wette II gespielt und im Falle von Zahl Wette III

Aufgrund von strikter Dominanz sollte ein Individuum, das die obigen Präferenzen hat, nun Option A gegenüber Option B ebenfalls strikt bevorzugen. Wenn wir nun allerdings die Situation – aus der Position, in der eine bestimmte Farbe gezogen wurde – analysieren, stellt sich das folgendermaßen dar:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc|}&{\mbox{Rot}}&&{\mbox{Schwarz}}&&{\mbox{Gelb}}\\{\mbox{Option A}}&\left({\frac {\mbox{Eine 'objektive' 50-50}}{{\mbox{Chance auf }}\mathrm {\euro} {\mbox{100 und }}\mathrm {\euro} {\mbox{0}}}}\right)&\longrightarrow &{\mbox{gleich}}&\longrightarrow &{\mbox{gleich}}\\&\downarrow &&&&\\{\mbox{Option B}}&{\mbox{gleich}}&\longrightarrow &{\mbox{gleich}}&\longrightarrow &{\mbox{gleich}}\end{array}}}$

Aus dieser Perspektive scheinen Option A und Option B objektiv identisch zu sein und somit eine Prämie für A zu zahlen irrational. Bei diesem Aufbau ist gleichzeitig sichergestellt, dass Verzerrungen durch das feindliche Umwelt Szenario nicht auftreten können, da der Experimentator nicht wissen kann ob Kopf oder Zahl fallen wird und damit die Urnen auch nicht manipulieren kann.

Erklärungen

Ökonomische Entscheidungsmodelle unter Ambiguität

Seit seiner Popularisierung durch D. Ellsberg 1961 hat das Ellsberg-Paradoxon, beziehungsweise das gesamte Gebiet der Entscheidungstheorie unter Ungewissheit/Ambiguität, einen erheblichen Zuwachs an Forschung, sowie deutliche theoretische und experimentelle Fortschritte erlebt. Dabei hat sich eine Vielzahl von Modellen ergeben, die auf unterschiedliche Weise Ungewissheit modellieren und erklären. Diese Modelle sind generell leistungsfähiger als ein reines SEU Modell, da sie dieses als Spezialfall bereits enthalten. Eine Übersicht der Entwicklung geben (Etner et al., 2012) sowie (Camerer & Weber, 1992). Als wichtigste Modelle zu nennen sind die von David Schmeidler 1989 entwickelte Choquet expected utility, sowie die von Itzhak Gilboa & Schmeidler 1989 entwickelte Maxmin expected utility. Mit der dadurch – gegenüber einer SEU-Modellierung – gewonnenen erhöhten deskriptiven Validität, geht jedoch gleichzeitig eine gesteigerte Komplexität durch die Erhöhung der Parameteranzahl einher. Das äußert sich zum Beispiel darin, dass in einer dynamischen Situation die zusätzliche Unterscheidung getroffen werden muss, zwischen Agenten, die sich nicht konsequentialistisch verhalten und jenen, die sich nicht dynamisch konsistent verhalten.

Siehe auch

• Entscheidung unter Unsicherheit
• Allais-Paradoxon
• Nutzenfunktion

Literatur

• D. Ellsberg: Risk, ambiguity, and decision. Taylor & Francis, 2001.
• J. Etner et al.: Decision Theory under Ambiguity In: Journal of Economic Surveys. Vol. 26, Nr. 2, 2012, S. 234–270. doi: 10.1111/j.1467-6419.2010.00641.x
• C. Camerer und M. Weber: Recent Developments in Modeling Preferences: Uncertainty and Ambiguity. In: Journal of Risk and Uncertainty. Nr. 5, 1992, S. 325–370. doi:10.1007/BF00122575
• Bruno de Finetti: Foresight: its logical laws, its subjective sources (1937), in H. E. Kyburg und H. E. Smokler (Hg.), Studies in Subjective Probability, New York: Wiley, 1964, 93–159.

Weblinks

• Gabler Wirtschaftslexikon, Stichwort: Ellsberg-Paradoxon

Einzelnachweise

1. 1 2 Vgl. Homo oeconomicus
2. 1 2 Economist - IRRATIONALITY Rethinking thinking Dec 16th 1999
3. 1 2 Economist, Behaviourists at the gates; May 8th 2003
4. ↑ J. Eichberger et al.: Ambiguity and social interaction. In: Oxford Economic Papers. Nr. 61, 2009, S. 355–379.
5. 1 2 D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 643–669.
6. ↑ C. Camerer und M. Weber: Recent Developments in Modeling Preferences: Uncertainty and Ambiguity. In: Journal of Risk and Uncertainty. Nr. 5, 1992, S. 325,360.
7. ↑ F. H. Knight, Risk, Uncertainty, and Profit., Boston, MA: Hart, Schaffner & Marx; Houghton Mifflin Company, 1921
8. ↑ A. Feduzi: On the relationship between Keynes’s conception of evidential weight and the Ellsberg paradox. In: Journal of Economic Psychology. Nr. 28, 2007, S. 545–565.
9. 1 2 B. Meder et al.: Decision making in uncertain times: what can cognitive and decision sciences say about or learn from economic crises? In: Trends in Cognitive Sciences. Vol. 17, Nr. 6, 2013, S. 257–260.
10. ↑ D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 648.
11. ↑ M. J. Machina und D. Schmeidler: A More Robust Definition of Subjective Probability. In: Econometrica. Vol. 60, Nr. 4, 1992, S. 749 f.
12. ↑ I. Gilboa et al.: Theory of Decision under Uncertainty. Cambridge: Cambridge university press., 2009, S. 97 ff.
13. ↑ D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 650 ff.
14. ↑ D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 654 f.
15. ↑ M. J. Machina und D. Schmeidler: A More Robust Definition of Subjective Probability. In: Econometrica. Vol. 60, Nr. 4, 1992, S. 753 f.
16. ↑ J. Etner et al.: Decision Theory under Ambiguity In: Journal of Economic Surveys. Vol. 26, Nr. 2, 2012, S. 253. doi: 10.1111/j.1467-6419.2010.00641.x
17. ↑ D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 656.
18. ↑ D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 663.
19. 1 2 H. Raiffa: Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms: Comment. In: The Quarterly Journal of Economics. Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 690–694.
20. 1 2 R. Lima Filho: Rationality Intertwined: Classical vs Institutional View. In: SSRN 2389751. 2009, S. 5–6.
21. ↑ Y. Ben-Haim: Info-Gap Decision Theory. GB, Academic Press, 2006
22. ↑ C.R. Fox & A. Tversky: Ambiguity aversion and comparative ignorance. In: The quarterly journal of economics. 1995, S. 585–603.
23. 1 2 J. Etner et al.: Decision Theory under Ambiguity In: Journal of Economic Surveys. Vol. 26, Nr. 2, 2012, S. 234–270. doi: 10.1111/j.1467-6419.2010.00641.x
24. ↑ C. Camerer und M. Weber: Recent Developments in Modeling Preferences: Uncertainty and Ambiguity. In: Journal of Risk and Uncertainty. Nr. 5, 1992, S. 325–370. doi:10.1007/BF00122575
25. ↑ D. Schmeidler: Subjective probability and expected utility without additivity. In: Econometrica: Journal of the Econometric Society. 1989, S. 571–587. doi:10.2307/1911053
26. ↑ I. Gilboa & D. Schmeidler: Maxmin expected utility with non-unique prior. In: Journal of mathematical economics. Vol. 18, Nr. 2, 1989, S. 141–153. doi:10.1016/0304-4068(89)90018-9
27. ↑ A. Dominiak, P. Dürsch & J.P. Lefort: A dynamic Ellsberg urn experiment. In: Games and Economic Behavior. Vol. 75 Nr. 2, 2012, S. 625–638. doi:10.1016/j.geb.2012.01.002