Diskrete Standarddefinition

Für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$ ist

${\displaystyle n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\dotsm n}$

als das Produkt der natürlichen Zahlen von ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle n}$ definiert. Da das leere Produkt stets gleich 1 ist, gilt:

${\displaystyle 0!=1}$

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1,&n=0\\n\cdot (n-1)!,&n>0\end{cases}}}$

Beispielhafte Berechnung der Fakultätswerte der ersten sechs natürlichen Zahlen:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}0!&=1&=1\\1!&=1&=1\\2!&=1\cdot 2&=2\\3!&=1\cdot 2\cdot 3&=6\\4!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4&=24\\5!&=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5&=120\\\end{array}}}$

Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.

Weierstraßsche Produktdefinition

Fakultäten im ursprünglichen Sinne sind für negative oder nichtganze Zahlen nicht definiert. Es gibt aber eine Erweiterung der Fakultät auf solche Argumente. Sie wird als Gaußsche Pifunktion bezeichnet und ist für alle reellen Zahlen mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen definiert.

Auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{<0}}$ kann die Gaußsche Pifunktion beziehungsweise Fakultätsfunktion als Eulersche Gammafunktion der Nachfolgerfunktion definiert werden:

${\displaystyle (x!=)\ \Pi (x):=\Gamma (x+1)=\exp(-\gamma x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]}$

Das auf der rechten Seite der Gleichungskette gezeigte Produkt wird Weierstraß-Produkt genannt.

Mit ${\displaystyle \gamma }$ wird die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Eulersche Produktdefinition

Eine zur genannten Weierstrassschen Definition identische Definition der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaussschen Pifunktion ist die Definition dieser Funktion nach Leonhard Euler:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{x}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}}$

Diese Formel tauchte insbesondere in einem Brief von Leonhard Euler an den Mathematiker Christian Goldbach am 13. Oktober 1729 auf.

Für diese Formel sollen im nun Folgenden einige Beispiele angeführt werden:

${\displaystyle 3!=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(n+1)^{3}}{n^{2}(n+3)}}=6}$

${\displaystyle 4!=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(n+1)^{4}}{n^{3}(n+4)}}=24}$

${\displaystyle 5!=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(n+1)^{5}}{n^{4}(n+5)}}=120}$

Eines der bekanntesten Beispiele mit dieser Reihe kommt für den Abszissenwert ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}}$ hervor:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}!=\Pi \left({\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{1/2}\left(1+{\frac {1}{2\,n}}\right)^{-1}={\biggl [}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4\,n\,(n+1)}{(2\,n+1)^{2}}}{\biggr ]}^{1/2}=\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{1/2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$

Die nun gezeigte Produktreihe wird als Wallissches Produkt bezeichnet.

Eulersche Integraldefinition

Eine sehr nahe Verwandtschaft mit der soeben gezeigten Produkt weist das Eulersche Integral zweiter Art auf, welches ebenso von Leonhard Euler entdeckt wurde. Das Eulersche Integral zweiter Art oder auch das Eulersche Integral zweiter Gattung definiert die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion für alle Zahlen größer als Minus Eins:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y}$

Im Gegensatz zu den zuvor genannten Produktformeln ist diese Formel jedoch nur für Werte ${\displaystyle x>-1}$ gültig. Denn wenn der Wert ${\displaystyle x<-1}$ ist, dann divergiert das Integral und gibt den wirklichen Fakultätswert nicht wieder. Aber im konvergenten Bereich ${\displaystyle x>1}$ liefert die Integralformel für jeden Wert ${\displaystyle x}$ exakt den zugehörigen Fakultätswert beziehungsweise Gaussschen Pifunktionswert. Auch für diese Formel soll im nun Folgenden eine Tabelle von Beispielwerten aufgestellt werden:

${\displaystyle 3!=\Pi (3)=\int _{0}^{\infty }y^{3}\exp(-y)\,\mathrm {d} y={\biggl [}(-y^{3}-3y^{2}-6y-6)\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=6}$

${\displaystyle 4!=\Pi (4)=\int _{0}^{\infty }y^{4}\exp(-y)\,\mathrm {d} y={\biggl [}(-y^{4}-4y^{3}-12y^{2}-24y-24)\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=24}$

${\displaystyle 5!=\Pi (5)=\int _{0}^{\infty }y^{5}\exp(-y)\,\mathrm {d} y={\biggl [}(-y^{5}-5y^{4}-20y^{3}-60y^{2}-120y-120)\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=120}$

Im Abschnitt zuvor wurde dieses Endresultat genannt:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}!=\Pi ({\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {3}{2}})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$

Mit dem Eulerschen Integral kann nun folgendes Resultat über das Integral der Gaussschen Glockenkurve hervorgebracht werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-z^{2})-2z^{2}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z={\biggl [}z\exp(-z^{2}){\biggr ]}_{z=0}^{z=\infty }=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\infty }2z^{2}\exp(-z^{2})\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\infty }y^{1/2}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=({\tfrac {1}{2}})!=\Pi ({\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {3}{2}})={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$

Dieses Integral liefert die Grundlage für das sogenannte Fehlerintegral und dieses findet bei der sogenannten Normalverteilung Anwendung.

Basistheorem

Das grundlegendste Theorem über die Fakultätsfunktion ist:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=x\,\Pi (x-1)}$

Eulerscher Ergänzungssatz

Im Jahre 1749 hat der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler einen Ergänzungssatz entdeckt, welcher nach ihm benannt wurde. Im nun Folgenden wird der Eulersche Ergänzungssatz mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

${\displaystyle \Pi (x)\,\Pi (1-x)=\pi \,x(1-x)\csc(\pi \,x)}$

Legendresche Verdopplungsformel

Im Jahre 1809 hat der französische Mathematiker Adrien Marie Legendre die Verdopplungsformel für die Fakultät entdeckt, welcher mittels Gammafunktionsausdrücken in der Sammlung Mémoires de l'Institut des Sciences et Arts aus dem Institut de France verewigt ist. Auch diese Identität wird hier mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

${\displaystyle \Pi (x)\,\Pi (x+{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{1/2}\,2^{-2x-1}(2x+1)\,\Pi (2x)}$

Herleitung des Eulerschen Integrals

Gegeben ist die diskrete und ebenso ursprünglichste Definition der Fakultätsfunktion für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ nach dem oben genannten Muster:

${\displaystyle x!=\prod _{n=1}^{x}n}$

Diese diskret definierte Funktionsdefinition erfüllt folgendes Induktionskriterium aus folgenden zwei verknüpften Formeln:

${\displaystyle x!=x\,(x-1)!}$

${\displaystyle 0!=1}$

Das Eulersche Integral zweiter Art oder zweiter Gattung wurde in einem weiter oben liegenden Absatz genannt und hat diese definierende Formel:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y}$

Diese Formel ist deswegen gültig, weil sie die nun genannte Induktion erfüllt:

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }y^{x}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }x\,y^{x-1}\exp(-y)\,\mathrm {d} y-\int _{0}^{\infty }{\bigl [}x\,y^{x-1}\exp(-y)-y^{x}\exp(-y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y=}$ ${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }x\,y^{x-1}\exp(-y)\,\mathrm {d} y-{\biggl [}y^{x}\exp(-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=\infty }=\int _{0}^{\infty }x\,y^{x-1}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=xf(x-1)\,\,\,\,\,{\text{mit allen}}\,\,x\in \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle f(0)=\int _{0}^{\infty }y^{0}\exp(-y)\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\,\mathrm {d} y=1}$

${\displaystyle f(x)=x!=\Pi (x)}$

Aus ${\displaystyle f(x)=xf(x-1)}$ und ${\displaystyle f(0)=1}$ folgt ${\displaystyle f(x)=x!}$ direkt.

Herleitung der Stammfunktion von H über Induktion

Für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{<0}}$ ist die harmonische Reihenfunktion nach Karl Weierstraß so definiert:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)}$

An der Summenreihe ist das Rekursionskriterium ablesbar:

${\displaystyle \mathrm {H} (x+1)=\mathrm {H} (x)+{\frac {1}{x+1}}}$

Für alle Zahlen ${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$ gilt dann auch diese Summe:

${\displaystyle \mathrm {H} (x+w)=\mathrm {H} (x)+\sum _{v=1}^{w}{\frac {1}{x+v}}}$

Das Integral der harmonischen Reihenfunktion führt direkt zur Definition der Mascheronischen Konstante:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {x}{n}}-\ln(n+x)\right]_{x=0}^{x=1}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma }$

Im Folgenden werden die Integralgrenzen verschoben. So ist dann für alle natürlichen Werte ${\displaystyle w\in \mathbb {N} }$ die folgende Beziehung gültig:

${\displaystyle \int _{w}^{w+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x+w)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left[\mathrm {H} (x)+\sum _{v=1}^{w}{\frac {1}{x+v}}\right]\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}\sum _{v=1}^{w}{\frac {1}{x+v}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{v=1}^{w}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x+v}}\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{v=1}^{w}{\bigl [}\ln(x+v){\bigr ]}_{x=0}^{x=1}=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{v=1}^{w}\left[\ln(v+1)-\ln(v)\right]=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\ln(w+1)=\gamma +\ln(w+1)}$

Das Resultat dieser Gleichungskette lautet somit wie folgt:

${\displaystyle \int _{w}^{w+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\gamma +\ln(w+1)}$

Aus diesem Resultat folgt durch Induktion diese Überleitung:

${\displaystyle \int _{0}^{z+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{u=1}^{z}\int _{u}^{u+1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x+\sum _{u=1}^{z}\left[\gamma +\ln(u+1)\right]=\gamma +\sum _{u=1}^{z}\left[\gamma +\ln(u+1)\right]=}$

${\displaystyle =\gamma \,(z+1)+\sum _{u=1}^{z}\ln(u+1)=\gamma \,(z+1)+\ln \left[\prod _{u=1}^{z}(u+1)\right]=}$

${\displaystyle =\gamma \,(z+1)+\ln \left[(z+1)!\right]=\gamma \,(z+1)+\ln \left[\Pi (z+1)\right]}$

Denn die Summe der Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Produkts.

Direkt daraus entsteht dann die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion:

${\displaystyle \int _{0}^{x}\mathrm {H} (y)\,\mathrm {d} y=\gamma \,x+\ln(x!)=\gamma \,x+\ln \left[\Pi (x)\right]}$

Die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion wird somit auf folgende Weise abgeleitet:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)=\Pi (x)\left[\mathrm {H} (x)-\gamma \right]}$

Herleitung der Produktreihe nach Weierstraß

Nach der vorherigen Herleitung gilt für alle Werte ${\displaystyle x>-1}$ auch diese Formel:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\bigr \}}=\operatorname {H} (x)}$

Wie beschrieben hat die harmonischen Reihenfunktion diese Definition:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}}$

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x folgt dann diese Gleichung:

${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Die zweite Potenzregel besagt, dass die Exponentialfunktion aus einer Summe gleich dem Produkt aus den Exponentialfunktionen ist:

${\displaystyle \exp {\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\bigr \}}=\prod _{n=1}^{\infty }\exp {\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Durch weitere Anwendung der zweiten Potenzregel entsteht folgender Ausdruck:

${\displaystyle \Pi (x)\exp(\gamma \,x)=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}^{-1}\exp {\biggl (}{\frac {x}{n}}{\biggr )}}$

So kommt direkt die Produktreihe nach Weierstraß hervor, die für alle Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{<0}}$ Gültigkeit hat:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}^{-1}\exp {\biggl (}{\frac {x}{n}}{\biggr )}}$

Permutationen

In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil ${\displaystyle n!}$ die Anzahl der Möglichkeiten ist, ${\displaystyle n}$ unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-elementige Menge ist, so ist ${\displaystyle n!}$ auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen ${\displaystyle X\to X}$ (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall ${\displaystyle n=0}$, da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern ${\displaystyle 6!}$ verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher ${\displaystyle 6\cdot 5}$ Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer ${\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4}$ Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also

${\displaystyle 6!=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720}$

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten

Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$.

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine ${\displaystyle k}$-elementige Teilmenge aus einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge auszuwählen. Umgekehrt gilt

${\displaystyle n!=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}{\binom {n}{n-i}}(n-i)^{n}}$.

Zum Beispiel gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 insgesamt 13983816 Möglichkeiten, sich sechs verschiedene Kugeln auszusuchen:

${\displaystyle {49 \choose 6}={\frac {49!}{6!\,(49-6)!}}=13\,983\,816}$

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel 6 aus 49 zu gewinnen, nur 1/13983816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.

Ein anderes Beispiel ist ein Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, aus insgesamt ${\displaystyle {\color {red}\mathrm {a} }}$ roten, ${\displaystyle {\color {green}\mathrm {b} }}$ grünen und ${\displaystyle {\color {blue}\mathrm {c} }}$ blauen Murmeln genau ${\displaystyle {\color {Red}\mathrm {d} }}$ rote, ${\displaystyle {\color {Green}\mathrm {e} }}$ grüne und ${\displaystyle {\color {Blue}\mathrm {f} }}$ blaue Murmeln zu ziehen, wobei man insgesamt ${\displaystyle \mathrm {d} +\mathrm {e} +\mathrm {f} }$ Murmeln herausnehmen soll, hat folgenden Wert:

${\displaystyle P={\binom {\color {red}a}{\color {Red}d}}{\binom {\color {green}b}{\color {Green}e}}{\binom {\color {blue}c}{\color {Blue}f}}\div {\binom {{\color {red}a}+{\color {green}b}+{\color {blue}c}}{{\color {Red}d}+{\color {Green}e}+{\color {Blue}f}}}={\frac {a!\,b!\,c!\,(d+e+f)!\,(a+b+c-d-e-f)!}{d!\,e!\,f!\,(a-d)!\,(b-e)!\,(c-f)!\,(a+b+c)!}}}$

Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt ${\displaystyle {\color {red}\mathrm {4} }}$ roten, ${\displaystyle {\color {green}\mathrm {5} }}$ grünen und ${\displaystyle {\color {blue}\mathrm {6} }}$ blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau ${\displaystyle {\color {Red}\mathrm {1} }}$ rote, ${\displaystyle {\color {Green}\mathrm {2} }}$ grüne und ${\displaystyle {\color {Blue}\mathrm {3} }}$ blaue Murmeln befinden, exakt ${\displaystyle 160/1001}$:

${\displaystyle P={\binom {\color {red}4}{\color {Red}1}}{\binom {\color {green}5}{\color {Green}2}}{\binom {\color {blue}6}{\color {Blue}3}}\div {\binom {{\color {red}4}+{\color {green}5}+{\color {blue}6}}{{\color {Red}1}+{\color {Green}2}+{\color {Blue}3}}}={\frac {4\times 10\times 20}{5005}}={\frac {160}{1001}}=0{,}{\overline {159840}}}$

Geburtstagsproblem

Das Geburtstagsproblem ist ein stochastisch-kombinatorisches Rätsel über die Fakultät. Bei diesem Rätsel geht es um die Wahrscheinlichkeit, mit der in einer gegebenen Gruppe von insgesamt ${\displaystyle n}$ Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Der Einfachheit halber geht man dabei von Nicht-Schaltjahren, also Jahren mit 365 Tagen aus. In Abhängigkeit von der Personenzahl ${\displaystyle n}$ wird diese Wahrscheinlichkeit mit dieser Formel berechnet:

${\displaystyle P(n)=1-{\frac {365!}{(365-n)!\,365^{n}}}}$

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als zehn Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünfzehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als fünfundzwanzig Prozent:

${\displaystyle P(10)=1-{\frac {365!}{355!\,365^{10}}}\approx 0{,}1169481777110776}$

${\displaystyle P(15)=1-{\frac {365!}{350!\,365^{15}}}\approx 0{,}2529013197636863}$

Taylorsche Reihen und Eulersche Zahl

Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen glatter Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Die Exponentialfunktion hat die einfachtste aller Taylorreihen mit Fakultäten in Abhängigkeit vom Index im Nenner des Summanden:

${\displaystyle \exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb }$

Die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus haben ebenso vorzeichengleiche Reihen, während die Funktionen Sinus und Kosinus alternierende Reihen haben:

${\displaystyle \sinh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$	${\displaystyle \sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}}}$
${\displaystyle \cosh(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}$	${\displaystyle \cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}}$

Die Eulersche Zahl ${\displaystyle \mathrm {e} }$ lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:

${\displaystyle \mathrm {e} =\exp(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dotsb \approx }$

${\displaystyle \approx 2{,}71828182845904523536}$

Der Kehrwert der Eulerschen Zahl wird durch die alternierende Differenz desselben Musters hervorgebracht:

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {e} }}={\frac {1}{\exp(1)}}=\exp(-1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}\pm \dotsb \approx }$

${\displaystyle \approx 0{,}3678794411714423215955}$

Wenn auf die gleiche Weise die Taylorschen Reihen mit den Quadraten der Fakultäten im Nenner in Abhängigkeit vom Index hervorgerufen werden, dann sind die zugehörigen erzeugenden Funktionen die Besselschen Funktionen aus der Gruppe der nicht elementaren Funktionen:

${\displaystyle \mathrm {I} _{0}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{4^{k}(k!)^{2}}}=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cosh {\bigl [}x\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle \mathrm {J} _{0}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{4^{k}(k!)^{2}}}=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cos {\bigl [}x\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y}$

Die Summe der Kehrwerte der Quadrate der Fakultäten ergibt somit diesen Wert:

${\displaystyle \mathrm {I} _{0}(2)=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cosh {\bigl [}2\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k!)^{2}}}={\frac {1}{(0!)^{2}}}+{\frac {1}{(1!)^{2}}}+{\frac {1}{(2!)^{2}}}+{\frac {1}{(3!)^{2}}}+{\frac {1}{(4!)^{2}}}+\dotsb \approx }$

${\displaystyle \approx 2{,}2795853023360672674372}$

Und die zugehörige alternierende Differenz ergibt folgenden Wert:

${\displaystyle \mathrm {J} _{0}(2)=\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\pi }}\cos {\bigl [}2\sin(y){\bigr ]}\,\mathrm {d} y=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k!)^{2}}}={\frac {1}{(0!)^{2}}}-{\frac {1}{(1!)^{2}}}+{\frac {1}{(2!)^{2}}}-{\frac {1}{(3!)^{2}}}+{\frac {1}{(4!)^{2}}}\pm \dotsb \approx }$

${\displaystyle \approx 0{,}2238907791412356680518}$

Die Besselschen Funktionen spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. So tauchen sie in der Mechanik bei der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, in der Thermodynamik bei der Wärmeleitung in Stäben, in der Elektrodynamik bei der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, in der Optik bei der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern und in der Atomphysik bei der Leistungsverteilung in Kernreaktoren auf.

Rekursive und iterative Berechnung

Der numerische Wert für ${\displaystyle n!}$ kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls ${\displaystyle n}$ nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist ${\displaystyle 69!\approx 1{,}7\cdot 10^{98},}$ da ${\displaystyle 70!\approx 1{,}2\cdot 10^{100}}$ außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist ${\displaystyle 170!\approx 7{,}3\cdot 10^{306}}$.

Pythonprogramm

Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Intel Pentium 4 für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')

Rekursive Lösung

def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)

Näherung mit der Stirling-Formel

Wenn ${\displaystyle n}$ groß ist, bekommt man eine gute Näherung für ${\displaystyle n!}$ mit Hilfe der Stirling-Formel:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle \sim }$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen ${\displaystyle 1}$ konvergiert.

Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang Bill Gosper eine noch bessere Näherung:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {(2n+1/3)\pi }}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$

Gammafunktion

Die Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma (z)}$ verallgemeinert die Fakultät und ist eine stetige Fortsetzung ihres Definitionsbereichs von den natürlichen hin zu den komplexen Zahlen:

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1),\qquad z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \Re {(z)}>0}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}{(-\log {t})^{z-1}\mathrm {d} t}}$

Für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z_{\leq 0}} }$ kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:

${\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!(n+z)}}+\int _{1}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\mathrm {d} t}$

Faktorielle

Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen ${\displaystyle (n)_{k}}$ und ${\displaystyle (n)^{k}}$ dar, denn ${\displaystyle (n)_{n}=(1)^{n}=n!}$.

Primorial (Primfakultät)

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

${\displaystyle n_{\#}=\prod _{\scriptstyle p\,=\,2 \atop \scriptstyle p\,\in \,\mathbb {P} }^{n}p\quad }$

Subfakultät

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät

${\displaystyle !n=n!\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}$

bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von ${\displaystyle n}$ Elementen.

Doppelfakultät