Raten einer Lösung

Algebraische Bestimmung

Im Folgenden wird angenommen, dass der Koeffizientenring ${\displaystyle R}$ wenigstens ein Integritätsbereich ist, zu dem ein Quotientenkörper gebildet werden kann. In den besonders wichtigen Fällen ist ${\displaystyle R}$ der angeordnete Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen mit der Ordnungsrelation ${\displaystyle <}$.

Analytische Bestimmung der reellen Lösungen der reellen Gleichung

Im Fall, dass das ursprüngliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat, kann mithilfe der Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$ überprüft werden, ob ausschließlich reelle Lösungen vorliegen:

${\displaystyle \Delta$ :=\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}

Ist ${\displaystyle \Delta \leq 0}$, so sind alle Lösungen reell. Andernfalls gibt es genau eine reelle Lösung, die andern beiden sind komplex nicht-reell und konjugiert zueinander.

Der Fall p = 0

Fall 1:   ${\displaystyle p=0}$

Hier wählt man ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{a^{3}-27c}}}$ und erhält ${\displaystyle z^{3}=1}$. Nach Rücksubstitution ergibt sich eine einzige reelle Lösung zu ${\displaystyle x={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{a^{3}-27c}}-a\right)}$.

Unterfall 1a:   ${\displaystyle p=0}$ und ${\displaystyle q=0}$

Die einzige reelle Lösung ${\displaystyle z=0}$ und ${\displaystyle x=-{\tfrac {a}{3}}}$ hat die Vielfachheit 3.

Die Fälle mit p ≠ 0

Eine Lösungsstrategie für die verbleibenden Lösungen, die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt, ist die folgende:
Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen oder hyperbolischen Funktion so umgeformt, dass sie auf bekannte Additionstheoreme zurückgeführt werden kann.

Geeignete Funktionen sind:

Funktion ${\displaystyle f}$	Wertebereich	Additionstheorem	${\displaystyle \sigma }$	kubische Gleichung	Fall
${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle |f(\eta )|\leq 1}$	${\displaystyle \cos(3\eta )=4\cos ^{3}(\eta )-3\cos(\eta )}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle f(\eta )^{3}+{\tfrac {3}{4}}\sigma f(\eta )={\tfrac {1}{4}}f(3\eta )}$	2
${\displaystyle \cosh }$	${\displaystyle f(\eta )\geq 1}$	${\displaystyle \cosh(3\eta )=4\cosh ^{3}(\eta )-3\cosh(\eta )}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle f(\eta )^{3}+{\tfrac {3}{4}}\sigma f(\eta )={\tfrac {1}{4}}f(3\eta )}$	3
${\displaystyle -\cosh }$	${\displaystyle f(\eta )\leq -1}$	${\displaystyle (-\cosh )(3\eta )\;=\;4(-\cosh )^{3}(\eta )-3(-\cosh )(\eta )}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle f(\eta )^{3}+{\tfrac {3}{4}}\sigma f(\eta )={\tfrac {1}{4}}f(3\eta )}$	3
${\displaystyle \sinh }$	beliebig reell	${\displaystyle \sinh(3\eta )=4\sinh ^{3}(\eta )\,+3\sinh(\eta )}$	${\displaystyle +1}$	${\displaystyle f(\eta )^{3}+{\tfrac {3}{4}}\sigma f(\eta )={\tfrac {1}{4}}f(3\eta )}$	4

Die aufgeführten Additionstheoreme sind so parametrisiert, dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung überführen lassen, die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung

${\displaystyle f(\eta )^{3}+{\frac {p}{\alpha ^{2}}}\cdot f(\eta )+{\frac {q}{\alpha ^{3}}}=0}$

zur Deckung bringen lässt. Mithilfe der Setzung ${\displaystyle \sigma$ :=\operatorname {sgn}(p)} erhält man durch Koeffizientenvergleich sofort

${\displaystyle {\frac {3}{4}}\sigma ={\frac {p}{\alpha ^{2}}}\;\Longleftrightarrow \;\alpha =2{\sqrt {\frac {|p|}{3}}}}$     und     ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}f(3\eta )={\frac {q}{\alpha ^{3}}}=q{\frac {3\sigma }{4p}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{|p|}}}={\frac {q}{8}}{\sqrt {\frac {27}{|p^{3}|}}}}$.

Somit lässt sich ${\displaystyle \eta }$ durch die ursprünglichen Koeffizienten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ ausdrücken:

${\displaystyle f(3\eta )=\Gamma \;\Longleftrightarrow \;\eta ={\frac {1}{3}}f^{\langle -1\rangle }\left(\Gamma \right)}$,

wobei ${\displaystyle \Gamma$ :=-{\tfrac {q}{2}}{\sqrt {\tfrac {27}{|p^{3}|}}}=-\operatorname {sgn}(q){\sqrt {\left|{\tfrac {27\Delta }{p^{3}}}-1\right|}}} gesetzt ist und ${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$ eine zugehörige Arkus- oder Areafunktion bezeichnet. Durch Rücksubstitution kann dann die endgültige Lösung der kubischen Gleichung ermittelt werden. Aus ${\displaystyle \alpha =2{\sqrt {\tfrac {|p|}{3}}}={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {|a^{2}-3b|}}}$, ${\displaystyle \beta =-{\tfrac {a}{3}}}$ und ${\displaystyle z=f(\eta )}$ erhält man somit

${\displaystyle x=\alpha z+\beta ={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {|a^{2}-3b|}}\cdot f(\eta )-a\right)}$.

Als erstes bestimmt das Vorzeichen von ${\displaystyle p}$ die Wahl der Substitutionsfunktion ${\displaystyle f}$, in zweiter Linie ${\displaystyle \Gamma }$, das im reellen Wertebereich von ${\displaystyle f}$ liegen muss.

Fall 2:   ${\displaystyle \Delta \leq 0}$   (woraus   ${\displaystyle p<0}$   und   ${\displaystyle \left|\Gamma \right|\leq 1}$   folgt):

Substitution mit ${\displaystyle z:=\cos {\eta }}$, entspricht ${\displaystyle \cos {3\eta }=\Gamma .}$

Es ergeben sich drei mögliche Lösungen zu

${\displaystyle x_{k}={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}\cdot \cos {\eta _{k}}-a\right)}$ mit ${\displaystyle \eta _{k}={\tfrac {1}{3}}\left(\arccos {\left(\Gamma \right)}+2k\pi \right)}$ und ${\displaystyle k\in \{0;1;2\}}$

Unterfall 2a:   ${\displaystyle \Delta =0}$   (woraus   ${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$   folgt):

Es gibt nur zwei Lösungen. Die reduzierte Form vereinfacht sich zu ${\displaystyle 0=z^{3}-{\tfrac {3}{4}}z\mp {\tfrac {1}{4}}=(z\mp 1)\left(z\pm {\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$. Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Lösungen ${\displaystyle z_{1}=\pm 1}$ und ${\displaystyle z_{2}=\mp {\tfrac {1}{2}}}$ ablesen. Zum selben Ergebnis führt ${\displaystyle 3\eta =\pm \operatorname {arccos} (\pm 1)\in \{0,\pi \}}$, also ${\displaystyle \eta \in \left\{0,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}\right\}}$ bzw. ${\displaystyle \eta \in \left\{\pi ,\pm {\tfrac {\pi }{3}}\right\}}$. Entsprechend ist ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}-a\right)}$ und ${\displaystyle x_{2}=-{\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt {a^{2}-3b}}+a\right)}$. Die letztere Lösung hat die Vielfachheit 2.

Fall 3:   ${\displaystyle \Delta >0}$   und   ${\displaystyle p<0}$   (woraus   ${\displaystyle |\Gamma |>1}$   und   ${\displaystyle q\neq 0}$   folgt):

Substitution mit ${\displaystyle z:=\left(-\operatorname {sgn}(q)\cosh \right)(\eta )}$, entspricht ${\displaystyle \left(-\operatorname {sgn}(q)\cosh \right)(3\eta )=\Gamma =-{\tfrac {q}{2}}{\sqrt {\tfrac {27}{|p^{3}|}}}}$, also ${\displaystyle \cosh(3\eta )=|\Gamma |.}$

Zunächst hat man zwei Lösungen ${\displaystyle 3\eta =\pm \operatorname {arcosh} \left(|\Gamma |\right)}$, die wegen ${\displaystyle \cosh(\pm \eta )=\cosh \eta }$ wieder in eins geworfen werden. Also: ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}\cdot \operatorname {sgn}(q)\cosh {\eta }+a\right)}$ mit ${\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left(\left|\Gamma \right|\right)}$.

Grenzfall 3a:   ${\displaystyle \Delta =0}$   und   ${\displaystyle p<0}$   (woraus   ${\displaystyle \Gamma =\pm 1}$   folgt):

${\displaystyle 3\eta =\pm \operatorname {arcosh} (1)=0}$, also ${\displaystyle \eta =0}$ und ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1}{3}}\left(2{\sqrt {a^{2}-3b}}-a\right)}$.
Bemerkung:
Die zwei anderen (rein-imaginären) Lösungen ${\displaystyle 3\eta =\pm 2\pi \mathrm {i} }$ von ${\displaystyle \cosh(3\eta )=1}$ werden durch die Anwendung von ${\displaystyle \cosh }$ ins Reelle zurückgeworfen: ${\displaystyle \cosh(\eta )=\cosh \left(\pm {\tfrac {2\pi \mathrm {i} }{3}}\right)=-{\tfrac {1}{2}}}$. Das Ergebnis ist wie im Unterfall 2a: ${\displaystyle z_{1}=-\operatorname {sgn}(q)\cosh(0)=-\operatorname {sgn}(q)}$ und ${\displaystyle z_{2}=-\operatorname {sgn}(q)\cosh \left(\pm {\tfrac {2\pi \mathrm {i} }{3}}\right)={\tfrac {\operatorname {sgn}(q)}{2}}}$.

Fall 4:   ${\displaystyle \Delta >0}$   und   ${\displaystyle p>0}$:

Substitution mit ${\displaystyle z:=\sinh {\eta }}$, entspricht ${\displaystyle \sinh {3\eta }=\Gamma .}$

Als Ergebnis folgt:

${\displaystyle x={\frac {1}{3}}\left(2{\sqrt {3b-a^{2}}}\cdot \sinh {\eta }-a\right)}$ mit ${\displaystyle \eta ={\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {(\Gamma )}}$

Es ergibt sich eine reelle Lösung.

Lösungsformel

Eine Lösungsformel über die Zerlegung ${\displaystyle x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=(x-x_{1})(x^{2}+px+q)}$ ist:

Nach den Setzungen
 ${\displaystyle a:=12a_{1}^{3}-3a_{1}^{2}a_{2}^{2}-54a_{1}a_{2}a_{0}+81a_{0}^{2}+12a_{0}a_{2}^{3}}$ und
 ${\displaystyle b:={\sqrt[{3}]{36a_{1}a_{2}-108a_{0}-8a_{2}^{3}+12{\sqrt {a}}}}}$ ist

${\displaystyle x_{1}={\frac {b^{2}-12a_{1}+4a_{2}^{2}-2a_{2}b}{6b}}}$
${\displaystyle p=-{\frac {1}{6}}{\frac {-b^{2}+12a_{1}-4a_{2}^{2}-4a_{2}b}{b}}}$
${\displaystyle q={\frac {1}{3}}{\frac {a_{1}a_{2}b-9ba_{0}+b{\sqrt {a}}+b^{2}a_{1}-2a_{1}a_{2}^{2}-18a_{2}a_{0}+2a_{2}{\sqrt {a}}+12a_{1}^{2}}{b^{2}}}}$

   ${\displaystyle x_{2}}$ und ${\displaystyle x_{3}}$ berechnet sich dann nach der Formel:
${\displaystyle x_{2}=-{\frac {p}{2}}+\mathrm {i} {\sqrt {-{\Bigl (}{\frac {p}{2}}{\Bigr )}^{2}+q}}}$
${\displaystyle x_{3}=-{\frac {p}{2}}-\mathrm {i} {\sqrt {-{\Bigl (}{\frac {p}{2}}{\Bigr )}^{2}-q}}}$
Für ${\displaystyle a=r\,(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )}$ ist zu wählen: ${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {r}}(\cos {\frac {\varphi }{2}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\varphi }{2}})}$ und ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\frac {\varphi }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\varphi }{3}})}$ (${\displaystyle r,{\sqrt {r}},{\sqrt[{3}]{r}}}$ positiv).

Beispiel 1: Für ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-2=0}$ ergibt sich:

${\displaystyle a=441}$, ${\displaystyle b=8}$,  ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle q=1}$
${\displaystyle x_{1}=2}$
${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$

Beispiel 2: Für ${\displaystyle x^{3}-3x^{2}-3x-1=0}$ ergibt sich:

${\displaystyle a=324}$, ${\displaystyle b=6{\sqrt[{3}]{4}}}$,  ${\displaystyle p={\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{2}}-2}$, ${\displaystyle q={\sqrt[{3}]{2}}-1}$
${\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{4}}+{\sqrt[{3}]{2}}+1}$
${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}+1+{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {6{\sqrt[{3}]{2}}-12+3{\sqrt[{3}]{4}}}}}$
${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}+1-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} {\sqrt {6{\sqrt[{3}]{2}}-12+3{\sqrt[{3}]{4}}}}}$

Beispiel 3: Für ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-2x-2=0}$ ergibt sich:

${\displaystyle a=-24}$, ${\displaystyle b=1+3{\sqrt {2}}+({\sqrt {6}}-{\sqrt {3}})\mathrm {i} }$,  ${\displaystyle p=1+{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle q={\sqrt {2}}}$
${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}}$
${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle x_{3}=-1}$

Beispiel 4: Für ${\displaystyle x^{3}+4x^{2}+2x-4=0}$ ergibt sich:

${\displaystyle a=-144}$, ${\displaystyle b=1+3{\sqrt {3}}+(3-{\sqrt {3}})\mathrm {i} }$,  ${\displaystyle p=3+{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle q=2+2{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle x_{1}=-1+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle x_{2}=-1-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle x_{3}=-2}$

Schnelle numerische Berechnung

Die Methode von Deiters und Macías-Salinas bringt die kubische Funktion zunächst einmal in die Form ${\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ und verwendet dann die Laguerre-Samuelson-Ungleichung, um Schranken für die Lösungen zu finden.

${\displaystyle x_{\mathrm {u,o} }:=x_{\mathrm {infl} }\pm {\frac {2}{3}}{\sqrt {d}}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle d:=a_{2}^{2}-3a_{1}}$, und ${\displaystyle x_{\mathrm {infl} }:=-a_{2}/3}$ ist der Abszissenwert des Wendepunkts. Dann sind folgende Fälle zu unterscheiden:

1. ${\displaystyle f(x_{\mathrm {infl} })=0}$: Dann ist die Wendestelle die erste Lösung, ${\displaystyle x_{1}=x_{\mathrm {infl} }}$.
2. ${\displaystyle d=0}$: Dann ist ${\displaystyle x_{1}=x_{\mathrm {infl} }-{\sqrt[{3}]{f(x_{\mathrm {infl} })}}}$ eine Lösung.
3. Andernfalls wird iterativ eine Näherungslösung ${\displaystyle x_{1}}$ bestimmt. Dies geschieht ausgehend vom Startwert

${\displaystyle x_{1,\mathrm {init} }={\begin{cases}x_{\mathrm {u} }&{\text{wenn }}d>0\land f(x_{\mathrm {infl} })>0\\x_{\mathrm {infl} }&{\text{wenn }}d<0\\x_{\mathrm {o} }&{\text{wenn }}d>0\land f(x_{\mathrm {infl} })<0\end{cases}}}$

mit dem Halley-Verfahren:

${\displaystyle x_{1}\;\;\;\leftarrow \;x_{1}-{\frac {f(x_{1})f^{\prime }(x_{1})}{f^{\prime }(x_{1})^{\,2}-{\frac {1}{2}}f(x_{1})f^{\prime \prime }(x_{1})}}}$.

Anschließend wird durch Polynomdivision die quadratische Funktion ${\displaystyle g(x)={\bigl (}f(x)-e{\bigr )}/(x-x_{1})}$ (mit kleinem ${\displaystyle e:=f(x_{1})}$, dessen Betrag von der erzielten Genauigkeit abhängt) gebildet, deren Nullstellen (im Fall ${\displaystyle e=0}$) direkt ausgerechnet werden können:

${\displaystyle g(x)=x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$ mit ${\displaystyle b_{1}=x_{1}+a_{2}}$ und ${\displaystyle b_{0}=b_{1}x_{1}+a_{1}}$.

Bei sorgfältiger Implementierung (siehe revidierte Zusatzinformationen zur Originalpublikation) ist dieses Verfahren auf modernen Prozessoren (2014, Architektur x86-64) um den Faktor 1,2 bis 10 schneller als die auf vergleichbare Genauigkeit ausgewerteten Cardanischen Formeln.