Gewöhnliche Differentialgleichungen

Sei

${\displaystyle \operatorname {L}$ :=L\left({\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)=\sum _{k=1}^{N}a_{k}(t){\tfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}}

ein Differentialoperator mit seiner inhomogenen Differentialgleichung ${\displaystyle \operatorname {L} y=f}$. Dann erfüllt die Greensche Funktion ${\displaystyle G}$ zu diesem Operator die fundamentale Gleichung:

${\displaystyle \operatorname {L} G(t)=\delta (t)}$,

wobei ${\displaystyle \delta (t)}$ die Delta-Distribution ist (d. h. es gilt ${\displaystyle \delta (\phi )=\phi (0)}$ für eine beliebig oft differenzierbare Funktion ${\displaystyle \phi }$).

Unter Umständen fügt man später noch Zusatzbedingungen hinzu, z. B. Retardierungsbedingungen (s. u.) oder die dazu äquivalente „Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung“ (Sommerfeldsche Randbedingung) oder eine Anfangs- bzw. Randbedingung, durch die ${\displaystyle G}$ eindeutig wird. Eine spezielle Lösung ergibt sich durch Faltung:

${\displaystyle y(t)=(G*f)(t)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(t-t')f(t')\mathrm {d} t'}$,

wie man wie folgt einsieht:

${\displaystyle \operatorname {L} y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {L} G(t-t')f(t')\mathrm {d} t'=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t')f(t')\mathrm {d} t'=f(t).}$

Für ${\displaystyle N=2}$ entspricht das der stationären („eingeschwungenen“) Antwort des Systems, eines gedämpften harmonischen Oszillators, auf einen ballistischen Einheitsstoß, d. h. auf die spezielle reduzierte Antriebskraft

${\displaystyle f(t)=\delta (t)\equiv {\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} \omega }$.

Partielle Differentialgleichungen

Für partielle Differentialgleichungen gilt ebenso die definierende Gleichung

${\displaystyle L\left(a_{ij}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial ^{i}}{\partial x_{j}^{i}}}\right)G(x_{1},\ldots ,x_{n})=\delta (x_{1})\cdots \delta (x_{n})}$

und eine spezielle Lösung ergibt sich wiederum durch Faltung:

${\displaystyle y=(2\pi )^{\frac {n}{2}}(G*f)(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

Problematischer sind in dem Fall jedoch das Auffinden einer Greenschen Funktion und die Berechnung der mehrdimensionalen Integrale.

Greensche Funktion mit Randbedingungen

Kennt man eine Greensche Funktion zu einem Operator ${\displaystyle L}$, so kann man den inhomogenen Teil der Differentialgleichung ohne Probleme lösen. Für die allgemeine Lösung hat man aber im Allgemeinen noch Randbedingungen zu erfüllen. Dies kann auf vielfache Art geschehen, ein elegantes Verfahren ist aber die Addition einer Lösung des homogenen Problems ${\displaystyle LF=0}$, sodass die Randbedingungen erfüllt sind. Anschaulich entspricht dies beim Lösen der Poisson-Gleichung dem Hinzufügen von Bildladungen und Entfernen der Ränder, so dass da, wo der Rand war, die vorher vorgegebenen Werte angenommen werden. Man denke sich als einfaches Beispiel ein geladenes Teilchen vor einer geerdeten Ebene. Bringt man auf der anderen Seite der Ebene eine entgegengesetzt geladene Ladung an und entfernt gedanklich die Ebene, so ist dort, wo die Ebene war, das Potential Null, was die geforderte Randbedingung erfüllt.

Häufig verwendet man dieses Verfahren zum Lösen der Poisson-Gleichung ${\displaystyle \Delta \Phi =-4\pi \rho }$ (Gaußsche Einheiten). Mithilfe des Gaußschen Integralsatzes findet man (${\displaystyle G'=G+F}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{\Omega }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\Phi (\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}r'=\int _{\Omega }(\nabla \cdot \nabla G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '))\Phi (\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}r'\\&=\int _{\partial \Omega }\!\!\!\Phi (\mathbf {r} ')\nabla G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\cdot \mathrm {d} \mathbf {f} \,-\int _{\partial \Omega }\!\!\!G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\nabla \Phi (\mathbf {r} ')\cdot \mathrm {d} \mathbf {f} \,+\int _{\Omega }\!G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')(-4\pi \rho (\mathbf {r} '))\mathrm {d} ^{3}r'.\end{aligned}}}$

Je nachdem, ob man nun das Potential oder dessen Ableitung auf dem Rand vorgegeben hat, wählt man nun die Funktion ${\displaystyle F}$ die zu ${\displaystyle G}$ hinzuaddiert werden soll so, dass im ersten Fall ${\displaystyle G'|_{\partial \Omega }=0}$ gilt und nennt ${\displaystyle G'}$ üblicherweise Dirichletsche Greensche Funktion ${\displaystyle G_{D}}$. Im zweiten Fall wählt man ${\displaystyle F}$ nicht – wie nahe liegen würde – so, dass ${\displaystyle \nabla G'\cdot \mathbf {n} |_{\partial \Omega }}$ verschwindet, da dies den Gaußschen Satz verletzen würde. Stattdessen wählt man ${\displaystyle F}$ so, dass

${\displaystyle \nabla G'\cdot \mathbf {n} |_{\partial \Omega }={\frac {1}{|\partial \Omega |}}}$

gilt (was in obigem Integral nur den Mittelwert des Potentials über die Oberfläche produziert, eine Konstante um die die Lösung sowieso unbestimmt ist) und nennt ${\displaystyle G'}$ üblicherweise Neumannsche Greensche Funktion ${\displaystyle G_{N}}$. Die zu bestimmenden Greenschen Funktionen findet man bei symmetrischen Problemen oft aus geometrischen Überlegungen. Alternativ kann man ${\displaystyle F}$ nach einem Orthonormalsystem des Operators entwickeln. Hat man eine Lösung gefunden, so ist diese eindeutig bestimmt, wie unmittelbar aus dem Maximumprinzip für elliptische Differentialgleichungen folgt.

Poisson-Problem

Oftmals versteht man unter der Greenschen Funktion ${\displaystyle G}$ den Integralkern des Laplace-Operators ${\displaystyle \Delta }$ unter Berücksichtigung gewisser Randwerte, das heißt für ${\displaystyle G}$ gilt

${\displaystyle u(x)=\int G(x,y)\Delta u(y)\mathrm {d} y}$.

George Green nutzte diese Funktion mit den Randwertproblemen, die aus der Potentialtheorie folgen, um die Greenschen Formeln zu bestimmen. Jedoch wurde man sich der Wichtigkeit dieses Resultats erst nach seinem Tod bewusst.

In diesem Abschnitt wird die Greensche Funktion des Dirichlet-Problems der Poisson-Gleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta u=&f\quad {\mbox{in}}\;D\\u=&g\quad {\mbox{auf}}\;\partial D\end{aligned}}}$

bestimmt, wobei ${\displaystyle \Delta }$ der Laplace-Operator und ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ein offenes beschränktes Gebiet mit glattem Rand ${\displaystyle \partial D}$ ist. Die Fundamentallösung des Laplace-Operators lautet

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|&{\mbox{für}}\;\;n=2\\-{\frac {1}{n(n-2)\alpha (n)}}{\frac {1}{|x|^{n-2}}}&{\mbox{für}}\;\;n\geq 3\,,\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle \alpha (n)}$ das Volumen des Einheitsballs in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist. Fixiere nun ${\displaystyle x\in D}$ und wähle eine Kugel ${\displaystyle B(x,\epsilon )}$ um ${\displaystyle x}$ mit Radius ${\displaystyle \epsilon >0}$, so dass ${\displaystyle B(x,\epsilon )}$ ganz in ${\displaystyle D}$ liegt. Definiere ${\displaystyle V_{\epsilon }:=D\setminus B(x,\epsilon )}$. Auf dieser Menge ist die Fundamentallösung ${\displaystyle y\mapsto \Phi (y-x)}$ glatt. Aus der Greenschen Formel folgt dann

${\displaystyle \;\int \limits _{V_{\epsilon }}\left[\Phi (y-x)\Delta u(y)-u(y)\Delta \Phi (y-x)\right]\mathrm {d} y=\int \limits _{\partial V_{\epsilon }}\left[\Phi (y-x){\frac {\partial u}{\partial n}}(y)-u(y){\frac {\partial \Phi }{\partial n}}(y-x)\right]\mathrm {d} S(y)}$,

wobei ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial n}}}$ die partielle Ableitung nach dem äußeren Einheitsnormalenvektor ist. Da ${\displaystyle \Delta \Phi =0}$ und ${\displaystyle \partial V_{\epsilon }=\partial D\cup \partial B(x,\epsilon )}$ ist, ergibt sich

${\displaystyle \;\int \limits _{V_{\epsilon }}\Phi (y-x)\Delta u(y)\mathrm {d} y=\int \limits _{\partial D}\left[\Phi (y-x){\frac {\partial u}{\partial n}}(y)-u(y){\frac {\partial \Phi }{\partial n}}(y-x)\right]\mathrm {d} S(y)+\int \limits _{\partial B(x,\epsilon )}\left[\Phi (y-x){\frac {\partial u}{\partial n}}(y)-u(y){\frac {\partial \Phi }{\partial n}}(y-x)\right]\mathrm {d} S(y)}$.

Für ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ gelten

${\displaystyle \left|\;\int \limits _{\partial B(x,\epsilon )}\Phi (y-x){\frac {\partial u}{\partial n}}(y)\mathrm {d} S(y)\right|\leq C\epsilon |\ln(\epsilon )|\to 0}$

und

${\displaystyle \;\int \limits _{\partial B(x,\epsilon )}u(y){\frac {\partial \Phi }{\partial n}}(y-x)\mathrm {d} S(y)={\frac {1}{2\pi \epsilon }}\int \limits _{\partial B(x,\epsilon )}u(y)\mathrm {d} S(y)\to u(x)}$,

woraus

${\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial D}\left[\Phi (y-x){\frac {\partial u}{\partial n}}(y)-u(y){\frac {\partial \Phi }{\partial n}}(y-x)\right]\mathrm {d} S(y)-\int \limits _{D}\Phi (y-x)\Delta u(y)\mathrm {d} y}$

folgt. Dies ist eine Möglichkeit, die Lösung des Poisson-Problems darzustellen. Jedoch ist in diesem Kontext die Normalenableitung ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial n}}}$ von ${\displaystyle u}$ unbekannt. Aus diesem Grund wird eine Korrekturfunktion ${\displaystyle \phi _{x}}$ eingeführt, die das Randwertproblem

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \phi _{x}=&0\;\qquad \qquad {\mbox{in}}\ D\\\phi _{x}=&\Phi (y-x)\quad {\mbox{auf}}\ \partial D\end{aligned}}}$

löst. Mittels der gleichen Argumentation wie zuvor folgt aus der Greenschen Formel

${\displaystyle -\int \limits _{D}\phi _{x}(y)\Delta u(y)\mathrm {d} y=\int \limits _{\partial D}u(y){\frac {\partial \phi _{x}}{\partial n}}(y)-\Phi (y-x){\frac {\partial u}{\partial n}}(y)\mathrm {d} S(y)}$.

Addiert man diese Gleichung mit der oben gefundenen Darstellung von ${\displaystyle u}$ so, erhält man die Darstellung

${\displaystyle u(x)=-\int \limits _{\partial D}u(y){\frac {\partial }{\partial n}}\left(\Phi (y-x)-\phi _{x}(y)\right)\mathrm {d} S(y)-\int \limits _{D}(\Phi (y-x))-\phi _{x}(y))\Delta u(y)\mathrm {d} y}$

ohne den Term ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial n}}}$. Die Funktion ${\displaystyle G(x,y):=\Phi (y-x)-\phi _{x}(y)}$ heißt Greensche Funktion des Laplace-Operators zum Gebiet ${\displaystyle D}$. Weiter kann noch gezeigt werden, dass die Funktion symmetrisch von ihren Argumenten abhängt, das heißt es gilt ${\displaystyle G(x,y)=G(y,x)}$.

Bestimmung des statischen elektrischen Feldes

Nach den Maxwell-Gleichungen gilt für die Quellstärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Feldes in einem homogenen, linearen und isotropen Material

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} )}$,

wobei ${\displaystyle \mathbf {E} }$ die elektrische Feldstärke und ${\displaystyle \rho }$ die elektrische Ladungsdichte ist. Da es sich im elektrostatischen Fall um ein konservatives System handelt, gilt

${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \,\varphi }$,

wobei ${\displaystyle \varphi }$ das elektrische Potential ist. Einsetzen liefert die Poisson-Gleichung

${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} )}$,

also eine inhomogene lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Kennt man eine Greensche Funktion ${\displaystyle G_{\Delta }}$ des Laplace-Operators ${\displaystyle \Delta =\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\nabla } }$, so lautet eine partikuläre Lösung

${\displaystyle \varphi _{p}(\mathbf {r} )=\int _{\Omega }G_{\Delta }(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} ')\right)\mathrm {d} ^{n}r'}$.

Eine (nicht eindeutig bestimmte) Greensche Funktion des Laplace-Operators in 3 Dimensionen ist

${\displaystyle G_{\Delta }(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{|\mathbf {r} |}}}$,

womit sich nach Einsetzen

${\displaystyle \varphi _{p}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\equiv \int _{Q}{\frac {-1}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '(q)|}}\,\mathrm {d} \left(-{\frac {q}{\varepsilon _{0}}}\right)}$

ergibt. Letzte Gleichung soll die physikalische Interpretation der Greenschen Funktion verdeutlichen. Die Greensche Funktion zusammen mit dem Differential stellen einen „Potentialstoß“ dar, das Gesamtpotential ergibt sich dann durch Superposition aller „Potentialstöße“, also durch Ausführen des Integrals.

Inhomogene Wellengleichung

Dieser Fall ist etwas schwieriger und anders geartet, weil man es nicht mit einer elliptischen, sondern mit einer hyperbolischen Differentialgleichung zu tun hat. Hier treten die oben angedeuteten Komplikationen auf.

Weitere Beispiele

In der folgenden Tabelle sind für einige Operatoren die Greenschen Funktionen gegeben, dabei ist ${\displaystyle \Theta (t)}$ die Heaviside-Funktion.

Bemerkung	Differentialoperator ${\displaystyle L}$	Greensche Funktion ${\displaystyle G}$
	${\displaystyle \partial _{t}}$	${\displaystyle \Theta (t)}$
	${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}}$
	${\displaystyle (\partial _{t}+\gamma )^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t}}$
eindimensionaler harmonischer Oszillator	${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}{\frac {\sin(t{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}})}{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}}$
zweidimensionaler Laplace-Operator	${\displaystyle \Delta _{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\ln(\varrho )}{2\pi }}}$
dreidimensionaler Laplace-Operator	${\displaystyle \Delta =\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi \mathrm {r} }}}$
Helmholtz-Gleichung	${\displaystyle \Delta +k^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kr}}{4\pi r}}}$
Diffusionsgleichung	${\displaystyle \partial _{t}-D\Delta }$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi Dt}}\right)^{\frac {3}{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {r^{2}}{4Dt}}}}$
D’Alembert-Operator	${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\Delta }$	${\displaystyle {\frac {\delta (t-{\frac {\mathrm {r} }{c}})}{4\pi \mathrm {r} }}}$