Normaxiome

Jede Skalarproduktnorm erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität. Die Definitheit folgt für ${\displaystyle v\in V}$ aus der Eindeutigkeit der Nullstelle der Wurzelfunktion über

${\displaystyle \|v\|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {\langle v,v\rangle }}=0\;\Rightarrow \;\langle v,v\rangle =0\;\Leftrightarrow \;v=0}$,

die absolute Homogenität folgt für ${\displaystyle v\in V}$ und ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }$ aus

${\displaystyle \|\alpha v\|^{2}=\langle \alpha v,\alpha v\rangle ={\bar {\alpha }}\alpha \langle v,v\rangle =|\alpha |^{2}\|v\|^{2}}$

und die Subadditivität (oder Dreiecksungleichung) folgt für ${\displaystyle v,w\in V}$ über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (siehe den folgenden Abschnitt) aus

${\displaystyle {\begin{aligned}\|v+w\|^{2}&=\langle v+w,v+w\rangle =\langle v,v\rangle +\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle +\langle w,w\rangle =\|v\|^{2}+\langle v,w\rangle +{\overline {\langle v,w\rangle }}+\|w\|^{2}\\&=\|v\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle v,w\rangle +\|w\|^{2}\leq \|v\|^{2}+2\,\|v\|\,\|w\|+\|w\|^{2}=\left(\|v\|+\|w\|\right)^{2}\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ den Realteil der komplexen Zahl angibt und in den beiden letzten Fällen noch die (positive) Wurzel auf beiden Seiten gezogen werden muss.

Parallelogrammgleichung

Für eine Skalarproduktnorm gilt zudem die Parallelogrammgleichung

${\displaystyle \|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2(\|v\|^{2}+\|w\|^{2})}$

für alle Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$. Umgekehrt gilt nach dem Satz von Jordan-von Neumann: erfüllt eine Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ die Parallelogrammgleichung, so ist sie von einem Skalarprodukt induziert. Dieses Resultat erhält man durch eine Polarisationsformel, bei reellen Vektorräumen zum Beispiel durch

${\displaystyle \langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}(\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2})}$.

Unitäre Invarianz

Eine Skalarproduktnorm ist weiterhin invariant unter unitären Transformationen. Ist ${\displaystyle U\colon V\rightarrow W}$ ein unitärer Operator (im endlichdimensionalen Fall eine unitäre bzw. orthogonale Matrix) von ${\displaystyle V}$ in einen weiteren Skalarproduktraum ${\displaystyle W}$ mit zugehöriger Norm, dann gilt

${\displaystyle \|Uv\|=\|v\|}$,

was unmittelbar aus

${\displaystyle \|Uv\|^{2}=\langle Uv,Uv\rangle =\langle U^{\ast }Uv,v\rangle =\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}}$

folgt, wobei ${\displaystyle U^{\ast }}$ der zu ${\displaystyle U}$ adjungierte Operator (im endlichdimensionalen Fall die adjungierte bzw. transponierte Matrix) ist. Eine Skalarproduktnorm ändert ihren Wert somit unter unitären Transformationen des Vektors nicht. Im reellen, endlichdimensionalen Fall sind solche Transformationen beispielsweise Drehungen des Vektors um den Nullpunkt.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Eine Skalarproduktnorm erfüllt für alle Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

${\displaystyle \left|\langle v,w\rangle \right|\leq \|v\|\,\|w\|}$,

wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle w}$ linear abhängig sind. Im reellen Fall können die Betragsstriche auch weglassen werden. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt dann unmittelbar

${\displaystyle {\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}\leq 1}$,

daher kann man den Winkel ${\displaystyle \varphi }$ zwischen zwei reellen Vektoren über

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}}$

definieren. Der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ liegt damit im Intervall ${\displaystyle [0,\pi ]}$, also zwischen ${\displaystyle 0^{\circ }}$ und ${\displaystyle 180^{\circ }}$. Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.

Satz des Pythagoras

Allgemein werden zwei Vektoren ${\displaystyle v,w\in V}$ orthogonal genannt, wenn ihr Skalarprodukt ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$ ist. Für orthogonale Vektoren gilt dann der Satz des Pythagoras für Skalarprodukträume

${\displaystyle \|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}}$,

was direkt aus dem ersten Teil der obigen Herleitung der Dreiecksungleichung folgt. Der Satz des Pythagoras kann auch auf eine endliche Summe paarweise orthogonaler Vektoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ erweitert werden und es gilt dann

${\displaystyle \|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}}$.

Die entsprechende Erweiterung auf unendlich viele Summanden in einem Hilbertraum ist die Parsevalsche Gleichung.

Beispiel

Die Kovarianz ist eine Bilinearform auf dem Raum der Zufallsvariablen mit endlichen zweiten Momenten, und wird zu einem Skalarprodukt auf dem Quotientenraum der Zufallsvariablen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist dann schlicht die Standardabweichung einer Zufallsvariablen.