Die Finite-Elemente-Methode

Beim klassischen Ritz-Ansatz wird die Lösungsfunktion durch eine Summe von Funktionen ersetzt, die von einem Parametervektor abhängt und jede zum Vergleich zugelassene Funktion approximieren kann. Die Lösung der Dgl wird somit von der Suche nach einer Funktion auf die Suche nach einem Parametervektor reduziert.

Die Anfangspositionen der Partikel – die Geometrie des Körpers – ist wie dargelegt ein partikulärer Lösungsanteil der Dgl, der den Anfangsbedingungen gehorcht. Vereinfachungen ergeben sich durch folgende, über das Ritz’sche Verfahren und den Galerkin-Ansatz hinausgehenden Annahmen der FEM:

1. Da das Auffinden der partikulären Lösung in den meisten Fällen schwierig ist, wird auch diese wie die Lösungsfunktion in Summen von Funktionen entwickelt. Die Parameter der Ansatzfunktionen sind so zu wählen, dass die Anfangs- und Randbedingungen (Körpergeometrie, Anfangsgeschwindigkeit) befriedigt sind.
2. Die Zeit- und Ortsabhängigkeit der Ansatzfunktionen wird in rein ortsabhängige Funktionen und nur zeitabhängige Parameter aufgeteilt.

In der ingieursgemäßen Vorgehensweise werden physikalisch bedeutsame Größen, wie die Koordinaten oder Verschiebungen bestimmter Punkte als Parameter gewählt. So sind die Parameter leicht zu ermitteln und ihre Plausibilität einfach zu überprüfen.

Standardformulierung

Die erste Anwendung der FEM war die lineare Behandlung von Festkörpern und Strukturen und davon ausgehend hat die FEM ihre Anstöße erhalten. Bei der Berechnung von Problemen der Festkörpermechanik werden Verschiebungen gesucht, welche die Translation, Rotation und Verformung eines Körpers wiedergeben. Während der Entwicklung der FEM wurde eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Beschreibung der Geometrie und der Verschiebungen aufgezeigt. Die Standardformulierung ist die Verschiebungsmethode, bei der die Verschiebungen an ausgesuchten Punkten, den Knoten, als Parameter gewählt und die Verschiebungen zwischen den Knoten mit Formfunktionen interpoliert werden.

Die sogenannten gemischten Methoden benutzen neben den Knotenverschiebungen noch weitere Unbekannte, die physikalisch einem Druck, einer Spannung oder Dehnung entsprechen. Die Elementverschiebungen ergeben sich dann aus einem Zusammenspiel all dieser Variablen. Die isoparametrischen Elemente stellen den Zusammenhang zwischen den Elementverschiebungen und den Knotenverschiebungen direkt her. Hier haben die isoparametrischen Elemente neben den oben genannten Vorteilen den weiteren, dass sich das Verschiebungsfeld leicht visualisieren lässt.

Lokale Elementkoordinaten

Für die mathematische Beschreibung wird jedem Partikel P eineindeutig durch eine Referenzkonfiguration ein Koordinatenvektor ${\displaystyle {\vec {\Theta }}\in V_{R}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ zugewiesen, was gestattet jedes Partikel mit seinem Koordinatenvektor zu identifizieren: ${\displaystyle P=P({\vec {\Theta }})\leftrightarrow {\vec {\Theta }}={\vec {\Theta }}(P)}$. Der Einfachheit halber definiert jedes Element seine eigene Referenzkonfiguration, weshalb ${\displaystyle {\vec {\Theta }}}$ dort lokale Koordinaten genannt werden, denn sie gelten nur im betrachteten Finiten-Element. Üblicherweise ist ${\displaystyle V_{R}=[-1,1]^{d}}$ je nach Dimension d des Elementes. Die Koordinaten ${\displaystyle {\vec {\Theta }}}$ sind weitgehend beliebig und unterscheiden sich im Allgemeinen von den räumlichen Koordinaten des Partikels.

Bewegungsfunktion

Für alle Partikel im Element wird jetzt die Bewegungsfunktion ${\displaystyle {\vec {\chi }}}$ gesucht, die die Dgl und die Anfangs- und Randbedingungen erfüllt. Der Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {\chi }}({\vec {\Theta }},t)}$ entspricht der räumlichen Position des Partikels ${\displaystyle {\vec {\Theta }}}$ zur Zeit t, so dass die Bewegungsfunktion bei festgehaltenem Partikel ${\displaystyle {\vec {\Theta }}}$ die Bahnlinie des Partikels beschreibt.

Für die Anwendung der FEM wird eine endliche Menge von Partikeln

${\displaystyle M=\lbrace {\vec {\Theta }}_{i}\in V_{R},i=1,2,...,n\rbrace }$

ausgewählt, deren Elemente Knoten genannt werden und die das Element aufspannen. Die Knoten, die der Beschreibung der Geometrie dienen, seien Elemente der Menge ${\displaystyle M_{x}\subseteq M}$ und besitzen Nummern aus der Indexmenge ${\displaystyle I_{x}\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ und diejenigen Knoten, die für die Beschreibung der Verschiebungen benutzt werden seien Elemente der Menge ${\displaystyle M_{u}\subseteq M}$ mit Nummern aus der Indexmenge ${\displaystyle I_{u}\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$.

Geometrische Beschreibung des Körpers

Die Form des Elementes in der zeitunabhängigen Ausgangskonfiguration ${\displaystyle {\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }}):={\vec {\chi }}({\vec {\Theta }},t_{0})}$ zu Beginn der Bewegung zur Zeit ${\displaystyle t_{0}}$ stellt – wie oben dargelegt – eine Anfangsbedingung dar. Der geometrische Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})}$ gibt die räumliche Position des Partikels ${\displaystyle {\vec {\Theta }}}$ zur Zeit ${\displaystyle t_{0}}$ an und ist somit ein Objekt unserer Anschauung. Der Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})}$ eines jeden Partikels wird in eine Summe von stetigen Formfunktionen

${\displaystyle {\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})=\sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }}){\vec {X}}_{i}}$

entwickelt, worin F_i die Formfunktion und ${\displaystyle {\vec {X}}_{i}={\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }}_{i})}$ der Koordinatenvektor des i-ten Knotens ist. Die Funktionen ${\displaystyle F_{i}({\vec {\Theta }})}$ liefern für genau einen Knoten ${\displaystyle {\vec {\Theta }}_{i}\in M_{x}}$ den Wert eins und für alle anderen Knoten den Wert null

${\displaystyle F_{i}({\vec {\Theta }}_{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1&\mathrm {falls} \;i,j\in I_{x}\;\mathrm {und} \;i=j\\[1ex]0&\mathrm {falls} \;i,j\in I_{x}\;\mathrm {und} \;i\neq j\end{array}}\right.\,,}$

siehe Abb. 1. Die Positionen der Knoten in ${\displaystyle M_{x}}$ werden so mit den Formfunktionen exakt wiedergegeben

${\displaystyle {\vec {\chi }}_{0}({\vec {{\Theta }_{j}}})=\sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }}_{j}){\vec {X}}_{i}=F_{j}({\vec {\Theta }}_{j}){\vec {X}}_{j}={\vec {X}}_{j}\quad \forall \;j\in I_{x}}$

und die Positionen der zwischen den Knoten liegenden Partikel werden mit den Formfunktionen interpoliert, was namensgebend für diese Funktionen ist. Wenn der Verlauf der Formfunktionen zwischen den Knoten nicht der Form des Körpers entspricht, dann entsteht der (in Abwesenheit einer analytischen Lösung unvermeidliche) Diskretisierungsfehler, siehe Abb. 2.

Verschiebungsfeld

Der Differenzvektor

${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {\Theta }},t)={\vec {\chi }}({\vec {\Theta }},t)-{\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})}$

zwischen der momentanen Lage eines Partikels und seiner Ausgangslage ist der Verschiebungsvektor, der der zeitabhängige Teil der Bewegungsfunktion ist und der in eine Summe von Produkten von stetigen, rein ortsabhängigen Ansatzfunktionen und rein zeitabhängigen Knotenvariablen entwickelt wird:

${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {\Theta }},t)=\sum _{i\in I_{u}}H_{i}({\vec {\Theta }}){\vec {u}}_{i}(t)\,.}$

Die Ansatzfunktionen H_i liefern für genau einen Knoten ${\displaystyle {\vec {\Theta }}_{i}\in M_{u}}$ den Wert eins und für alle anderen Knoten den Wert null:

${\displaystyle H_{i}({\vec {\Theta }}_{j})=\left\{{\begin{array}{ll}1&\mathrm {falls} \;i,j\in I_{u}\;\mathrm {und} \;i=j\\[1ex]0&\mathrm {falls} \;i,j\in I_{u}\;\mathrm {und} \;i\neq j\end{array}}\right.\,.}$

Der Parametervektor ${\displaystyle {\vec {u}}_{i}(t)}$ enthält die im Allgemeinen zeitabhängigen Verschiebungen des Knotens i. Es können mehr (${\displaystyle M_{x}\subset M_{u}}$) oder weniger (${\displaystyle M_{u}\subset M_{x}}$) Knoten benutzt werden als für die Beschreibung der Ausgangsposition herangezogen werden, was die sub- bzw. superparametrischen Elemente auch tun, siehe Abb. 3.

Konstantes Verschiebungsfeld

Die Bewegungsfunktion lautet mit diesen beiden Ansätzen:

${\displaystyle {\vec {\chi }}({\vec {\Theta }},t)={\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})+{\vec {u}}({\vec {\Theta }},t)=\sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }}){\vec {X}}_{i}+\sum _{i\in I_{u}}H_{i}({\vec {\Theta }}){\vec {u}}_{i}(t)\,.}$

Um physikalisch Sinn zu machen, müssen die Ansatzfunktionen in der Lage sein, eine Parallelverschiebung des Körpers darzustellen. Bei einer Parallelverschiebung werden alle Partikel und damit auch alle Knoten des Modells ortsunabhängig mit dem Vektor ${\displaystyle {\vec {u}}_{0}}$ verschoben. Dann lautet das Verschiebungsfeld

${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {\Theta }},t)=\sum _{i\in I_{u}}H_{i}({\vec {\Theta }}){\hat {u}}_{0}=\left(\sum _{i\in I_{u}}H_{i}({\vec {\Theta }})\right){\hat {u}}_{0}{\stackrel {\displaystyle$ !}{=}}{\vec {u}}_{0}\quad \forall \;{\vec {\Theta }}\in V_{R}\,,}

weshalb

${\displaystyle \displaystyle \sum _{i\in I_{u}}H_{i}({\vec {\Theta }})=1\quad \forall \;{\vec {\Theta }}\in V_{R}}$		(I)

zu fordern ist. Ebenso ist zu fordern, dass der verschobene Körper auch mit einer verschobenen Anfangsposition dargestellt werden kann:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})+{\vec {u}}_{0}&=&\displaystyle \sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }}){\vec {X}}_{i}+\sum _{i\in I_{u}}H_{i}({\vec {\Theta }}){\hat {u}}_{0}{\stackrel {\displaystyle$ !}{=}}\sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }})({\vec {X}}_{i}+{\hat {u}}_{0})\\\rightarrow \displaystyle \sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }}){\hat {u}}_{0}&=&\displaystyle \left(\sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }})\right){\hat {u}}_{0}=\sum _{i\in I_{u}}H_{i}({\vec {\Theta }}){\hat {u}}_{0}\,.\end{array}}}

Wegen Bedingung (I) folgt daraus:

${\displaystyle \displaystyle \sum _{i\in I_{x}}F_{i}({\vec {\Theta }})=1\quad \forall \;{\vec {\Theta }}\in V_{R}\,.}$		(II)

Isoparametrische Elemente

Die erste zu bemerkende Eigenschaft isoparametrischer Elemente ist, dass für die Wiedergabe der Verschiebung dieselben Knoten wie für die Geometrie benutzt werden:

${\displaystyle M_{u}=M_{x}=M\,.}$

Die zweite Eigenschaft isoparametrischer Elemente ist, dass für die Darstellung der Verschiebung dieselben, stetigen, Formfunktionen wie für die Ausgangsposition benutzt werden

${\displaystyle {\vec {\chi }}({\vec {\Theta }},t)=\sum _{i=1}^{n}N_{i}({\vec {\Theta }}){\vec {X}}_{i}+\sum _{i=1}^{n}N_{i}({\vec {\Theta }}){\vec {u}}_{i}(t)=\sum _{i=1}^{n}N_{i}({\vec {\Theta }})({\vec {X}}_{i}+{\vec {u}}_{i}(t))\,.}$

Dem Galerkin-Ansatz folgend, werden für die Wichtungsfunktionen dieselben Funktionen genommen wie für die Geometrie und Verschiebung. Diese Eigenschaften bewirken, dass

1. die Formfunktionen nur die Forderung (I) erfüllen brauchen, da dann (II) automatisch erfüllt ist,
2. sich der Diskretisierungsfehler leicht, im Präprozessor visuell, einschätzen lässt und
3. nur ein Satz Formfunktionen für die Geometrie, die Verschiebungen und die Wichtungsfunktionen zu definieren und zu programmieren ist.

Modellierung des ganzen Körpers

Die Bewegungsfunktion muss im Element stetig sein und das ist auch für die globale Bewegungsfunktion des gesamten Festkörpers zu fordern. Üblicherweise wird festgelegt, dass die lokale, im Element definierte Bewegungsfunktion außerhalb des Elementes verschwindet und die globale Bewegungsfunktion die Summe aller lokalen Element-Bewegungsfunktionen ist. Damit die globale Bewegungsfunktion stetig ist, müssen benachbarte Elemente kompatibel sein, so dass sie den Körper überschneidungsfrei und lückenlos aufbauen. Das bedeutet, dass benachbarte Elemente an ihrer gemeinsamen Berandungsfläche dieselben Knoten und denselben Verlauf der Formfunktionen besitzen, siehe Abb. 2 und 3.