Überführung des Prinzips in eine Matrizengleichung

Der interessierende Körper wird vorbereitend in Teilkörper, die Finiten-Elemente, unterteilt, siehe Bild. Damit die Elemente den Körper lückenlos und überschneidungsfrei aufbauen, müssen benachbarte Elemente kompatibel sein. Auf den Begrenzungsflächen oder auch im Inneren der Elemente liegen Knoten genannte Punkte, denen globale Koordinaten zur geometrischen Beschreibung des Körpers und Verschiebungen als Knotenvariable zur Beschreibung der Bewegung zugeteilt werden.

Anhand eines Elementes wird die Überführung der Tensorgleichung des Prinzips in eine Matrizengleichung vollzogen:

• Die Elementverschiebungen werden mit einem rein zeitabhängigen Lösungsvektor ${\displaystyle {\hat {u}}}$ der Länge m mit Knotenverschiebungen und einer rein ortsabhängigen 3×m Formfunktionsmatrix N dargestellt:

${\displaystyle {\vec {u}}=N{\hat {u}}\,.}$

Damit lauten die Elementbeschleunigungen ${\displaystyle {\ddot {\vec {u}}}=N{\hat {\ddot {u}}}\,.}$ Die Formfunktionen sind die Ansatzfunktionen für die Lösung und durch die Beschränkung auf eine endliche Anzahl von ihnen ergibt sich der – in Abwesenheit einer analytischen Lösung unvermeidliche – Diskretisierungsfehler.

• In der Galerkin-Methode werden die virtuellen Verschiebungen genauso behandelt wie die Punktverschiebungen:

${\displaystyle \delta {\vec {u}}=N\delta {\hat {u}}\,.}$

• Der Spannungstensor wird mittels Voigt’scher Notation als Spaltenvektor geschrieben:

${\displaystyle {\hat {T}}={\begin{pmatrix}{\tilde {T}}_{xx}&{\tilde {T}}_{yy}&{\tilde {T}}_{zz}&{\tilde {T}}_{xy}&{\tilde {T}}_{yz}&{\tilde {T}}_{xz}\end{pmatrix}}^{\top }\,.}$

Das Superskript ${\displaystyle (\cdot )^{\top }}$ bezeichnet die Transposition.

• In gleicher Weise werden die virtuellen Verzerrungen in einen Vektor eingetragen:

${\displaystyle \delta {\hat {E}}={\begin{pmatrix}\delta E_{xx}&\delta E_{yy}&\delta E_{zz}&2\delta E_{xy}&2\delta E_{yz}&2\delta E_{xz}\end{pmatrix}}^{\top }\,.}$

Der Faktor zwei an der vierten bis sechsten Position stellt sicher, dass das Skalarprodukt mit dem Matrixprodukt übereinstimmt ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {T} }}:\delta \mathbf {E} =\delta {\hat {E}}^{\top }{\hat {T}}\,.}$ Außerdem entspricht die doppelte Schubverzerrung der Gleitung γ, so dass die Komponenten eine anschauliche Interpretation besitzen.

• Die differentiellen virtuellen Verzerrungen sind linear in den virtuellen Knotenverschiebungen:

${\displaystyle \delta {\hat {E}}=B\delta {\hat {u}}}$

mit der 6×m Verzerrungsverschiebungsmatrix B.

Diese Definitionen, die im Abschnitt #Elementmatrizen an den Integrationspunkten unten ausgeführt werden, werden in das Prinzip eingetragen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\delta {\hat {u}}^{\top }N^{\top }\rho _{0}N{\hat {\ddot {u}}}\,{\text{d}}V+\int _{V}\delta {\hat {E}}^{\top }{\hat {T}}\,{\text{d}}V=\int _{{A}^{\sigma }}\delta {\hat {u}}^{\top }N^{\top }{\vec {t}}_{0}\,{\text{d}}A+\int _{V}\delta {\hat {u}}^{\top }N^{\top }\rho _{0}{\vec {k}}_{0}\,{\text{d}}V&\quad \forall \;\delta {\hat {u}}\in V^{m}\\\rightarrow \delta {\hat {u}}^{\top }{\Biggl [}\underbrace {\int _{V}N^{\top }\rho _{0}N\,{\text{d}}V} _{M}{\hat {\ddot {u}}}+\underbrace {\int _{V}B^{\top }{\hat {T}}\,{\text{d}}V} _{\hat {r}}-\underbrace {\left(\int _{{A}^{\sigma }}N^{\top }{\vec {t}}_{0}\,{\text{d}}A+\int _{V}N^{\top }\rho _{0}{\vec {k}}_{0}\,{\text{d}}V\right)} _{\hat {f}}{\Biggr ]}=0&\quad \forall \;\delta {\hat {u}}\in V^{m}\,.\end{aligned}}}$

Die Menge ${\displaystyle V^{m}}$ enthält alle zulässigen virtuellen Verschiebungsvektoren der Dimension m×1. Die Knotenvariablen können aus den Integralen herausgezogen werden, weil die Ortsabhängigkeit allein bei den Formfunktionen liegt. So entsteht die Prinzipgleichung:

${\displaystyle \delta {\hat {u}}^{\top }[M{\hat {\ddot {u}}}+{\hat {r}}-{\hat {f}}]=0\quad \forall \;\delta {\hat {u}}\in V^{m}}$		(PvdA)

Die m×m Matrix M ist die konstante Massenmatrix, der m×1 Vektor ${\displaystyle {\hat {r}}}$ enthält Knotenreaktionen aufgrund von Elementspannungen und ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ist der gleich große Knotenkraftvektor, der die von außen angreifenden Kräfte repräsentiert.

Diese Gleichung wurde für ein Finites-Element aufgestellt, was statthaft ist, weil das Prinzip für jeden Körper und jeden seiner Teilkörper gilt. Beim Übergang vom Finiten-Element zum ganzen Körper werden die Elementmatrizen in einem Assemblierungsschritt in globalen Matrizen aufsummiert. Das globale System unterliegt auch der Prinzipgleichung (PvdA), nur die Matrizen und Vektoren sind größer.

Partitionierung des globalen Systems

Die Menge ${\displaystyle V^{m}}$ enthält alle zulässigen virtuellen Verschiebungsvektoren der Dimension m×1. Zulässig ist ein virtueller Verschiebungsvektor, wenn seine Komponenten verschwinden, wo im Lösungsvektor Randbedingungen vorgegeben sind. Die Komponenten des Lösungsvektors, die an Verschiebungsrandbedingungen gebunden sind, werden an das Ende des Lösungsvektors verlegt:

${\displaystyle {\hat {u}}={\begin{pmatrix}{\hat {u}}_{u}\\{\hat {u}}_{b}\end{pmatrix}}\quad \rightarrow \quad \delta {\hat {u}}={\begin{pmatrix}\delta {\hat {u}}_{u}\\{\hat {0}}\end{pmatrix}}\,,\quad {\hat {f}}={\begin{pmatrix}{\hat {f}}_{u}\\{\hat {0}}\end{pmatrix}}}$

Der Vektor ${\displaystyle {\hat {u}}_{u}}$ enthält die gesuchten unbekannten Knotenverschiebungen und ${\displaystyle {\hat {u}}_{b},\,{\hat {f}}_{u}}$ sind in Randbedingungen vorgegeben. Im Vektor der äußeren Kräfte ${\displaystyle {\hat {f}}}$ besteht der untere Teil aus Nullen, weil an Orten, wo Verschiebungsrandbedingungen vorliegen, keine Kräfte vorgegeben werden können. Die Massenmatrix wird ebenfalls partitioniert:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}M_{uu}&M_{ub}\\M_{bu}&M_{bb}\end{pmatrix}}\,.}$

Damit entsteht aus der Gleichung (PvdA):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\delta {\hat {u}}_{u}^{\top }&{\hat {0}}^{\top }\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}M_{uu}&M_{ub}\\M_{bu}&M_{bb}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {\ddot {u}}}_{u}\\{\hat {\ddot {u}}}_{b}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}{\hat {r}}_{u}\\{\hat {r}}_{b}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\hat {f}}_{u}\\{\hat {0}}\end{pmatrix}}\right]=&\\\delta {\hat {u}}_{u}^{\top }\left(M_{uu}{\hat {\ddot {u}}}_{u}+M_{ub}{\hat {\ddot {u}}}_{b}+{\hat {r}}_{u}-{\hat {f}}_{u}\right)=&0\quad \forall \;\delta {\hat {u}}_{u}\in \mathbb {R} ^{m_{u}}\,,\end{aligned}}}$

wenn m_u die Dimension des Vektors ${\displaystyle {\hat {u}}_{u}}$ ist. Die obige Gleichung erzwingt das Verschwinden der Summe in den runden Klammern mit dem Resultat:

${\displaystyle M_{uu}{\hat {\ddot {u}}}_{u}={\hat {f}}_{u}-{\hat {r}}_{u}-M_{ub}{\hat {\ddot {u}}}_{b}\,.}$

Sobald die Verschiebungen vollständig ermittelt wurden, ist es üblich – falls gewünscht – aus der herausgefallenen unteren Gleichungszeile die Reaktionen an den Lagerungen zu berechnen, beispielsweise:

${\displaystyle {\hat {r}}_{b}=-M_{bu}{\hat {\ddot {u}}}_{u}-M_{bb}{\hat {\ddot {u}}}_{b}\,.}$

Im Text angenommene Vereinfachungen

Der Einfachheit halber werden im Folgenden nur statische Festlager betrachtet in denen die Verschiebungen und Beschleunigungen null sind. Dann treten diese Verschiebungen und Beschleunigungen im Gleichungssystem nicht auf und auf eine Partitionierung in unbekannte und bekannte Anteile kann verzichtet werden. Der Vektor ${\displaystyle {\hat {u}}}$ mit den Unbekannten habe nach wie vor die Dimension m. Dann folgt aus der Gleichung ${\displaystyle \delta {\hat {u}}^{\top }[M{\hat {\ddot {u}}}+{\hat {r}}-{\hat {f}}]=0\quad \forall \;\delta {\hat {u}}\in \mathbb {R} ^{m}}$ (PvdA) unmittelbar die Bewegungsgleichung:

${\displaystyle M{\hat {\ddot {u}}}={\hat {f}}-{\hat {r}}\,.}$		(*)

Des Weiteren soll im Folgenden jede Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten, wie sie bei viskosen Materialien oder geschwindigkeitsabhängigen Kräften vorliegt, der Einfachheit halber vernachlässigbar sein.

Linearer Fall

Im linearen Fall hängen die Spannungen ${\displaystyle {\hat {T}}}$ linear von den Knotenverschiebungen (aber nach Voraussetzung nicht von den Geschwindigkeiten) ab:

${\displaystyle {\hat {T}}={\hat {T}}^{0}+C_{L}{\hat {E}}_{L}={\hat {T}}^{0}+C_{L}B_{L}{\hat {u}}\,.}$

Der Vektor ${\displaystyle {\hat {T}}^{0}}$ enthält Eigenspannungen und die Stoffmatrix ${\displaystyle C_{L}}$ ist bei Linearität von den Verzerrungen und damit von den Knotenverschiebungen unabhängig. Die Verzerrungen sind ebenfalls linear in den Verschiebungen ${\displaystyle ({\hat {E}}_{L}=B_{L}{\hat {u}})\,,}$ was auch für die virtuellen Verzerrungen gilt. Damit berechnen sich die Reaktionen zu

${\displaystyle {\hat {r}}=\int _{V}B_{L}^{\top }{\hat {T}}\,{\text{d}}V=\underbrace {\int _{V}B_{L}^{\top }{\hat {T}}^{0}\,{\text{d}}V} _{{\hat {r}}_{L}^{0}}+\underbrace {\int _{V}B_{L}^{\top }C_{L}B_{L}\,{\text{d}}V} _{K_{L}}{\hat {u}}={\hat {r}}_{L}^{0}+K_{L}{\hat {u}}}$

Die lineare Steifigkeitsmatrix K_L ist von den Verschiebungen unabhängig. Einsetzen in die Bewegungsgleichung ${\displaystyle M{\hat {\ddot {u}}}={\hat {f}}-{\hat {r}}}$ (*) liefert zu einer Zeit tⁿ⁺¹ die Bestimmungsgleichung für die Knotenverschiebungen:

${\displaystyle \rightarrow M{\hat {\ddot {u}}}^{n+1}+K_{L}{\hat {u}}^{n+1}={\hat {f}}^{n+1}-{\hat {r}}_{L}^{0}\,.}$

Diese lineare Gleichung mit von den Verzerrungen unabhängiger Massenmatrix ${\displaystyle M}$ und Steifigkeitsmatrix ${\displaystyle K_{L}}$ kann in den Modalraum übertragen werden, mit einem Resultat wie im Bild.

In dem im Newmark-beta-Verfahren die Beschleunigungen mit den Verschiebungen gemäß ${\displaystyle {\hat {\ddot {u}}}^{n+1}=p{\hat {u}}^{n+1}+{\hat {p}}^{n}}$ ausgedrückt werden, kann in jedem Zeitschritt die Verschiebung berechnet werden:

${\displaystyle (pM+K_{L}){\hat {u}}^{n+1}={\hat {f}}^{n+1}-{\hat {r}}_{L}^{0}-M{\hat {p}}^{n}\,.}$

Ist nur die Gleichgewichtslage mit ${\displaystyle {\hat {\ddot {u}}}={\hat {0}}}$ gesucht, ergeben sich die Verschiebungen aus

${\displaystyle K_{L}{\hat {u}}^{n+1}={\hat {f}}^{n+1}-{\hat {r}}_{L}^{0}\,.}$

Auch wenn im linearen Fall eine lineare Abhängigkeit der äußeren Kräfte ${\displaystyle {\hat {f}}}$ von den Knotenverschiebungen einfach zu berücksichtigen wäre, wird hiervon normalerweise kein Gebrauch gemacht.

Implizite Lösung nichtlinearer Probleme

Die Knotenreaktion ${\displaystyle {\hat {r}}}$ in der Bewegungsgleichung ${\displaystyle M{\hat {\ddot {u}}}={\hat {f}}-{\hat {r}}}$ (*) hängt im nichtlinearen Fall nichtlinear von den Knotenverschiebungen ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ab. Ursachen der Nichtlinearität können sein:

Materielle Nichtlinearität

Plastizität, nichtlineare Elastizität.

Verschiebungsabhängige Randbedingungen

Von der Verformung abhängende Kräfte, Körperkontakt.

Geometrische Nichtlinearität

Große Drehungen oder Verformungen, Knicken, Beulen.

Die Animation zeigt eine geometrisch nichtlineare, implizite Analyse eines beulenden, elastoplastischen Trägers.

Um die Knotenverschiebungen zu bestimmen, wird standardmäßig das Newton-Verfahren eingesetzt, das eine Linearisierung der Gleichung vorsieht. Linearisierung der Reaktionen ${\displaystyle {\hat {r}}}$ liefert im Punkt ${\displaystyle {\hat {u}}^{i}\,:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {r}}({\hat {u}}^{i}+\Delta {\hat {u}})=&\int _{V}B^{\top }({\hat {u}}^{i}+\Delta {\hat {u}}){\hat {T}}({\hat {u}}^{i}+\Delta {\hat {u}})\mathrm {d} V\\[-2ex]\approx &\underbrace {\int _{V}B^{i\top }{\hat {T}}^{i}\mathrm {d} V} _{{\hat {r}}^{i}}+\underbrace {\int _{V}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\hat {u}}}}\left.(B^{i\top }{\hat {T}}^{i})\right|_{{\hat {T}}^{i}={\text{const.}}}\mathrm {d} V} _{G^{i}}\Delta {\hat {u}}+\underbrace {\int _{V}B^{i\top }\overbrace {\frac {\mathrm {d} {\hat {T}}}{\mathrm {d} {\hat {E}}}} ^{C}\overbrace {\frac {\mathrm {d} {\hat {E}}}{\mathrm {d} {\hat {u}}}} ^{B^{i}}\mathrm {d} V} _{K^{i}}\Delta {\hat {u}}\\=&{\hat {r}}^{i}+(G^{i}+K^{i})\Delta {\hat {u}}\,.\end{aligned}}}$

Die mit dem Superskript ${\displaystyle (\cdot )^{i}}$ gekennzeichneten Größen können von den Verschiebungen ${\displaystyle {\hat {u}}^{i}}$ abhängen. Die B-Matrix tut das nur im geometrisch nichtlinearen Fall und nur in diesem Fall muss also die geometrische Steifigkeitsmatrix ${\displaystyle G^{i}}$ aufgestellt werden.

Bei verschiebungsabhängigen äußeren Kräften wird auch der Knotenkraftvektor ${\displaystyle {\hat {f}}}$ linearisiert

${\displaystyle {\hat {f}}({\hat {u}}^{i}+\Delta {\hat {u}})\approx {\hat {f}}({\hat {u}}^{i})+{\frac {\mathrm {d} {\hat {f}}}{\mathrm {d} {\hat {u}}}}\Delta {\hat {u}}=:{\hat {f}}^{i}+F^{i}\Delta {\hat {u}}\,,}$

was auf eine m×m Matrix Fⁱ führt. In dynamischen Systemen bewirkt das Verschiebungsinkrement auch ein Beschleunigungsinkrement: ${\displaystyle \Delta {\hat {\ddot {u}}}=p\Delta {\hat {u}}\,.}$ Einsetzen dieser Resultate in die Bewegungsgleichung ${\displaystyle M{\hat {\ddot {u}}}={\hat {f}}-{\hat {r}}}$ (*) liefert mit der Abkürzung ${\displaystyle K_{NL}=G^{i}+K^{i}-F^{i}\,:}$

${\displaystyle (pM+K_{NL}^{i})\Delta {\hat {u}}={\hat {f}}^{i}-{\hat {r}}^{i}-M{\hat {\ddot {u}}}^{i}=:{\hat {b}}_{I}^{i}\,.}$		(I)

Ist nur die Gleichgewichtslage mit ${\displaystyle {\hat {\ddot {u}}}={\hat {0}}}$ gesucht, reduziert sich das auf

${\displaystyle K_{NL}^{i}\Delta {\hat {u}}={\hat {f}}^{i}-{\hat {r}}^{i}=:{\hat {b}}_{II}^{i}\,.}$		(II)

Die Knotenverschiebungen zu einem Zeitpunkt ${\displaystyle t^{n+1}}$ werden aus den zur Zeit ${\displaystyle t^{n}}$ bekannten Knotenverschiebungen und -beschleunigungen anhand des folgenden Schemas berechnet. Das Schema kann auch im statischen Fall angewendet werden. Dort verschwinden zwar die Beschleunigungen und die Zeit hat lediglich eine ordnende Funktion für die aufeinander folgenden Gleichgewichtslagen. Auf das Schema hat das aber keinen Einfluss.

1. Die gesuchte Lösung ${\displaystyle {\hat {u}}^{n+1}}$ wird mit den bekannten Verschiebungen im letzten Inkrement ${\displaystyle {\hat {u}}^{n+1,0}={\hat {u}}^{n}}$ (oder dem Nullvektor) und der Iterationszähler mit i=0 initialisiert. In dynamischen Systemen wird die Massenmatrix ${\displaystyle M}$ bereitgestellt. Im Allgemeinen (hier nicht) werden die Randbedingungen in den Lösungsvektor eingetragen und in einen bekannten und einen unbekannten Teil partitioniert.
2. Die Matrix ${\displaystyle K_{NL}^{i}}$ und das Residuum ${\displaystyle {\hat {b}}_{I/II}^{i}}$ werden mit der vorliegenden Näherungslösung ${\displaystyle {\hat {u}}^{n+1,i}}$ aufgestellt.
3. Mit Gleichungen (I) oder (II) wird das Inkrement ${\displaystyle \Delta {\hat {u}}}$ berechnet.
4. Fallen geeignete Normen der Vektoren ${\displaystyle \Delta {\hat {u}}}$ und ${\displaystyle {\hat {b}}_{I/II}^{i}}$ unter eine vorgegebene Schranke, wird die Näherungslösung ${\displaystyle {\hat {u}}^{n+1,i}}$ akzeptiert und in den Lösungsvektor ${\displaystyle {\hat {u}}^{n+1}}$ übertragen und – falls gewünscht – die Beschleunigungen ${\displaystyle {\hat {\ddot {u}}}^{n+1}}$ berechnet. Den Elementen wird Gelegenheit gegeben ihre inneren Variablen zu aktualisieren (siehe #Tangentenoperator C). Der Zähler ${\displaystyle n}$ wird inkrementiert und in Schritt 1 fortgefahren oder die Analyse beendet.
5. Falls die Normen der Vektoren ${\displaystyle \Delta {\hat {u}}}$ oder ${\displaystyle {\hat {b}}_{I/II}^{i}}$ jedoch inakzeptabel sind, wird die Näherungslösung mittels ${\displaystyle {\hat {u}}^{n+1,i+1}={\hat {u}}^{n+1,i}+\Delta {\hat {u}}}$ aktualisiert, der Zähler ${\displaystyle i}$ inkrementiert und im Schritt 2 fortgefahren.

Explizite Lösung nichtlinearer Probleme

Im Fall der expliziten Zeitintegration ist die Bewegungsgleichung ${\displaystyle M{\hat {\ddot {u}}}={\hat {f}}-{\hat {r}}}$ (*) bereits die Bestimmungsgleichung für die einzige Unbekannte ${\displaystyle {\hat {\ddot {u}}}^{n+1}\,,}$ denn die Vektoren ${\displaystyle {\hat {r}}}$ und ${\displaystyle {\hat {f}}}$ werden aus zur Zeit ${\displaystyle t^{n}}$ bekannten Größen berechnet:

${\displaystyle M{\hat {\ddot {u}}}^{n+1}={\hat {f}}^{n}-{\hat {r}}^{n}\,.}$

Aus den Beschleunigungen werden die Geschwindigkeiten und Verschiebungen für die Berechnung der Reaktionskräfte ${\displaystyle {\hat {r}}}$ für das nächste Inkrement ermittelt, siehe explizite Zeitintegration im Vergleich zum Newmark-beta-Verfahren. Eine weitere Vereinfachung wird durch Diagonalisierung der Massenmatrix ${\displaystyle M}$ erreicht ( engl. „lumped mass matrix“ ), so dass

${\displaystyle {\hat {\ddot {u}}}^{n+1}=M^{-1}({\hat {f}}^{n}-{\hat {r}}^{n})}$

besonders schnell ausgewertet werden kann. Das ist auch nötig, denn dieses Verfahren ist nur unterhalb einer kritischen Zeitschrittweite ${\displaystyle \Delta t_{c}}$ stabil, die sich gemäß der Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung danach bemisst, wie lange ein Signal braucht, um von einem Knoten zum nächsten zu gelangen. Ist der minimale Knotenabstand ${\displaystyle l_{c}=10\,\mathrm {mm} \,,}$ berechnet sich bei Stahlbauteilen mit einem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E=200.000\,\mathrm {MPa} }$ (Megapascal) und einer Dichte ${\displaystyle \rho =7870\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$:

${\displaystyle \Delta t_{c}\leq {\frac {l_{c}}{c}}={\frac {l_{c}}{\sqrt {\frac {E}{\rho }}}}\approx 2\cdot 10^{-6}\mathrm {s} }$

worin ${\displaystyle c}$ die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit in Stahl ist. Bei diesen in der Praxis üblichen Werten liegt die kritische Zeitschrittweite also im Bereich von Mikrosekunden. Für Zehntelsekunden andauernde Bewegungen sind daher oftmals zehntausende Zeitschritte zu berechnen. Vorteilhaft ist, dass Nichtlinearitäten ohne Linearisierung berücksichtigt werden können, weshalb dieses Verfahren bei nichtlinearen, dynamischen und kurzzeitigen Vorgängen wie Crashtestsimulationen eingesetzt wird, siehe Bild. Ein weiterer Vorteil ist, dass der Aufwand für die Berechnung der Beschleunigungen nur linear mit der Dimension des Lösungsvektors ${\displaystyle {\hat {u}}}$ steigt, so dass sich dieses Verfahren auch für sehr große Probleme unter quasi statischen Bedingungen anbietet.

Formfunktionen N und ihre Ableitungen

Jedes Element modelliert ein von den Knoten aufgespanntes dreidimensionales Volumen des Körpers. Das Bild zeigt als Illustration ein acht knotiges Hexaeder-Element als Teilkörper eines Zahnrades. Die Koordinaten ${\displaystyle {\vec {X}}}$ der Punkte im Element werden mit Formfunktionen ${\displaystyle N^{i}}$ in Abhängigkeit von lokalen Koordinaten

${\displaystyle {\vec {\Theta }}={\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \end{pmatrix}}\in [-1,1]^{3}}$

zwischen den k Knoten des Elementes interpoliert:

${\displaystyle {\vec {X}}={\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}N^{i}({\vec {\Theta }}){\vec {X}}^{i}=N({\vec {\Theta }}){\hat {X}}\,,}$

Der 3k × 1 Vektor ${\displaystyle {\hat {X}}}$ enthält alle Komponenten der Knotenkoordinaten ${\displaystyle {\vec {X}}^{1\ldots k}}$

${\displaystyle {\hat {X}}={\begin{pmatrix}X^{1}&Y^{1}&Z^{1}&X^{2}&Y^{2}&Z^{2}&\ldots &X^{k}&Y^{k}&Z^{k}\end{pmatrix}}^{\top }}$

und die 3 × 3k Matrix

${\displaystyle N={\begin{pmatrix}N^{1}&0&0&N^{2}&0&0&\ldots &N^{k}&0&0\\0&N^{1}&0&0&N^{2}&0&\ldots &0&N^{k}&0\\0&0&N^{1}&0&0&N^{2}&\ldots &0&0&N^{k}\end{pmatrix}}}$

die Formfunktionen ${\displaystyle N^{1\ldots k}\,.}$ Das Argument ${\displaystyle {\vec {\Theta }}}$ der Formfunktionen wurde hier der Übersichtlichkeit halber weggelassen und das soll auch im Folgenden geschehen.

Die Ableitung der Formfunktionen nach den globalen Koordinaten ${\displaystyle X,\,Y,\,Z}$ wird mit der Jacobi-Matrix ${\displaystyle J}$ berechnet:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{,\xi }^{i}\\N_{,\eta }^{i}\\N_{,\zeta }^{i}\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}X_{,\xi }&Y_{,\xi }&Z_{,\xi }\\X_{,\eta }&Y_{,\eta }&Z_{,\eta }\\X_{,\zeta }&Y_{,\zeta }&Z_{,\zeta }\end{pmatrix}} _{J^{\top }}{\begin{pmatrix}N_{,X}^{i}\\N_{,Y}^{i}\\N_{,Z}^{i}\end{pmatrix}}\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}N_{,X}^{i}\\N_{,Y}^{i}\\N_{,Z}^{i}\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}\xi _{,X}&\eta _{,X}&\zeta _{,X}\\\xi _{,Y}&\eta _{,Y}&\zeta _{,Y}\\\xi _{,Z}&\eta _{,Z}&\zeta _{,Z}\end{pmatrix}} _{J^{\top -1}}{\begin{pmatrix}N_{,\xi }^{i}\\N_{,\eta }^{i}\\N_{,\zeta }^{i}\end{pmatrix}}\,.}$

Ein Index ${\displaystyle (\cdot )_{,x}}$ nach einem Komma bedeutet hier wie im Folgenden eine Ableitung nach der Variablen ${\displaystyle x\,.}$ Die Matrix ${\displaystyle J^{\top -1}}$ ist die transponiert inverse Jacobimatrix. Weil die Invertierung der Jacobimatrix bei der Koordinatentransformation immer gelingt und die Ableitung nach den lokalen Koordinaten ${\displaystyle \xi ,\,\eta ,\,\zeta }$ analytisch machbar ist, ergeben sich aus der rechten Gleichung die gesuchten Ableitungen nach den globalen Koordinaten. Mit der Determinante der Jacobimatrix werden die für die Integration benötigten vektoriellen Oberflächenelemente und Volumenformen umgerechnet:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {A}}=&{\vec {\varphi }}_{,X}\times {\vec {\varphi }}_{,Y}\,\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y=\mathrm {det} (J)J^{\top -1}{\vec {\varphi }}_{,\xi }\times {\vec {\varphi }}_{,\eta }\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \eta \\\mathrm {d} V=&\mathrm {d} X\,\mathrm {d} Y\,\mathrm {d} Z=\mathrm {det} (J)\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} \eta \,\mathrm {d} \zeta \,.\end{aligned}}}$

Hier wurde beispielhaft eine durch die Koordinaten X und Y beschreibbare Fläche ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(X,Y)}$ angenommen.

Verschiebungen und ihr Gradient H

Der Verschiebungsvektor wird in isoparametrischen Elementen analog zum Ortsvektor interpoliert:

${\displaystyle {\vec {u}}={\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}N^{i}{\vec {u}}^{i}=N{\hat {u}}}$

Der 3k × 1 Vektor ${\displaystyle {\hat {u}}}$ enthält die Verschiebungskomponenten ${\displaystyle u,\,v}$ und ${\displaystyle w}$ in x-, y- bzw. z-Richtung an den Knoten

${\displaystyle {\hat {u}}={\begin{pmatrix}u^{1}&v^{1}&w^{1}&u^{2}&v^{2}&w^{2}&\ldots &u^{k}&v^{k}&w^{k}\end{pmatrix}}^{\top }}$

Es wird noch der Verschiebungsgradient erstellt

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathrm {GRAD} ({\vec {u}})={\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}={\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{,X}&{\vec {u}}_{,Y}&{\vec {u}}_{,Z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{,X}&u_{,Y}&u_{,Z}\\v_{,X}&v_{,Y}&v_{,Z}\\w_{,X}&w_{,Y}&w_{,Z}\end{pmatrix}}\,.}$

Die Ableitungen der Verschiebungskomponenten werden mit den abgeleiteten Formfunktionen berechnet, z. B.

${\displaystyle {\vec {u}}_{,X}={\begin{pmatrix}u_{,X}\\v_{,X}\\w_{,X}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}N_{,X}^{i}{\vec {u}}^{i}=N_{,X}{\hat {u}}\,.}$

In der Galerkin-Methode werden die virtuellen Verschiebungen, die im Prinzip von d’Alembert vorkommen, genauso behandelt wie die Knotenverschiebungen:

${\displaystyle \delta {\vec {u}}={\begin{pmatrix}\delta u\\\delta v\\\delta w\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}N^{i}\delta {\vec {u}}^{i}=N\delta {\hat {u}}\,.}$

Verzerrungsverschiebungsmatrix B

Der symmetrische Green-Lagrange-Verzerrungstensor ergibt sich aus dem Verschiebungsgradient gemäß

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {H} +\mathbf {H} ^{\top }+\mathbf {H} ^{\top }\cdot \mathbf {H} )\,.}$

Seine sechs unabhängigen Komponenten werden in einen Vektor eingetragen (Voigtsche Notation):

${\displaystyle {\hat {E}}:={\begin{pmatrix}E_{xx}&E_{yy}&E_{zz}&2E_{xy}&2E_{yz}&2E_{xz}\end{pmatrix}}^{\top }\,.}$

Die Verzerrungsverschiebungsmatrix ${\displaystyle B}$ ist die Ableitung des Vektors ${\displaystyle {\hat {E}}}$ nach den Knotenverschiebungen:

${\displaystyle B={\frac {\mathrm {d} {\hat {E}}}{\mathrm {d} {\hat {u}}}}\in \mathbb {R} ^{6\times 3k}\quad \leftrightarrow \quad B_{ij}={\frac {{\textrm {d}}E_{i}}{{\textrm {d}}{\hat {u}}_{j}}}\quad {\text{für}}\quad i=1,2,...,6\quad {\text{und}}\quad j=1,2,...,3k\,.}$

Die differenziellen virtuellen Verzerrungen ${\displaystyle \delta {\hat {E}}}$ ergeben sich dann mit der B-Matrix aus den virtuellen Knotenverschiebungen ${\displaystyle \delta {\hat {u}}}$:

${\displaystyle \delta {\hat {E}}=B\delta {\hat {u}}\,.}$

Tangentenoperator C

Die Spannungen werden wie die Dehnungen in einen Vektor eingetragen

${\displaystyle {\hat {T}}={\begin{pmatrix}{\tilde {T}}_{xx}&{\tilde {T}}_{yy}&{\tilde {T}}_{zz}&{\tilde {T}}_{xy}&{\tilde {T}}_{yz}&{\tilde {T}}_{xz}\end{pmatrix}}^{\top }\,.}$

Auf Elementebene muss eine Materialroutine ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ diese Spannungen aus Spannungen ${\displaystyle {\hat {T}}^{n}}$ im letzten Zeitschritt ${\displaystyle t^{n}\,,}$ einem Verzerrungsinkrement ${\displaystyle \Delta {\hat {E}}}$ und eventuell weiteren inneren Variablen ${\displaystyle V^{n}}$ des Materialmodells berechnen:

${\displaystyle {\hat {T}}^{i}={\mathcal {T}}({\hat {T}}^{n},\Delta {\hat {E}},V^{n})\,.}$

Bei linearer Elastizität sind die Spannungen linear in den Verzerrungen ${\displaystyle {\hat {T}}^{i}={\hat {T}}^{n}+C_{L}\Delta {\hat {E}}\,.}$ Die 6×6 Matrix ${\displaystyle C_{L}}$ ist dann die von den Verzerrungen unabhängige Elastizitätsmatrix. Für die Anwendung des Newton-Verfahrens bei der Berechnung von Problemen mit nichtlinearem Materialverhalten muss die Ableitung der Spannungen nach den Verzerrungen bereitgestellt werden, was auf den konsistenten Tangentenoperator ${\displaystyle C}$ führt, der ebenfalls eine 6×6 Matrix ist. Bei linearer Elastizität ist ${\displaystyle C=C_{L}\,.}$ Der Tangentenoperator ergibt sich aus der Ableitung der Spannungen nach den Verzerrungen an der Stelle der aktuellen Spannungen ${\displaystyle {\hat {T}}^{i}}$ (und inneren Variablen, deren aktueller Wert bei der Berechnung der Spannungen anfällt):

${\displaystyle C_{NL}H=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {T}}({\hat {T}}^{i},sH,V^{i})-{\hat {T}}^{i}}{s}}\quad \forall \;H\in \mathbb {R} ^{6}\quad \rightarrow \;C=C_{NL}\,.}$

Dann kann

${\displaystyle C={\frac {\mathrm {d} {\hat {T}}^{i}}{\mathrm {d} {\hat {E}}}}}$

geschrieben werden. Die Konsistenz bezieht sich darauf, dass der Tangentenoperator aus der Ableitung der Materialroutine ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ und nicht im analytischen Materialmodell berechnet wird, das durch ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ numerisch umgesetzt wird.

Geometrische Steifigkeitsmatrix G

Die Geometrische Steifigkeitsmatrix

${\displaystyle G^{i}:=\int _{V}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\hat {u}}}}\left.(B^{i\top }{\hat {T}}^{i})\right|_{{\hat {T}}^{i}={\text{const.}}}\mathrm {d} V=\int _{V}{\begin{pmatrix}D(g_{11})&\ldots &D(g_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\D(g_{k1})&\ldots &D(g_{kk})\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} V}$

hat eine Blockstruktur mit Blöcken aus Diagonalmatrizen

${\displaystyle D(g_{mn}):={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}g_{mn}&0&0\\0&g_{mn}&0\\0&0&g_{mn}\end{pmatrix}}}$

und den Diagonalgliedern

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{mn}=g_{nm}=&{\tilde {T}}_{1}^{i}N_{,X}^{m}N_{,X}^{n}+{\tilde {T}}_{2}^{i}N_{,Y}^{m}N_{,Y}^{n}+{\tilde {T}}_{3}^{i}N_{,Z}^{m}N_{,Z}^{n}+{\tilde {T}}_{4}^{i}(N_{,X}^{m}N_{,Y}^{n}+N_{,Y}^{m}N_{,X}^{n})\\&+{\tilde {T}}_{5}^{i}(N_{,Y}^{m}N_{,Z}^{n}+N_{,Z}^{m}N_{,Y}^{n})+{\tilde {T}}_{6}^{i}(N_{,X}^{m}N_{,Z}^{n}+N_{,Z}^{m}N_{,X}^{n})\end{aligned}}}$