Stone-Čech-Kompaktifizierung

Jeder vollständig reguläre Raum kann durch die Stone-Čech-Kompaktifizierung kompaktifiziert werden. Dafür gibt es eine Reihe verschiedener Konstruktionen und der entstehende Raum ${\displaystyle \beta X}$ hat viele Eigenschaften, die ihn auszeichnen, z. B.

• ${\displaystyle \beta X}$ ist, falls diesem Verband angehörig, maximal im Verband der Kompaktifizierungen, die ${\displaystyle X}$ als dichten Unterraum enthalten
• jede beschränkte Funktion ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ lässt sich nach ${\displaystyle \beta X}$ fortsetzen

Einpunktkompaktifizierung (Alexandroff-Kompaktifizierung)

Der russische Mathematiker Paul Alexandroff hat eine Konstruktion angegeben, die für einen beliebigen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ zu einer kompakten Erweiterung führt:

Es wird ein einzelner neuer Punkt ${\displaystyle \omega }$ zu ${\displaystyle X}$ hinzugenommen. Die Topologie, also die offenen Teilmengen von ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\omega \}}$, besteht dann aus den gegebenen offenen Teilmengen von ${\displaystyle X}$ und den Komplementen der kompakten Mengen, die in ${\displaystyle X}$ liegen.

Die Einbettung ${\displaystyle \varphi \colon X\rightarrow X^{*}}$ wird Alexandroff-Erweiterung oder auch Alexandroff-Kompaktifizierung von ${\displaystyle X}$ genannt. Sie hat die meisten der oben geforderten Eigenschaften. Dabei gilt aber: ${\displaystyle X^{*}}$ ist genau dann ein Hausdorff-Raum, wenn ${\displaystyle X}$ lokalkompakt und Hausdorffsch ist. Insbesondere ist ${\displaystyle X^{*}}$ für lokalkompakte Hausdorffräume normal (wie jeder kompakte Hausdorff-Raum) und somit nach dem Lemma von Urysohn vollständig regulär, was sich auf den ursprünglichen Raum ${\displaystyle X}$ überträgt: Jeder lokalkompakte Hausdorff-Raum ist vollständig regulär.

Konkrete Beispiele

• Die Einpunktkompaktifizierung der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ entspricht topologisch der Struktur eines Kreises, also einer ${\displaystyle S^{1}}$. Die Einpunktkompaktifizierung der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist die Riemannsche Zahlenkugel, deren Struktur der Oberfläche einer Kugel, also einer 2-Sphäre ${\displaystyle S^{2}}$, entspricht. Allgemein ist die Einpunktkompaktifizierung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ homöomorph zur n-dimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$.
• Während die Einpunktkompaktifizierung der Menge ${\displaystyle \mathbb {N} }$ der natürlichen Zahlen tatsächlich nur einen weiteren Punkt ${\displaystyle \aleph _{0}=Card(\omega )}$ (abzählbar „Unendlich“) enthält, hat die Stone-Čech-Kompaktifizierung die Mächtigkeit ${\displaystyle \beth _{2}=2^{2^{\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{1}}=\aleph _{2}}$ unter Zuhilfenahme der Gültigkeit der Kontinuumshypothese.
• Für die erste überabzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \omega _{1}}$ mit der Ordnungstopologie ist ${\displaystyle \omega _{1}+1}$ zugleich Alexandroff-Kompaktifizierung und Stone-Čech-Kompaktifizierung.

Satz von Gelfand-Kolmogoroff

Dieser Satz ist ein Beispiel dafür, dass man direkt mit Hilfe der Stone-Čech-Kompaktifizierung Aussagen über einen Raum erhält.

${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}(X)}$ sei der Ring der stetigen Funktionen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (mit punktweise definierter Addition und Multiplikation) und ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}^{*}(X)}$ der Unterring der beschränkten Funktionen.

• (Gelfand-Kolmogoroff): In jedem Tychonoff-Raum ${\displaystyle X}$ gibt es eine 1-1-Zuordnung zwischen den maximalen Idealen von ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}^{*}(X)}$ und von ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}(X)}$. In beiden Fällen "fixiert" jedes maximale Ideal genau einen Punkt ${\displaystyle p\in \beta (X)}$.

Genauer gilt: in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}^{*}(X)}$ gibt es für jedes maximale Ideal ${\displaystyle \textstyle I_{p}}$ (genau) einen Punkt ${\displaystyle p\in \beta (X)}$ mit ${\displaystyle \textstyle I_{p}=\left\{f\in {\mathcal {C}}^{*}(X)|f^{\beta }(p)=0\right\}}$, wobei ${\displaystyle f^{\beta }}$ die stetige Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle \beta X}$ ist.

Für ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}(X)}$ lautet die entsprechende Beschreibung für maximale Ideale: ${\displaystyle \textstyle I_{p}=\left\{f\in {\mathcal {C}}(X)|p\in cl_{\beta X}Z_{X}(f)\right\}}$, wobei ${\displaystyle Z_{X}(f)=\left\{x\in X|f(x)=0\right\}}$ und ${\displaystyle cl_{\beta X}}$ für den Abschluss in ${\displaystyle \beta X}$ steht.