Reelle Betragsfunktion

Den absoluten Betrag einer reellen Zahlkonstanten erhält man durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengeraden bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null.

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ gilt:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}\ &-x&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x<0,\\\ &\;\;\;x&&\mathrm {\;\;f{\ddot {u}}r\;\;} x\geq 0.\\\end{cases}}}$

Komplexe Betragsfunktion

Für eine komplexe Zahl ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ mit reellen Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ definiert man

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}={\sqrt {(x+\mathrm {i} y)\cdot (x-\mathrm {i} y)}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$,

wobei ${\displaystyle {\bar {z}}:=x-\mathrm {i} y}$ die komplex Konjugierte von ${\displaystyle z}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle z}$ reell (d. h. ${\displaystyle y=\mathrm {Im} (z)=0}$, also ${\displaystyle z=x=\mathrm {Re} (z)}$), so geht diese Definition in

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

über, was mit der Definition des Betrages einer reellen Zahl ${\displaystyle x}$ übereinstimmt.

Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls dem Abstand des zur Zahl ${\displaystyle z}$ gehörenden Punktes vom sogenannten Nullpunkt.

Gleichungen mit Absolutbetrag

Aus ${\displaystyle |a|=b}$ folgt für reelle Zahlen ${\displaystyle a=b}$ oder ${\displaystyle a=-b}$.

Ist jedoch ${\displaystyle b<0}$, dann gibt es kein ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ und kein ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle |a|=b}$.

In einem weiteren Beispiel seien alle Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gesucht, welche die Gleichung ${\displaystyle |x+3|=5}$ erfüllen.

Man rechnet wie folgt:

${\displaystyle |x+3|=5}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x+3=5{\text{ oder }}x+3=-5}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x=5-3{\text{ oder }}x=-5-3}$

${\displaystyle \Leftrightarrow x=2{\text{ oder }}x=-8}$

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen, nämlich 2 und −8.

Ungleichungen mit Absolutbetrag

Für Ungleichungen können die folgenden Äquivalenzen verwendet werden:

${\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b{\text{ oder }}b\leq a}$

Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle |x-3|\leq 9}$.

Dann rechnet man:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -9+3\leq x\leq 9+3}$

${\displaystyle \Leftrightarrow -6\leq x\leq 12}$

Als Lösung erhält man also alle ${\displaystyle x}$ aus dem Intervall ${\displaystyle [-6,12]}$.

Allgemein gilt für reelle Zahlen ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle |x-m|\leq r\iff x\in [m-r,m+r]}$.

Nullstelle

Die einzige Nullstelle der beiden Betragsfunktionen ist 0, das heißt ${\displaystyle |z|=0}$ gilt genau dann, wenn ${\displaystyle z=0}$ gilt. Dies ist somit eine andere Terminologie der zuvor erwähnten Definitheit.

Verhältnis zur Vorzeichenfunktion

Für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ gilt ${\displaystyle z=|z|\cdot \operatorname {sgn}(z)}$, wobei ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Da die reelle nur die Einschränkung der komplexen Betragsfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist, gilt die Identität auch für die reelle Betragsfunktion. Die Ableitung der auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ eingeschränkten Betragsfunktion ist die auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ eingeschränkte Vorzeichenfunktion.

Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit

Die reelle Betragsfunktion ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ und die komplexe ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ sind auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig. Aus der Subadditivität der Betragsfunktion beziehungsweise aus der (umgekehrten) Dreiecksungleichung folgt, dass die beiden Betragsfunktionen sogar Lipschitz-stetig sind mit Lipschitz-Konstante ${\displaystyle L=1}$:

${\displaystyle {\bigl |}|z|-|w|{\bigr |}\leq |z-w|}$.

Die reelle Betragsfunktion ist an der Stelle ${\displaystyle 0}$ nicht differenzierbar und somit auf ihrem Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {R} }$ keine differenzierbare Funktion. Sie ist jedoch fast überall differenzierbar, was auch aus dem Satz von Rademacher folgt. Für ${\displaystyle x\neq 0}$ ist die Ableitung der reellen Betragsfunktion die Vorzeichenfunktion ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$. Als stetige Funktion ist die reelle Betragsfunktion über beschränkte Intervalle integrierbar; eine Stammfunktion ist ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn}(x)}$.

Die komplexe Betragsfunktion ${\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ ist nirgends komplex differenzierbar, denn die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind nicht erfüllt.

Archimedischer Betrag

Beide Betragsfunktionen, die reelle und die komplexe, werden archimedisch genannt, weil es eine ganze Zahl ${\displaystyle n}$ gibt mit ${\displaystyle |n|>1}$. Daraus folgt aber auch, dass für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle m>1}$ ebenfalls ${\displaystyle |m|>1}$ ist.

Nützliche Identitäten

Seien ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$. Dann gilt

• ${\displaystyle |t|=t\operatorname {sgn} (t)}$
• ${\displaystyle |t-s|=-2\min(s,t)+s+t}$
• ${\displaystyle |t-s|=2\max(s,t)-s-t}$

Betragsfunktion für Körper

Definition

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion ${\displaystyle \varphi }$ von einem Integritätsbereich ${\displaystyle D}$ in die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ folgende Bedingungen erfüllt:

	${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$	(0)	Nicht-Negativität
	${\displaystyle \varphi (x)=0\iff x=0}$	(1)	Definitheit
			(0) und (1) zusammen nennt man positive Definitheit
	${\displaystyle \varphi (x\cdot y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y)}$	(2)	Multiplikativität, absolute Homogenität
	${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)}$	(3)	Subadditivität, Dreiecksungleichung

Die Fortsetzung auf den Quotientenkörper ${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}$ von ${\displaystyle D}$ ist wegen der Multiplikativität eindeutig.

Bemerkung

Eine Betragsfunktion ${\displaystyle \varphi }$ für einen Körper ist eine Bewertung ${\displaystyle \varphi }$ dieses Körpers.

Ist ${\displaystyle \varphi (n)\leq 1}$ für alle natürlichen ${\displaystyle n:=\underbrace {1+\dotsb +1} _{n{\text{-mal}}}}$, dann nennt man den Betrag (oder die Bewertung) nichtarchimedisch.

Der Betrag ${\displaystyle \varphi (x)=1}$ für alle ${\displaystyle x\neq 0}$ (ist nichtarchimedisch und) wird trivial genannt.

Bei nichtarchimedischen Beträgen (oder Bewertungen) gilt

${\displaystyle \varphi (x+y)\leq \max(\varphi (x),\varphi (y))}$

(3’)

die verschärfte Dreiecksungleichung.

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

Norm

Die Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen kann durch die Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden. Eine solche Funktion wird Norm genannt. Sie ist aber nicht eindeutig bestimmt.

Pseudobetrag