Als Korrelationsungleichungen werden eine Gruppe von mathematischen Ungleichungen bezeichnet, welche den Begriff der positiven Korrelation auf partiell geordnete Mengen (POSETs) und distributive Verbände übertragen. Sie haben darüber hinaus eine wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation und berühren das mathematische Teilgebiet der Theorie der stochastischen Ordnungen.

Die Entwicklung wurde angestoßen durch die FKG-Ungleichung aus dem Jahr 1971, benannt nach C. M. Fortuin, Jean Ginibre und P. W. Kasteleyn, welche auf verschiedensten Gebieten Anwendung gefunden hat, unter anderem auf den Gebieten statistische Mechanik, Partikelsysteme, Kombinatorik und Perkolationstheorie. Eine frühere Version dieser Ungleichung für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen wurde 1960 von Theodore Edward Harris bewiesen, wurde jedoch zunächst nicht von Mathematikern anderer Disziplinen rezipiert und erst durch die Veröffentlichung von Fortuin, Kasteleyn und Ginibre bekannt. In diesem Zusammenhang spielt der Begriff des assoziierten Maßes (auch Maß mit positiven Korrelationen) eine Rolle.

Ausgehend von der FKG-Ungleichung wurden weitere ähnliche Ungleichungen gefunden, zum Beispiel die Holley-Ungleichung nach Richard Holley im Jahr 1974, oder die sehr allgemeine Vier-Funktionen-Ungleichung von Rudolf Ahlswede und David E. Daykin aus dem Jahre 1978, aus der die anderen genannten Ungleichungen folgen.

Assoziierte Maße

Der Begriff des assoziierten Maßes wurde 1967 von J. D. Esary, Frank Proschan und D. W. Walkup eingeführt. Wegen der Analogie zu positiven Korrelationen von Zufallsvariablen wird von manchen Autoren auch die Bezeichnung Maß mit positiven Korrelationen verwendet.

Ein endliches Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle (X,{\mathfrak {B}})}$, wobei ${\displaystyle X}$ ein halbgeordneter topologischer Raum sei, heißt assoziiert, falls

${\displaystyle \int fg\;\mathrm {d} \mu \geq \int f\mathrm {d} \mu \cdot \int g\mathrm {d} \mu }$

für alle beschränkten, stetigen, monoton wachsenden Funktionen ${\displaystyle f,g}$ von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gilt.

Die FKG-Ungleichung

Die FKG-Ungleichung, benannt nach C. M. Fortuin, J. Ginibre und P. W. Kasteleyn (1971), ist ursprünglich eine Korrelationsungleichung auf distributiven Verbänden. Sie ist ein fundamentales Werkzeug auf den Gebieten der statistischen Mechanik und der probabilistischen Kombinatorik (speziell auf dem Gebiet der Zufallsgraphen.) Sie besagt übertragen auf ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Setting in etwa, dass wachsende Ereignisse miteinander positiv korreliert sind.

Die Harris-Ungleichung

Die Harris-Ungleichung ist im Prinzip die FKG-Ungleichung für Produktmaße, benannt nach Theodore E. Harris, welcher sie 1960 beim Studium von Perkolationen in der Ebene gefunden hat.

Wenn ${\displaystyle X}$ eine totalgeordnete Menge ist, dann ist die Log-Supermodularität automatisch für jedes Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle X}$ erfüllt.

Es gilt zum Beispiel, dass für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, und monoton wachsende quadratintegrierbaren Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)\,d\mu (x)\geq \int _{\mathbb {R} }f(x)\,d\mu (x)\,\int _{\mathbb {R} }g(x)\,d\mu (x),}$

gilt. Dies folgt aus

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]\,d\mu (x)\,d\mu (y)\geq 0}$

(die Terme in den eckigen Klammern haben das jeweils gleiche Vorzeichen.)

Die Log-Supermodularität ist auch automatisch erfüllt, wenn der Verband ein Produkt totalgeordneter Verbände ist, ${\displaystyle X=X_{1}\times \dots \times X_{n}}$, und ${\displaystyle \mu =\mu _{1}\otimes \dots \otimes \mu _{n}}$ ein Produktmaß auf ${\displaystyle X}$. In der Anwendung ist ${\displaystyle \mu }$ häufig die (Produkt-)Verteilung von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen auf unabhängigen Kopien ${\displaystyle X_{i}}$ eines Wahrscheinlichkeitsraumes.

Sei ${\displaystyle E}$ eine endliche Indexmenge. Sei ${\displaystyle X=\prod _{e\in E}\{0,1\}}$ versehen mit der koordinatenweisen Ordnung ${\displaystyle \leq }$ und mit den Verbands-Operationen:

${\displaystyle \xi \vee \eta }$ sei für alle ${\displaystyle \xi ,\eta \in X}$, ${\displaystyle e\in E}$ definiert über ${\displaystyle \xi (e)\vee \eta (e):=\max\{\xi (e),\eta (e)\}}$,

sowie ${\displaystyle \xi \wedge \eta }$ entsprechend über ${\displaystyle \xi (e)\wedge \eta (e):=\min\{\xi (e),\eta (e)\}}$.

Mit diesen Operationen ist ${\displaystyle X}$ eine Boolesche Algebra.

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle (X,\wp (X))}$. Dann schreibt sich die FKG-Ungleichung

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mu }fg\geq (\mathbf {E} _{\mu }f)(\mathbf {E} _{\mu }g)}$

für alle monoton wachsenden ${\displaystyle f,g}$ für die die Erwartungswerte existieren, wobei ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mu }}$ den Erwartungswert bezüglich ${\displaystyle \mu }$ bezeichne.

Ein Ereignis ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ heißt entsprechend wachsend, wenn ${\displaystyle \mathbb {I} _{A}(x)\leq \mathbb {I} _{A}(y)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in X}$ mit ${\displaystyle x\leq y}$. (Und ein Ereignis heißt fallend, wenn das Komplement ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ wachsend ist.)

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ wachsende Ereignisse, so gilt

${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu }(A\cap B)\geq \mathbf {P} _{\mu }(A)\mathbf {P} _{\mu }(B).}$

Ein Beweis der Harris-Ungleichung, der auf dem hier verwendeten Doppelintegral-Trick auf ${\displaystyle \{0,1\}}$ beruht, findet sich in Grimmett 1999.

Die Holley-Ungleichung

Diese von Richard Holley 1974 entdeckte und gelegentlich als Holley-Ungleichung (englisch Holley inequality) bezeichnete Ungleichung besagt: Seien ${\displaystyle \mu _{1}}$ und ${\displaystyle \mu _{2}}$ zwei strikt positive Verteilungen auf einem endlichen distributiven Verband ${\displaystyle X}$, welche

${\displaystyle \mu _{1}(\{x\wedge y\})\mu _{2}(\{x\vee y\})\geq \mu _{1}(\{x\})\mu _{2}(y\})}$ für alle ${\displaystyle x,y\in X}$

erfüllen. Dann gilt

${\displaystyle \int f\;\mathrm {d} \mu _{2}\geq \int f\;\mathrm {d} \mu _{1}}$.

für alle monoton wachsende integrierbaren Funktionen ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle X}$. Dies ist gleichbedeutend damit, dass ${\displaystyle \mu _{2}}$ größer als ${\displaystyle \mu _{1}}$ bezüglich der gewöhnlichen stochastischen Ordnung ist. Thomas Liggett hat einen Beweis für Räume der Form ${\displaystyle \Omega =\prod _{s\in S}\{0,1\}}$, welcher auf der Kopplung zweier Markow-Ketten in stetiger Zeit mit ${\displaystyle \mu _{1}}$ und ${\displaystyle \mu _{2}}$ als stationären Verteilungen beruht. Er gibt darüber hinaus an, wie der Beweis auf abzählbare Produkträume zu erweitern wäre.

Alternative Voraussetzung für die FKG-Ungleichung

Sei ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ versehen mit der koordinatenweisen Halbordnung. Für eine Verteilung ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ist folgende Eigenschaft oft leichter zu überprüfen als die Log-Supermodularität:

Fixiert man eine Koordinate ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,d\}}$ und zwei Konfigurationen ${\displaystyle \varphi }$ und ${\displaystyle \psi }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ bezüglich der anderen Koordinaten, so dass ${\displaystyle \varphi _{j}\geq \psi _{j}}$ for all ${\displaystyle w\not =v}$, die auf ${\displaystyle \mu }$ bedingte Verteilung von ${\displaystyle \varphi _{i}}$ gegeben ${\displaystyle \{\varphi (j):j\not =i\}}$ ist stochastisch größer als die auf ${\displaystyle \mu }$ bedingte Verteilung von ${\displaystyle \psi }$ gegeben ${\displaystyle \{\psi _{j}:j\not =i\}}$.

Erfüllt ${\displaystyle \mu }$ diese Eigenschaft, dann ist ${\displaystyle \mu }$ assoziiert.

Die Vier-Funktionen-Ungleichung

Die im Jahre 1978 vorgelegte Vier-Funktionen-Ungleichung (englisch Ahlswede–Daykin inequality oder auch Four Functions Theorem (FFT)) lässt sich wie folgt formulieren: Seien ${\displaystyle f_{1},f_{2},g_{1},g_{2}}$ nichtnegative reellwertige Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, welche folgende Bedingung erfüllen:

${\displaystyle f_{1}(x)f_{2}(y)\leq g_{1}(x\vee y)g_{2}(x\wedge y)}$ für alle ${\displaystyle x,y}$

Dann gilt für jedes log-supermodulare Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f_{1}(x)\mathrm {d} \mu (x)\int _{\mathbb {R} ^{d}}f_{2}(x)\mathrm {d} \mu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}g_{1}(x)\mathrm {d} \mu (x)\int _{\mathbb {R} ^{d}}g_{2}(x)\mathrm {d} \mu (x)}$

Es lässt sich zeigen, dass aus der Vier-Funktionen-Ungleichung Holleys Ungleichung folgt, aus der wiederum die FKG-Ungleichung folgt.

Einzelnachweise

1. ↑ Rinott und Saks, S. 332.
2. ↑ Grimmet, S. 11.
3. ↑ Fortuin, Kasteleyn, Ginibre, 1971, S. 89.
4. ↑ Ian Anderson: Combinatorics of Finite Sets. 1987, S. 87 ff.
5. ↑ Béla Bollobás: Combinatorics. 1986, S. 143 ff.
6. ↑ Müller, Stoyan, S. 122.
7. ↑ Liggett, S. 79.
8. ↑ Fortuin, Kasteleyn und Ginibre, S. 89.
9. ↑ Harris, S. 13–20.
10. ↑ Fishburn: FKG inequality.
11. ↑ Liggett, S. 77.
12. ↑ Liggett, S. 79.
13. ↑ Rinott und Saks, S. 333.

Anmerkungen

1. ↑ Dabei sollen Halbordnung und Topologie miteinander verträglich sein, d. h. ${\displaystyle \{(x,y)\in X\times X\colon x\leq y\}}$ sei abgeschlossen. Für diskrete Räume ist dies der Fall.
2. ↑ Man vergleiche hierzu den Artikel Probabilistic method in der englischsprachigen Wikipedia.
3. ↑ Aus der Holley-Ungleichung lässt sich die FKG-Ungleichung durch geschicktes Einsetzen folgern.

Literatur

• Rudolf Ahlswede, David E. Daykin: An inequality for the weights of two families of sets, their unions and intersections. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Band 43, 1978, S. 183–185 (MR0491189). 
• Ian Anderson: Combinatorics of Finite Sets. Clarendon Press, Oxford 1987, ISBN 0-19-853367-5 (MR0892525). 
• Béla Bollobás: Combinatorics. Set systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability. Cambridge University Press, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney 1986, ISBN 0-521-33703-8 (MR0866142). 
• C. M. Fortuin, P.W. Kasteleyn, J. Ginibre: Correlation inequalities on some partially ordered sets. In: Comm. Math. Phys. Nr. 22, 1971, MR0309498, ISSN 0010-3616, S. 89–103.
• P.C. Fishburn: FKG inequality. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• P.C. Fishburn: Correlation inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• H.-O. Georgii, O. Haggstrom, C. Maes: The random geometry of equilibrium phases. In: Phase transitions and critical phenomena. Nr. 18, 2001, Academic Press, San Diego, CA, MR2014387, S. 1–142.
• G. R. Grimmett: Percolation. Second edition. Springer-Verlag, New York 1999, MR1707339, ISBN 3-540-64902-6.
• T. E. Harris: A lower bound for the critical probability in a certain percolation. In: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Nr. 56, 1960, MR0115221, S. 13–20.
• R. Holley: Remarks on the FKG inequalities. In: Communications in Mathematical Physics Nr. 36, 1974, MR0341552, ISSN 0010-3616, S. 227–231.
• Thomas M. Liggett: Interacting Particle Systems. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 3-540-96069-4.
• R. Lyons: Phase transitions on nonamenable graphs In: J. Math. Phys. Nr. 41, 2000, MR1757952, S. 1099–1126.
• S. Sheffield: Random surfaces. In: Asterisque, Nr. 304, 2005, MR2251117.
• A. Müller and D. Stoyan: Comparison Methods for Stochastic Models and Risk. Wiley, Chichester, 2002.
• Yosef Rinott, Michael Saks: On FKG-type and permanental inequalities. In: Moshe Shaked, Y. L. Tong (Hrsg.): Stochastic inequalities: Papers from the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference held in Seattle, Washington. July 1991 (Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, 1992), ISBN 0-940600-29-3, ISBN 978-0-940600-29-4, 332–342, MR1228073.

Weblinks

• Eintrag Ahlswede-Daykin inequality in der Encyclopedia of Mathematics
• Eintrag FKG inequality in der Encyclopedia of Mathematics
• Eintrag Holley inequality in der Encyclopedia of Mathematics