Definition

Sei ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge. Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung

${\displaystyle D\colon C^{1}(M)\to C^{0}(M),}$

die durch

${\displaystyle u\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x)\partial _{x_{i}}u}$

dargestellt werden kann, wobei ${\displaystyle a_{i}}$ eine stetige Funktion ist.

Beispiele

• Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewöhnliche Ableitung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f'.}$

• Die partielle Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\colon f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$

in ${\displaystyle x_{i}}$-Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung.

• Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhält man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion. Sei dazu ${\displaystyle a\in C^{0}(M)}$ eben so eine stetige Funktion, dann ist der durch

${\displaystyle D=a{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto af'\quad {\text{d. h.}}\quad Df(x)=a(x)f'(x)}$

definierte Operator ${\displaystyle D}$ ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung.

• Drei weitere Beispiele sind die Operatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) aus der Vektoranalysis. Sie werden durch das Nabla-Symbol ${\displaystyle \nabla }$ bezeichnet, das im dreidimensionalen Fall in kartesischen Koordinaten die Gestalt

${\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}.}$

hat.

• Die Wirtinger-Ableitungen

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

sind zwei weitere Beispiele für Differentialoperatoren. Das besondere in diesen Operatoren ist, dass man mit ihnen Funktionen ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ auf Holomorphie untersucht, gilt nämlich ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0}$ so ist die Funktion ${\displaystyle f}$ holomorph.

Definition

Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung ${\displaystyle k}$ eine Abbildung

${\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}$

die durch

${\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}(x)\left({\frac {\mathrm {d} ^{i}f}{\mathrm {d} x^{i}}}(x)\right)^{\beta _{i}}}$

gegeben ist. Hier ist ${\displaystyle a_{i}}$ für alle ${\displaystyle i}$ wieder eine stetige Funktion. Im Fall ${\displaystyle \beta _{i}=1}$ für alle ${\displaystyle i}$ nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.

Beispiel

• Die Ableitung ${\displaystyle k}$-ter Ordnung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\colon f\mapsto f^{(k)}}$

ist der einfachste Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators. Es handelt sich um den sich aus ${\displaystyle a_{i}\equiv 0}$ für ${\displaystyle i<k,\;a_{k}\equiv 1}$ und ${\displaystyle \beta _{k}=1}$ ergebenden Spezialfall.

Definition

Sei ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge. Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung ${\displaystyle k}$ ist ein linearer Operator

${\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M),}$

der durch

${\displaystyle D(f)(x):=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)}$

dargestellt werden kann. Wobei ${\displaystyle a_{\alpha }}$ für alle Multiindizes ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$ eine stetige Funktion ist.

Beispiele

• Der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten lautet

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators. Außerdem ist diese das wichtigste Beispiel eines elliptischen Differentialoperators. Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren.

• Der der Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung entsprechende Operator ist

${\displaystyle \Delta -{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators.

• Der D’Alembert-Operator

${\displaystyle \Box \varphi (x,y,z,t)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}(x,y,z,t)-\Delta _{(x,y,z)}\varphi (x,y,z,t),}$

wobei ${\displaystyle c}$ einer Geschwindigkeit entspricht, ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator. Dieser ist ein hyperbolischer Operator und wird bei der Wellengleichung verwendet.

Definition

Ein (nicht linearer) partieller Differentialoperator der Ordnung ${\displaystyle k}$ ist ebenfalls wieder eine Abbildung

${\displaystyle D\colon C^{k}(M)\to C^{0}(M).}$

Diese ist gegeben durch

${\displaystyle D(f)(x):=\sum _{i}\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha i}(x)\left({\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right)^{i}.}$

Hier sind ${\displaystyle a_{\alpha i}}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}$ und ${\displaystyle i}$ stetige Funktionen.

Definition

Sei ${\displaystyle D}$ ein (beliebiger) Differentialoperator. Dieser heißt linear, falls

${\displaystyle {D}\,(f+g)=({D}f)+({D}g)}$

${\displaystyle {D}\,(cf)=c\,({D}f)}$

für alle Funktionen ${\displaystyle f,g\in C^{1}(M)}$ und alle Konstanten ${\displaystyle c}$ gilt.

Prominentestes Beispiel hierfür ist der Differentialoperator

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon f\mapsto f',}$

der einer Funktion ${\displaystyle f}$ ihre Ableitung zuordnet.

Der Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum. Nach Fouriertransformation lässt sie sich häufig auf eine algebraische Gleichung und Konzepte der linearen Algebra zurückführen. Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln.

Algebra der Differentialoperatoren

Mit ${\displaystyle \operatorname {Diff} ^{k}(C^{k}(M))}$ wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnung ${\displaystyle k}$ bezeichnet, die auf ${\displaystyle C^{k}(M)}$ operieren. Die Menge

${\displaystyle \operatorname {Diff} (C^{k}(M)):=\bigoplus _{k\geq 0}\operatorname {Diff} ^{k}(C^{k}(M))}$

wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation

${\displaystyle (\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2})(f)=\mathrm {D} _{1}(\mathrm {D} _{2}(f))}$

zu einer ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$-graduierten Algebra. Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, bei denen die Kommutativität aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen folgt.

Man kann auch formal Potenzreihen mit den Differentialoperatoren ${\displaystyle D}$ bilden und darüber z. B. Exponentialfunktionen ${\displaystyle \exp(D)}$. Für das Rechnen mit solchen Exponentialausdrücken von linearen Operatoren gelten die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Koordinaten-invariante Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine glatte Mannigfaltigkeit und seien ${\displaystyle E,F\to M}$ Vektorbündel. Ein Differentialoperator der Ordnung ${\displaystyle k}$ zwischen den Schnitten von ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ ist eine lineare Abbildung

${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}$

mit den folgenden Eigenschaften:

• Der Operator ${\displaystyle D}$ ist lokal, das heißt, es gilt

${\displaystyle \operatorname {supp} (Ds)\subseteq \operatorname {supp} (s).}$

• Für ${\displaystyle x\in M}$ existieren eine offene Umgebung ${\displaystyle U\subseteq M}$ von ${\displaystyle x}$, Bündelkarten ${\displaystyle \phi \colon E|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{r}}$ und ${\displaystyle \psi \colon F|_{U}\to U\times \mathbb {C} ^{s}}$ sowie ein Differentialoperator ${\displaystyle {\tilde {D}}\in \operatorname {Diff} ^{k}(U,\mathbb {C} ^{r},\mathbb {C} ^{s}),}$ sodass das Diagramm
  ${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\Gamma _{0}^{\infty }(E\vert _{U})&{\xrightarrow {D}}&\Gamma _{0}^{\infty }(F\vert _{U})\\{\big \downarrow }\phi ^{*}&&{\big \downarrow }\psi ^{*}\\C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})&{\xrightarrow {\tilde {D}}}&C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{s})\end{array}}}$
  kommutiert. Mit ${\displaystyle \phi ^{*}}$ ist der Pullback eines glatten Vektorfeldes in den Raum ${\displaystyle C^{\infty }(U,\mathbb {C} ^{r})}$ bezeichnet.

Beispiele

Im Folgenden werden Beispiele von geometrischen Differentialoperatoren aufgezeigt.

• Die Menge der Differentialformen bildet ein glattes Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeit. Die Cartan-Ableitung und ihr adjungierter Operator sind Differentialoperatoren auf diesem Vektorbündel.
• Der Laplace-Beltrami-Operator sowie andere verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind Differentialoperatoren.
• Das Tensorbündel ist ein Vektorbündel. Für jedes fest gewählte Vektorfeld ${\displaystyle X}$ ist die Abbildung ${\displaystyle \nabla _{X}\colon \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(T_{l}^{k}M)}$ definiert durch ${\displaystyle T\mapsto \nabla _{X}T}$, wobei ${\displaystyle \nabla }$ die kovariante Ableitung ist, ein Differentialoperator.
• Die Lie-Ableitung ist ein Differentialoperator auf den Differentialformen.

Symbol

Es sei

${\displaystyle P(u)(x)=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}u(x)}$

ein allgemeiner Differentialoperator der Ordnung ${\displaystyle m}$. Die Koeffizientenfunktion ${\displaystyle b_{\alpha }\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ kann matrixwertig sein. Das Polynom

${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}$

in ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ heißt das Symbol von ${\displaystyle P}$. Da jedoch wie in der Einleitung schon angedeutet, die wichtigsten Informationen im Term der höchsten Ordnung zu finden sind, wird meist mit der folgenden Definition des Hauptsymbols gearbeitet.

Hauptsymbol

Sei ${\displaystyle P}$ wieder der oben definierte Differentialoperator der Ordnung ${\displaystyle m}$. Das homogene Polynom

${\displaystyle p_{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}b_{\alpha }(x)\left(i\xi \right)^{\alpha }}$

in ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ heißt Hauptsymbol von ${\displaystyle P}$. Oft nennt man das Hauptsymbol auch einfach nur Symbol, wenn Verwechslungen mit der oben gegebenen Definition ausgeschlossen sind.

Beispiele

• Das Symbol und das Hauptsymbol des Laplace-Operators ${\displaystyle \Delta }$ lauten

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}-\xi _{i}^{2}=-|\xi |^{2}.}$

Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen Vektorbündeln

Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten kann man auch ein Symbol und ein Hauptsymbol zuordnen. Dabei muss in der Definition natürlich berücksichtigt werden, dass das Hauptsymbol und das Symbol unter Kartenwechsel invariant definiert ist. Da der Kartenwechsel bei Symbolen sehr kompliziert ist, beschränkt man sich meist auf die Definition des Hauptsymbols.

Sei ${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}$ ein (koordinaten-invarianter) Differentialoperator, der zwischen Schnitten von Vektorbündeln operiert. Sei ${\displaystyle p\in M}$, ${\displaystyle \xi \in T_{p}^{*}M}$ und ${\displaystyle e\in E_{p}}$. Wähle ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$ und ${\displaystyle s\in \Gamma _{c}^{\infty }(M,E)}$ mit ${\displaystyle f(p)=0}$, ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f_{p}=\xi }$ und ${\displaystyle s(p)=e}$. Dann ist der Ausdruck

${\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )e:={\frac {i^{k}}{k!}}D(f^{k}s)(p)}$

unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle s}$. Die Funktion

${\displaystyle \sigma _{D}^{k}(p,\xi )\in \operatorname {Hom} (E_{p},F_{p})}$

heißt dann das Hauptsymbol von ${\displaystyle D}$.