Beschreibung

Im einfachsten Fall besteht ein Tiefpass aus einer Widerstand-Kondensator-Kombination (RC-Glied) und stellt einen Butterworth-Filter mit 1. Ordnung in folgender Anordnung dar:

Dabei wird vorausgesetzt, dass die Quellimpedanz von U_e null beträgt und die Lastimpedanz bei U_a unendlich hoch ist.

Einer sprunghaften Änderung der Eingangsspannung U_e folgt die Ausgangsspannung U_a um dieselbe Sprunghöhe, aber verzögert im Verlauf einer Exponentialfunktion mit einer Zeitkonstante τ = RC.

Einer sinusförmigen Eingangsspannung mit der Frequenz f folgt am Ausgang wegen der linear anzunehmenden Eigenschaften der Bauelemente wieder eine sinusförmige, aber gemäß der Spannungsteilerregel frequenzabhängig abgeschwächte Spannung

${\displaystyle U_{a}=U_{e}\cdot {\frac {\vert X_{C}\vert }{\sqrt {R^{2}+X_{C}^{2}}}}={\frac {U_{e}}{\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}}={\frac {U_{e}}{\sqrt {1+({\frac {f}{f}}_{c})^{2}}}}}$

mit
${\displaystyle U_{a}\ }$, ${\displaystyle U_{e}\ }$ Beträge der Aus- bzw. Eingangsspannung
${\displaystyle |X_{C}|={\frac {1}{\omega C}}}$ Betrag des Blindwiderstands des Kondensators
${\displaystyle \omega =2\pi f}$ Kreisfrequenz.

In logarithmischer Darstellung über der Frequenz (Bode-Diagramm) hat das Teilungsverhältnis zwei Asymptoten. Es geht bei niedrigen Frequenzen gegen 1 und für Gleichspannung (Frequenz f = 0) wird ${\displaystyle U_{a}=U_{e}\ }$. Zu hohen Frequenzen nimmt es mit 6 dB/Oktave bzw. 20 dB/Dekade ab.

Unter der Grenzfrequenz f_c (cutoff frequency) versteht man diejenige Frequenz, bei der sich die Asymptoten schneiden. Hier ist

${\displaystyle U_{a}=U_{e}/{\sqrt {2}}\approx U_{e}\cdot 0{,}707}$

Das heißt, U_a ist gegenüber U_e um 3 dB abgeschwächt.

Die Phasenlage der Ausgangsspannung ist gegenüber der Eingangsspannung stets verzögert, die Phasenverschiebung beträgt bei der Grenzfrequenz −45°.

Die Grenzfrequenz beträgt

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$

Weicht die Frequenz um mehr als eine Zehnerpotenz von der Grenzfrequenz ab (nach oben oder unten), so kann die Kurve mit einer relativen Abweichung von weniger als 0,5 % durch die jeweilige Asymptote ersetzt werden.

Mit Operationsverstärkern können aktive Tiefpässe realisiert werden. Diese haben den Vorteil, dass der Frequenzgang auch bei einer am Ausgang angeschlossener Last erhalten bleibt. Auch können sie so dimensioniert werden, dass sie auch die Quelle nur minimal belasten, sodass diese eine Impedanz größer null haben kann. Der Betrag der Ausgangsspannung dieses Tiefpasses ist

${\displaystyle U_{a}=-U_{e}\cdot {\frac {R_{2}}{R_{1}}}\cdot {\frac {\vert X_{C}\vert }{\sqrt {X_{C}^{2}+R_{2}^{2}}}}\ }$

Bei der Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{c}=1/(2\pi R_{2}C)}$ ist die Verstärkung entsprechend auf das ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$-fache der Gleichspannungsverstärkung abgefallen, die (abgesehen von der Vorzeichenumkehr) ${\displaystyle R_{2}/R_{1}}$ beträgt.

Herleitung der Formel

In der Darstellung der Wechselgrößen durch komplexe Größen gilt für das Spannungsverhältnis laut Spannungsteilerregel:

${\displaystyle {\underline {H}}={\frac {\underline {U_{a}}}{\underline {U_{e}}}}={\frac {\underline {Z_{c}}}{{\underline {Z_{c}}}+R}}={\frac {\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}{{\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}+R}}={\frac {1}{1+\mathrm {j} \omega CR}}\quad }$

mit ${\displaystyle {\underline {Z_{c}}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}}$ = Widerstandsoperator bzw. Impedanz des Kondensators.

Mit einer Hilfsgröße

${\displaystyle {\underline {z}}=x+\mathrm {j} y=1+\mathrm {j} \omega CR}$

${\displaystyle {\underline {z}}=z\,\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }\quad \Rightarrow \quad z={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad {\text{und}}\quad \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

${\displaystyle {\underline {z}}={\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \cdot \arctan(\omega CR)}}$

erhält man

${\displaystyle {\underline {H}}={\frac {1}{\underline {z}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \cdot \arctan {(\omega CR)}}}$

Diese Gleichung stellt die Ortskurve für die komplexe Spannungs-Übertragungsfunktion dar.

Folgerungen

Daraus leiten sich ab:

Beträge

Bei Übergang auf Beträge und Blindwiderstand (reelle Größen) ergibt sich die oben angegebene Formel

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {(\omega C)^{2}(({\frac {1}{\omega C}})^{2}+R^{2})}}}={\frac {({\frac {1}{\omega C}})}{\sqrt {\left(({\frac {1}{\omega C}})^{2}+R^{2}\right)}}}\\&={\frac {\vert X_{C}\vert }{\sqrt {X_{C}^{2}+R^{2}}}}\end{aligned}}}$

Augenblickswerte

Die Zeitfunktion für die sinusförmige Schwingung erhält man aus dem Imaginärteil der trigonometrischen Form des rotierenden komplexen Zeigers:

${\displaystyle {\underline {H}}(t)={H}\cdot {e^{{\mathrm {j} }\cdot ({{\omega }{t}+{\varphi }})}}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {H}}(t))={H}\cdot \sin({\omega }t+{\varphi })}$

Für die Zeitfunktion folgt dann:

${\displaystyle \ {H(t)}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}}\cdot \sin {(\omega t+{\varphi })}}$

mit ${\displaystyle {\varphi }}$ dem Nullphasenwinkel

Amplitudengang

${\displaystyle H(\omega )={\frac {{\hat {u}}_{a}}{{\hat {u}}_{e}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}}}$

Phasengang

${\displaystyle \varphi (\omega )=-\arctan({\omega }{C}{R})}$