1. Fall: μ₂ > r ohne Leerverkauf

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist größer als der risikolose Zins und es gibt keine Leerverkäufe. Die einzige Wahl, die der Anleger hat, ist der Anteil ${\displaystyle x\in [0,1]}$ seiner Mittel, den er in das riskante Papier investiert. Dann fließt der Anteil ${\displaystyle 1-x}$ in die risikolose Anleihe.

Die Effizienzlinie ist eine Gerade aus Ertrags-Risiko-Kombinationen, denn für die Gesamtrendite ${\displaystyle \mu _{x}}$ gilt

${\displaystyle \mu _{x}=(1-x)r+x\mu _{2}=r+{\frac {\mu _{2}-r}{\sigma _{2}}}\cdot \sigma _{x}}$ wobei ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{2}\cdot x}$ mit ${\displaystyle x\in [0,1]}$.

Dies bedeutet daher:

• Der Rendite-Risiko-Zusammenhang ist linear.
• Der Vorfaktor des Portfoliorisikos entspricht einer normierten Risikoprämie. Dies ist die Überrendite des riskanten Wertpapiers dividiert durch dessen Risiko.

In diesem Fall 1 mit ${\displaystyle \mu _{2}>r~}$ ohne Leerverkauf sind alle Portfolios auf der durch die Gleichung gegebenen Strecke, d. h. alle Paare ${\displaystyle (\mu _{x},\sigma _{x})}$, ${\displaystyle x\in [0,1]}$, effizient.

2. Fall: μ₂ > r mit Leerverkäufen

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist größer als der risikolose Zins und Leerverkäufe sind zulässig. Mathematisch bedeutet die Zulässigkeit von Leerverkäufen, dass der Anteil ${\displaystyle x}$ der in das riskante Papier investierten Mittel nicht mehr durch das Intervall [0,1] eingeschränkt ist. Bei der Zulässigkeit von Leerverkäufen lassen sich die beiden Fälle, in denen das risikolose Wertpapier oder das riskante Wertpapier verkauft wird, unterscheiden.

3. Fall μ₂ < r ohne Leerverkauf

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist kleiner als der risikolose Zins und es gibt keine Leerverkäufe. Für die Gesamtrendite gilt ${\displaystyle \mu _{x}=r-(r-\mu _{2})\cdot x,\,x\in [0,1]}$.

In diesem Fall ist ein Portfolio, das nur in das risikolose Instrument investiert, effizient, denn durch das Eingehen eines erhöhten Risikos, das heißt durch eine Wahl ${\displaystyle x>0}$, vermindert man die Rendite.

4. Fall μ₂ < r mit Leerverkäufen

Leerverkäufe sind zulässig: Durch einen Leerverkauf des riskanten Instruments, das heißt durch eine Wahl ${\displaystyle x<0}$, lässt sich die Portfoliorendite ${\displaystyle \mu _{x}=r+(r-\mu _{2})\cdot (-x)}$ beliebig steigern, natürlich nur bei gleichzeitiger, durch den Leerverkauf bedingten Erhöhung des Gesamtrisikos.

Iso-Ertragslinien

Ein optimales Portfolio nach diesem Kriterium liegt bei ${\displaystyle (x_{1},x_{2})=(0,1)}$

Budgetgerade

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{1}}$

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{2}}$

Iso-Risikolinien

Ein optimales Portfolio nach diesem Kriterium liegt nicht an den Extrempunkten.

Budgetgerade ohne Leerverkaufsmöglichkeit

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{1}}$

Iso-Ertragslinie ${\displaystyle \mu _{2}}$

• Die Rendite des zweiten Wertpapiers ist größer als die des ersten und die Varianz des zweiten Wertpapiers ist kleiner oder gleich der ersten.

Unkorrelierte Wertpapiere

Bei unkorrelierten Wertpapieren ${\displaystyle \rho =0}$ tritt immer ein Diversifikationseffekt auf. Das optimale Mischungsverhältnis ${\displaystyle (x_{1}^{*},x_{2}^{*}=1-x_{1}^{*})}$ lautet nach der Formel für die inverse Varianzgewichtung:

${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {\sigma _{2}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}$

${\displaystyle x_{2}^{*}={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}$.

Korrelierte Wertpapiere

Risikodiversifikation in Abhängigkeit vom Korrelationskoeffizienten ${\displaystyle \rho }$:

Die Wahl des Portfolios ergibt das Minimum-Varianz-Portfolio (kurz: MVP):

${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\cdot \sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }}}$

${\displaystyle x_{2}^{*}={\frac {\sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\cdot \sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }}}$

Ist die Kovarianz ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \rho }$ bekannt, so sieht die Formel im ersten Fall wie folgt aus:

${\displaystyle x_{1}^{*}={\frac {\sigma _{2}^{2}-\sigma _{12}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{12}}}}$

Herleitung

Aus ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=1}$ ergeben sich zwei abhängige Variablen.

${\displaystyle \mu _{x}=\mu _{1}x_{1}+\mu _{2}x_{2}+(1-x_{1}-x_{2})\mu _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$= ${\displaystyle x_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+x_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+(1-x_{1}-x_{2})^{2}\sigma _{3}^{2}}$${\displaystyle +2\sigma _{1}\sigma _{2}x_{1}x_{2}\rho _{1,2}~}$

${\displaystyle +2\sigma _{1}\sigma _{3}x_{1}x_{3}\rho _{1,3}~}$ ${\displaystyle +2\sigma _{2}\sigma _{3}x_{2}x_{3}\rho _{2,3}~}$