Naive Diversifikation

Das angelsächsische Sprichwort „Don’t put all your eggs in one basket“, das deutsche Sprichwort „Man soll nicht alles auf eine Karte setzen“ und Erasmus’ Warnung im 15. Jahrhundert „Vertraue nicht all deine Waren einem einzigen Schiff an“ sind Hinweise auf ein lange tradiertes Wissen über die Möglichkeit der Risikominderung durch Diversifikation.

Talmudische ⅓-Regel

Der babylonische Talmud enthält eine frühe Handlungsanweisung zur Aufteilung eines Vermögens in Anlagenformen mit unterschiedlicher Liquidität und unterschiedlichem Risiko. In der deutschsprachigen Fassung von Lazarus Goldschmidt heißt es:

Diese, auch als ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ – Regel bekannte, etwa anderthalb bis zwei Jahrtausende alte Anweisung geht auf die im Hintergrund liegenden Überlegungen nicht weiter ein. Sie wird gelegentlich auf die heutige Situation übertragen als ein Rat, ein Drittel in Immobilien anzulegen, ein weiteres Drittel in Aktien zu investieren und ein Drittel liquide oder in Form von Staatsanleihen zu halten. Eine weitere Übertragung ist die ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{N}}}$ – Regel, die Investition ohne Rückgriff auf die Eigenschaften der ${\displaystyle N}$ modellhaft gleichmäßig verteilten, verfügbaren Anlageklassen. Experimentell fanden Benartzi und Thaler, dass ein substantieller Anteil von Personen, die in Defined Contribution Saving Plans investierten, implizit nach einer ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{N}}}$-Regel entschied.

Frühe Neuzeit

Der Grundgedanke der Risikodiversifikation lässt sich auch im Jahre 1738 bei Daniel Bernoulli finden, der als Beispiel den Transport von Waren per Schiff erwähnt. Der Importeur sei sich der Tatsache bewusst, dass von den 100 Schiffen, die zwischen Amsterdam und St. Petersburg verkehrten, 5 verlorengingen.

Der Government & Guaranteed Securities Permananent Trust legte sich bei seinen Geldanlagen im Juni 1872 eine Höchstgrenze von 10 % je Einzelinvestment auf. Francis Galton veröffentlichte im Dezember 1888 den ersten wegweisenden Artikel über Korrelationen, doch erst sein Neffe Karl Pearson gilt als Vater der Korrelationsrechnung. Der Aktuar George May von der Prudential Assurance Company stellte 1912 Regeln auf, wie Versicherungsportfolien diversifiziert werden sollten.

Portfolio-Selection-Modell von Markowitz

Ausgangspunkt ist, dass ein Investor sein Kapital auf unterschiedliche, risikobehaftete Anlagen aufteilen kann und dabei stets im Zielkonflikt zwischen Risiko und Rendite steht. Die naive Diversifikation lässt den erwarteten Ertrag und das Risiko, insbesondere die Korrelation der Risiken, unberücksichtigt. In den Jahren 1950–1970 untersuchte die angelsächsische Forschung das Problem der optimalen Diversifikation, woraus sich die klassische Portfoliotheorie entwickelte. Die ersten Ideen zu diesem Thema publizierte Harry M. Markowitz 1952 im Journal of Finance. Im Jahre 1959 stellte er in seinem Buch Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments das sogenannte Portfolio-Selection-Modell vor, mit dem sich effiziente Portfolios herleiten lassen. Unter anderem A. D. Roy, William F. Sharpe und James Tobin entwickelten anschließend daraus die klassische Portfoliotheorie, welche das Problem korrelierter Risiken unter einigen Annahmen zunächst einmal löste.

Im Gegensatz zur naiven Diversifikation ist die klassische Portfoliotheorie durch ein bedeutendes Element gekennzeichnet: Die Diversifikation wird mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik untersucht. Das Portfolio-Selection Modell von Markowitz ist ein stochastisches Ein-Perioden-Modell. Die Erträge der einzelnen Assets im Portfolio sind korrelierte Zufallsvariablen und der risikoscheue Investor orientiert sich im Zielkonflikt zwischen erwarteter Rendite und Risiko bei seiner Entscheidung über ein Portfolio ausschließlich am Erwartungswert und an der Standardabweichung (auch Volatilität) der Portfolio-Rendite. Im Kern geht es somit um die Abweichung der Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ (hier die Rendite) von ihrem Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$. Die Rendite berechnet sich als Verhältnis zwischen der Summe aus der Kursentwicklung und der Dividende und dem eingesetzten Kapital. Da die Zukunft ungewiss ist, werden Erwartungswert und Standardabweichung häufig durch den empirischen Erwartungswert und die empirische Standardabweichung aus Historienreihen festgelegt. Je höher die Standardabweichung ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Erwartungswert deutlich verfehlt wird.
Alternativ können Erwartungswert und Standardabweichung durch Expertise prognostiziert werden (basierend auf Research oder einer Finanzanalyse).

Markowitz zeigte in seinem Modell, dass es in Abhängigkeit von der Risikobereitschaft des Investors vorteilhafter sein kann, in mehrere verschiedene Anlagen zu investieren, anstatt eine Investition in nur eine Anlage mit der höchsten erwarteten Rendite zu tätigen. Seine Theorie untersuchte zuerst das Investitionsverhalten an Kapitalmärkten, insbesondere bei Wertpapieren wie Aktien und Anleihen. Die Untersuchung unterschied zwischen einem systematischen und einem unsystematischen Marktrisiko. Das systematische Risiko besteht darin, dass veränderte makroökonomische Rahmenbedingungen, verifiziert durch Fundamentaldaten (etwa Zinsniveau, Arbeitslosigkeit, Absatzkrise, Rezession), sich auf das gesamte Wertpapierportfolio auswirken können. Das unsystematische Risiko hat mit der Bonität der Emittenten von Aktien und Anleihen zu tun und wirkt sich auf einen Teil des Wertpapierportfolios aus. Ausgehend vom Idealfall des optimal diversifizierten Portfolios, wo das unsystematische Risiko vollständig eliminiert ist, wird versucht, die tatsächlichen Portfolien dem Idealportfolio gegenüberzustellen und an es anzupassen.

Das Modell geht ferner von einem vollkommenen Kapitalmarkt aus. Weitere Prämissen des Modells lauten:

• Der Markt ist informationseffizient. Das bedeutet, dass die Marktteilnehmer die gleichen Informationen besitzen und sie gleich verarbeiten.
• Der Investor handelt rational und nutzenmaximierend.
• Alle Marktteilnehmer haben einen Marktzugang.
• Es existieren weder Steuern noch Transaktionskosten.
• Alle Wertpapiere sind beliebig teilbar. Demnach existieren auch halbe Aktien.

Das wichtigste Ergebnis von Markowitz lautet, dass das Portfoliorisiko nicht dem durchschnittlichen Risiko seiner Bestandteile entspricht, sondern durch die Korrelationskoeffizienten dieser Bestandteile bestimmt wird. Zusammenfassend bedeutet es, dass der im Folgenden dargestellte Diversifikationseffekt durch drei Parameter gekennzeichnet wird: durch die erwartete Rendite, die Streuung und durch den Korrelationskoeffizienten.

Die Anfänge der klassischen Portfoliotheorie stellten einen Meilenstein in der Finanzierungstheorie dar, da durch die Kalkulation von Risiken und Renditen Empfehlungen zu Finanzanlagen gegeben werden konnten. Deshalb wird die Portfoliotheorie auch als normative Theorie bezeichnet. Sie bildet aber auch die Grundlage für die neoklassische Finanzierungstheorie. Aus dem Fondsmanagement und dem Versicherungswesen ist die Portfoliotheorie außerdem nicht mehr wegzudenken.

Portfolio-Möglichkeitenkurven

Der Diversifikationseffekt lässt sich mit sogenannten Portfolio-Möglichkeitenkurven veranschaulichen. Dazu werden im Ertrags-Risiko-Diagramm zunächst Portfolios eingetragen, die zu 100 % aus einem Aktienwert bestehen. Auf der Abszissenachse im Ertrags-Risiko-Diagramm wird das Portfoliorisiko und auf der Ordinatenachse die erwartete Portfoliorendite abgetragen. Der Punkt A in der Grafik „Wirkung des Korrelationskoeffizienten: Portfolio-Möglichkeitenkurven“ stellt dabei den Ertragswert ${\displaystyle \mu _{A}\,}$ und das Risiko ${\displaystyle \sigma _{A}\,}$ eines Portfolios dar, die sich ergeben, wenn der Kapitalmarktteilnehmer sein zur Verfügung stehendes Anlagevermögen in nur ein Wertpapier investiert. Entsprechendes gilt für den Punkt B. Im nächsten Schritt werden die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko für unterschiedliche Mischungsverhältnisse berechnet und in das Ertrags-Risiko-Diagramm übertragen. In Abhängigkeit davon, welchen Wert der Korrelationskoeffizient ${\displaystyle \rho _{AB}\,}$ annimmt, entsteht eine unterschiedlich stark ausgeprägte Portfolio-Möglichkeitenkurve. Diese wird in der Literatur auch als Opportunitätslinie oder Portefeuillelinie bezeichnet.

Bei Anlagen, deren Renditen einen Korrelationskoeffizienten von −1 aufweisen, ist das Portfolio bei optimalem Mischungsverhältnis risikolos, da die negativen Erträge der einen Anlage durch die positiven Erträgen der anderen Anlage vollständig kompensiert werden. Die Rendite kann somit als sicher betrachtet werden. Die Portfolio-Möglichkeitenkurve ist in diesem Fall spitz zulaufend. Punkt C in der Grafik veranschaulicht den entstehenden maximalen Diversifikationseffekt.
Sind die Renditen der Wertpapiere perfekt positiv korreliert (${\displaystyle \rho _{AB}\,}$ = +1), so tritt kein Diversifikationseffekt ein, da alle möglichen Ertrags-Risiko-Kombinationen des Portfolios auf der Verbindungsgeraden zwischen den Punkten A und B liegen: Erwartet der Investor eine höhere Rendite, steigt das Risiko zwangsweise an. Das Portfoliorisiko entspricht in diesem Fall dem durchschnittlichen Risiko der Anlagen. Die vorgestellten Portfolio-Möglichkeitenkurven stellen theoretische Sonderfälle dar. Häufig verläuft die Portfolio-Möglichkeitenkurve jedoch hyperbelförmig.

Für das Portfolio, das aus VW- und Dresdner Bank-Aktien besteht, ergibt sich aus der Historienreihe ein Korrelationskoeffizient von 0,4974. Damit lassen sich durch die Variation des Mischungsverhältnisses verschiedene Positionen im Ertrags-Risiko-Diagramm berechnen. Die folgende Tabelle gibt die Ergebnisse der Berechnung für einige Mischungsverhältnisse beispielhaft wieder.

Portfolio-Anteil Dresdner Bank	Rendite ${\displaystyle \mu \,}$	Risiko ${\displaystyle \sigma \,}$
0 %	1,19	8,41
10 %	1,15	7,94
25 %	1,10	7,35
50 %	1,00	6,72
65 %	0,95	6,59
75 %	0,91	6,63
90 %	0,85	6,85
100 %	0,81	7,10

Überträgt man diese Werte in ein Ertrags-Risiko-Diagramm, ergibt sich eine hyperbelförmige, nach rechts geöffnete Kurve, die alle Wertpapierkombinationen und die dazugehörigen Portfoliorisiken und die erwarteten Portfoliorenditen enthält.

Der hyperbelförmige Verlauf der Portfolio-Möglichkeitenkurve ist der Regelfall. Somit entwickeln sich die Renditen grundsätzlich gleichgerichtet. Dies liegt daran, dass es Faktoren gibt, die sich auf alle Wertpapiere auswirken. Lediglich die Intensität der Beeinflussung ist unterschiedlich. Zu diesen Faktoren zählen beispielsweise die Inflation und eine schwere Rezession, die zu einem Nachfrageeinbruch bei den meisten Unternehmen führt. Das bedeutet, dass auch bei einem diversifizierten Portfolio immer ein gewisses Restrisiko verbleibt.
Jede hyperbelförmige Portfolio-Möglichkeitenkurve weist einen charakteristischen Punkt auf, den Scheitelpunkt. In der Grafik „Wirkung des Korrelationskoeffizienten: Portfolio-Möglichkeitenkurven“ ist das der rot markierte Punkt M.

Im Beispielportfolio stellt dieser Punkt ein Portfolio dar, das zu 65 % aus Dresdner Bank-Aktien und zu 35 % aus VW-Aktien besteht.

Bei diesem Mischungsverhältnis ist das Risiko des Portfolios, gemessen als Volatilität, am geringsten. Man spricht vom globalen Minimum-Varianz-Portfolio, oder auch vom Safety-First-Portfolio. Je stärker sich der Korrelationskoeffizient der −1 nähert, desto stärker ist die Krümmung der Portfolio-Möglichkeitenkurve und desto stärker ist die Ausprägung des Diversifikationseffektes. Je gegenläufiger sich die Renditen somit zueinander verhalten, desto mehr Risiko kann bei der Mischung der Anlagen eliminiert werden. In der Grafik wird ersichtlich, dass bei bestimmten Mischungsverhältnissen das Portfoliorisiko sogar unter das niedrigste Risiko der beiden Wertpapiere fällt, in diesem Fall unter das Risiko von Wertpapier A.

Bisher wurde der Diversifikationseffekt für die Mischung von zwei Anlagen dargestellt. Wählt ein Investor mehr als zwei Anlagen, dann lässt sich arithmetisch zeigen, dass sich eine vollständige Diversifikation erzielen lässt. Es verbleibt jedoch immer ein gewisses Risiko, das nicht eliminiert werden kann. Dieses Risiko wird als systematisches Risiko bezeichnet. Das Risiko, das durch die Diversifikation eliminiert wird, ist das unsystematische Risiko. In der Praxis wird es bei einer Wertpapieranzahl von zirka 15 eliminiert.

Effiziente Portfolios

Die Portfolio-Möglichkeitenkurve für die VW- und Dresdner-Bank-Aktien weist, wie oben festgestellt, einen typischen hyperbelförmigen Verlauf auf. Punkt M stellt das Portfolio mit dem geringsten Risiko dar. Es existieren jedoch weitere effiziente Portfolios. Diese liegen auf dem oberen Ast der hyperbelförmigen Kurve und somit oberhalb von Punkt M. Bei diesen Portfolios spricht man von Minimum-Varianz-Portfolios. Der Teil der Kurve, auf dem diese Portfolios liegen, wird als Effizienzlinie bezeichnet. Nur wenn sich ein Investor für ein Portfolio entscheidet, das auf dieser Effizienzlinie liegt, diversifiziert er richtig.

Der untere Hyperbelast besteht ebenfalls aus Minimum-Varianz-Portfolios. Diese Portfolios sind jedoch im Vergleich zu den Portfolios auf dem oberen Hyperbelast ineffizient. Dies wird deutlich, wenn beispielhaft die Portfolios D und D' in der Grafik „Wirkung des Korrelationskoeffizienten: Portfolio-Möglichkeitenkurven“ miteinander verglichen werden: Zwar weisen beide Portfolios ein identisches Risiko auf, doch Portfolio D' ist durch einen höheren Ertragswert gekennzeichnet. Portfolio D' dominiert somit Portfolio D. Effiziente Portfolios werden mit Hilfe von Lösungsalgorithmen rechnergestützt gefunden. Manuell ist dies durch einen bestimmten Optimierungsansatz möglich, jedoch bereits bei kleiner Wertpapieranzahl sehr aufwendig.

Optimale Portfolios

Alle effizienten Portfolios liegen auf dem oberen Hyperbelast der Portfolio-Möglichkeitenkurve. Doch nicht alle effizienten Portfolios sind für einen Investor auch optimal. Die Auswahl des Portfolios hängt von der individuellen Risikoeinstellung des Investors ab. Die Risikoeinstellung wird mit Hilfe von Risikonutzenfunktionen dargestellt. Diese ordnen jeder Rendite-Risiko-Kombination einen bestimmten Nutzenwert zu. Unter Hinzunahme der Risikonutzenfunktion wird nur das Portfolio ausgewählt, welches dem Investor den maximalen individuellen Nutzen stiftet.

Jeder Investor hat eine eigene Einstellung zum Risiko, sodass jede Risikonutzenfunktion unterschiedlich aussieht. Alle Risikonutzenfunktionen haben jedoch den folgenden gemeinsamen Zusammenhang zwischen dem Nutzen ${\displaystyle U}$, der Rendite ${\displaystyle \mu }$ und dem Risiko ${\displaystyle \sigma }$: ${\displaystyle U=\operatorname {h} (\mu {,}\sigma )}$. An einem Beispiel soll die Auswahl eines optimalen Portfolios veranschaulicht werden.

Beispiel: Es stehen zwei Portfolios mit den folgenden Rendite-Risiko-Kombinationen zur Auswahl:

	Rendite ${\displaystyle \mu \,}$	Risiko ${\displaystyle \sigma \,}$
Portfolio 1	6,0 %	4,5
Portfolio 2	7,5 %	9

Die Risikoeinstellung eines Investors wird mit dieser Risikonutzenfunktion dargestellt: ${\displaystyle U=\mu -0,02(\sigma ^{2}+\mu ^{2})\,}$. Welches Portfolio soll der Investor wählen?

Zunächst müssen die Nutzenwerte berechnet und im Anschluss miteinander verglichen werden: Der Investor sollte Portfolio 1 wählen, da ihm dieses den größten Nutzen stiftet (${\displaystyle U_{1}>U_{2}\,}$).

Die Risikonutzenfunktion lässt sich vereinfacht zweidimensional darstellen. Sie wird dann als Indifferenzlinie, Isonutzenkurve oder auch als Nutzenindifferenzkurve bezeichnet. Sämtliche Rendite-Risiko-Kombinationen, die auf einer Indifferenzkurve liegen, stiften den gleichen Nutzen, daher auch der Name.

Die vollständige Präferenzstruktur eines Investors wird durch die Kurvenschar der Indifferenzkurven abgebildet. In der Grafik „Auffinden eines optimalen Portfolios“ sind exemplarisch drei Indifferenzkurven dargestellt. Es gilt stets: ${\displaystyle U_{3}>U_{2}>U_{1}\,}$. Das bedeutet, dass diejenige Indifferenzkurve, die vom Ursprung am weitesten entfernt ist, den höchsten Nutzen aufweist.

Die Portfolio-Theorie geht von einem risikoscheuen Investor aus. Die Indifferenzkurven haben bei dieser Risikoeinstellung einen konvexen Verlauf. Für das Auffinden des optimalen Portfolios muss die Indifferenzkurve ermittelt werden, die vom Ursprung am weitesten entfernt ist und gleichzeitig die Effizienzlinie tangiert. In der Grafik „Auffinden eines optimalen Portfolios“ ist diese Vorgehensweise dargestellt. Der Punkt mit den Koordinaten ${\displaystyle (\sigma _{opt}|\mu _{opt})\,}$ stellt das Portfolio dar, das der Investor aufgrund seiner Risikonutzenfunktion wählen sollte, da ihm dieses Portfolio den größten Nutzen verspricht.

Die Risikoeinstellung des Anlegers wird im Rahmen der Anlageberatung mit Hilfe von Fragebögen ermittelt. In diesen müssen Fragen bezüglich bestimmter hypothetischer Entscheidungssituationen beantwortet werden, deren Auswertung die individuelle Risikobereitschaft widerspiegelt.

Branchendiversifikation und internationale Diversifikation

Das Aussehen und die Lage der Portfolio-Möglichkeitenkurve und somit auch der Effizienzlinie sind von der Anzahl der risikobehafteten Anlagen im Portfolio abhängig. Je größer die Anzahl der Anlagen im Portfolio ist, desto weiter links oben liegt die Portfolio-Möglichkeitenkurve im Ertrags-Risiko-Diagramm, desto günstiger ist somit das Portfolio hinsichtlich Renditeerwartung und Risiko. Um das Risikosenkungspotential zu realisieren, lässt sich das Portfolio vergrößern, indem der Investor nicht nur Anlagen aus seinem Land, sondern zusätzlich ausländische Anlagen in sein Portfolio aufnimmt. Besteht das Portfolio des Investors nur aus inländischen Anlagen, verringert er den Umfang des Diversifikationseffektes. Das bedeutet, dass er durch die Hinzunahme ausländischer Anlagen eine günstigere Risiko-Ertrags-Relation erreicht hätte. Solnik befasste sich als Erster mit dieser sogenannten internationalen Diversifikation, die in der Literatur auch als Länderdiversifikation bezeichnet wird.

Anlagen eines Landes entwickeln sich homogen, da das politische Rahmengefüge auf diese in ähnlichem Maße einwirkt. Dabei handelt es sich beispielsweise um Geld-, Steuer- und Fiskalpolitik. Zwischen den Ländern existieren in dieser Hinsicht jedoch Unterschiede, sodass Anlagen verschiedener Länder einen niedrigen Korrelationskoeffizienten aufweisen. Somit wird bei einer internationalen Diversifikation in der Regel ein stärker ausgeprägter Diversifikationseffekt erreicht.

Bei einer internationalen Diversifikation bestehen neben den spezifischen Risiken aus den jeweiligen Anlagen außerdem sogenannte Währungsrisiken. Diese Risiken lassen sich durch das Absichern (englisch hedging), beispielsweise mit Hilfe von Währungsfutures, ausschalten. Das Portfolio kann um diese Sicherungsinstrumente erweitert werden, sodass in der Konsequenz die Relation zwischen Risiko und Ertrag eines Portfolios zusätzlich verbessert wird.

Aktiendiversifikation bedeutet jedoch nicht zwangsläufig, dass in ausländische Aktien investiert werden muss. Solange die Kursentwicklung heterogen verläuft, ist ein Diversifikationseffekt möglich. Dies kann bereits bei Investition in inländische Aktien unterschiedlicher Branchen der Fall sein.

Beispiel: Wenn ein Investor in die Chemie-, Biotechnologie- und Pharmabranche investieren möchte und dabei Aktien der Pfizer Inc., Hoechst AG und der Novartis AG kauft, dann wird der Diversifikationseffekt wahrscheinlich schwach ausgeprägt sein, obwohl er Anlagen verschiedener Staaten gewählt hat. Dies liegt daran, dass es sich um nur eine Branche handelt und die Aktien einer Branche ähnlichen Risiken ausgesetzt sind. Der Investor hätte vermutlich einen besseren Diversifikationseffekt erzielt, wenn er sich für Aktien aus seinem Land, jedoch für Aktien aus verschiedenen Branchen entschieden hätte, beispielsweise für die BASF-, Volkswagen- und Siemens-Aktien.

Viele empirische Studien sind der Frage nachgegangen, ob eine internationale Diversifikation oder eine Branchendiversifikation günstiger sei. Dabei diente Rolls Aufsatz als Ausgangspunkt. Aus diesem Aufsatz geht hervor, dass eine Länderdiversifikation im Prinzip immer eine Branchendiversifikation ist, da jedes Land seinen Schwerpunkt auf eine bestimmte Industriestruktur setzt. Die Korrelation der Anlagen einzelner Branchen ist gering, sodass ein gut ausgeprägter Diversifikationseffekt erreichbar ist.