Kleene-Logik K₃

Die Kleene-Logik ${\displaystyle K_{3}}$ enthält drei Wahrheitswerte, nämlich 1 für „wahr“, 0 für „falsch“ und ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, das hier auch als i bezeichnet wird und für „weder wahr noch falsch“ steht. Kleene definiert die Negation ${\displaystyle f\neg }$, Konjunktion ${\displaystyle f\wedge }$, Disjunktion ${\displaystyle f\vee }$ und Implikation ${\displaystyle f\rightarrow }$ durch folgende Wahrheitswertfunktionen:

${\displaystyle {\begin{array}{|c || c|}f\neg &\\\hline 1&0\\i&i\\0&1\\\end{array}}\quad {\begin{array}{|c || c|c|c|}f\wedge &1&i&0\\\hline 1&1&i&0\\i&i&i&0\\0&0&0&0\\\end{array}}\quad {\begin{array}{|c || c|c|c|}f\vee &1&i&0\\\hline 1&1&1&1\\i&1&i&i\\0&1&i&0\\\end{array}}\quad {\begin{array}{|c || c|c|c|}f\rightarrow &1&i&0\\\hline 1&1&i&0\\i&1&i&i\\0&1&1&1\\\end{array}}}$

Damit bildet – wie zum Beispiel auch bei Łukasiewiczs dreiwertiger Logik ${\displaystyle L_{3}}$, siehe dort – die Disjunktion das Maximum und die Konjunktion das Minimum der verknüpften Wahrheitswerte und errechnet sich die Negation einer Aussage mit Wahrheitswert v als 1-v.

Betrachtet man 1 als einzigen designierten Wahrheitswert, dann gibt es in ${\displaystyle K_{3}}$ keinerlei Tautologien; betrachtet man sowohl ¹⁄₂ als auch 1 als designiert, dann ist die Menge der Tautologien in ${\displaystyle K_{3}}$ identisch mit der Menge der klassischen, zweiwertigen Aussagenlogik.

Gödel-Logiken G_k und G_∞

Gödel definiert 1932 eine Familie mehrwertiger Logiken ${\displaystyle G_{k}}$ mit endlich vielen Wahrheitswerten ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots {\tfrac {k-2}{k-1}},1}$, sodass zum Beispiel ${\displaystyle G_{3}}$ die Wahrheitswerte ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{2}},1}$ und ${\displaystyle G_{4}}$ die Wahrheitswerte ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1}$ umfasst. Analog definiert er eine Logik mit unendlich vielen Wahrheitswerten, ${\displaystyle G_{\infty }}$, bei der als Wahrheitswerte die reellen Zahlen im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Designierter Wahrheitswert ist bei jeder dieser Logiken 1.

Die Konjunktion ${\displaystyle \wedge }$ und die Disjunktion ${\displaystyle \vee }$ definiert er als Minimum bzw. Maximum der Formelwahrheitswerte:

• ${\displaystyle u\wedge v:=\min\{u,v\}}$
• ${\displaystyle u\vee v:=\max\{u,v\}}$

Die Negation ${\displaystyle \sim }$ und Implikation ${\displaystyle \rightarrow _{G}}$ werden durch folgende Wahrheitswertfunktionen definiert:

• ${\displaystyle \sim u={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}u=0\\0,&{\text{wenn }}u>0\end{cases}}}$

• ${\displaystyle u\rightarrow _{G}v={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}u\leq v\\v,&{\text{wenn }}u>v\end{cases}}}$

Die Gödelschen Systeme sind vollständig axiomatisierbar, d. h., es lassen sich Kalküle aufstellen, in denen alle Tautologien des jeweiligen Systems herleitbar sind.

Łukasiewicz-Logiken L_v

Die Implikation ${\displaystyle \rightarrow _{L}}$ und die Negation ${\displaystyle \neg }$ definiert Jan Łukasiewicz durch folgende Wahrheitswertfunktionen:

• ${\displaystyle \neg u:=1-u}$
• ${\displaystyle u\rightarrow _{L}v:=\min\{1,1-u+v\}}$

Als erstes entwickelt Łukasiewicz nach diesem Schema 1920 seine dreiwertige Logik, das System ${\displaystyle L_{3}}$, mit den Wahrheitswerten ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{2}},1}$ und designiertem Wahrheitswert 1. 1922 folgt seine unendlichwertige Logik ${\displaystyle L_{\infty }}$, in der er die Menge der Wahrheitswerte auf das Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1 erweitert. Designierter Wahrheitswert ist in beiden Fällen 1.

Verallgemeinert zu ${\displaystyle L_{v}}$ zerfallen die Łukasiewicz’schen Logiken in die endlichwertigen Systeme ${\displaystyle L_{n}}$ (Wahrheitswertmenge wie bei Gödel ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{n-1}},{\tfrac {2}{n-1}},\ldots ,{\tfrac {n-2}{n-1}},1}$), in das bereits angesprochene ${\displaystyle L_{\infty }}$ und in ${\displaystyle L_{\aleph _{0}}}$, bei der als Wahrheitswerte die rationalen Zahlen (d. h. Brüche) im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Die Menge der Tautologien, das heißt der Aussagen mit designiertem Wahrheitswert, ist bei ${\displaystyle L_{\infty }}$ und ${\displaystyle L_{\aleph _{0}}}$ identisch.

Produktlogik Π

Die Produktlogik enthält eine Konjunktion ${\displaystyle \odot }$ und eine Implikation ${\displaystyle \rightarrow _{\Pi }}$, die folgendermaßen definiert werden:

• für ${\displaystyle u,v\in [0,1]}$: ${\displaystyle u\odot v:=uv}$
• ${\displaystyle u\rightarrow _{\Pi }v:={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{wenn }}u>v\end{cases}}}$

Zusätzlich enthält die Produktlogik eine Wahrheitswertkonstante ${\displaystyle {\overline {0}}}$, die den Wahrheitswert „falsch“ bezeichnet.

Mittels der zusätzlichen Konstanten können eine Negation ${\displaystyle \sim }$ und eine weitere Konjunktion ${\displaystyle \wedge }$ folgendermaßen definiert werden:

• ${\displaystyle \sim \varphi$ :=\varphi \rightarrow _{\Pi }{\overline {0}}}
• ${\displaystyle \varphi \wedge \psi$ :=\varphi \odot (\varphi \rightarrow _{\Pi }\psi )}

Post-Logiken P_m

Post definiert 1921 eine Familie von Logiken ${\displaystyle P_{m}}$ mit (wie bei ${\displaystyle L_{n}}$ und ${\displaystyle G_{k}}$) den Wahrheitswerten ${\displaystyle 0,{\tfrac {1}{m-1}},{\tfrac {2}{m-1}},\ldots ,{\tfrac {m-2}{m-1}},1}$. Negation ${\displaystyle \sim }$ und Disjunktion ${\displaystyle \vee }$ definiert Post folgendermaßen:

• ${\displaystyle \sim u:={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}u=0\\u-{\frac {1}{m-1}},&{\text{wenn }}u\not =0\end{cases}}}$

• ${\displaystyle u\vee v:=\max\{u,v\}}$

Vierwertige Logik von Belnap

Hauptartikel: Belnaps vierwertige Logik

Nuel Belnap entwickelte 1977 seine vierwertige Logik mit den Wahrheitswerten t (true, wahr), f (falsch), u (unbekannt) und b (beides, also einer widersprüchlichen Information).

Bočvar-Logik B₃

Die Bočvar-Logik (von Dmitrij Anatoljewitsch Bočvar, geschrieben auch Bochvar oder Botschwar) ${\displaystyle B_{3}}$ enthält zwei Klassen von Junktoren, nämlich die inneren Junktoren einerseits und die äußeren Junktoren andererseits. Die inneren Junktoren Negation ${\displaystyle \neg }$, Implikation ${\displaystyle \rightarrow }$, Disjunktion ${\displaystyle \vee }$, Konjunktion ${\displaystyle \wedge }$ und Bisubjunktion ${\displaystyle \leftrightarrow }$ entsprechen denen der klassischen Logik. Die äußeren Junktoren Negation ${\displaystyle \neg *}$, Implikation ${\displaystyle \rightarrow *}$, Disjunktion ${\displaystyle \vee *}$, Konjunktion ${\displaystyle \wedge *}$ und Bisubjunktion ${\displaystyle \leftrightarrow *}$ sind metasprachlicher Natur und sind die folgenden:

• ${\displaystyle \neg *\varphi }$ (${\displaystyle \varphi }$ ist falsch)
• ${\displaystyle \varphi \rightarrow *\psi }$ (ist ${\displaystyle \varphi }$ wahr, so auch ${\displaystyle \psi }$)
• ${\displaystyle \varphi \vee *\psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ ist wahr oder ${\displaystyle \psi }$ ist wahr)
• ${\displaystyle \varphi \wedge *\psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ ist wahr und ${\displaystyle \psi }$ ist wahr)
• ${\displaystyle \varphi \leftrightarrow *\psi }$ (${\displaystyle \varphi }$ ist wahr gdw ${\displaystyle \psi }$ ist wahr)

Die Wahrheitswertfunktionen entsprechen denen der Kleene Logik ${\displaystyle K_{3}}$.

Für die Definition der äußeren Junktoren wird ein weiterer einstelliger Junktor hinzugenommen, nämlich die externe Bestätigung ${\displaystyle A_{*}}$ mit der Wahrheitswertfunktion

${\displaystyle {\begin{array}{|c || c|}A_{*}&\\\hline 1&0\\i&0\\0&1\\\end{array}}}$

Damit lassen sich die äußeren Junktoren, wie folgt, definieren:

• ${\displaystyle \neg *\varphi$ :=\neg A_{*}\varphi }
• ${\displaystyle \varphi \vee *\psi$ :=A_{*}\varphi \vee A_{*}\psi }
• ${\displaystyle \varphi \rightarrow *\psi$ :=A_{*}\varphi \rightarrow A_{*}\psi }
• ${\displaystyle \varphi \wedge *\psi$ :=A_{*}\varphi \wedge A_{*}\psi }
• ${\displaystyle \varphi \leftrightarrow *\psi$ :=A_{*}\varphi \leftrightarrow A_{*}\psi }

Die Logik der äußeren Junktoren, welche eine Unterscheidung zwischen 0 und i trifft, entspricht exakt der klassischen Logik.