Berechnung

Die verbleibende Menge eines Radionuklids am Anfang der Zerfallskette sinkt zeitlich entsprechend einer Exponentialfunktion. Für Nuklide, die erst gebildet werden, ist der Zeitverlauf eine Summe von auf- und abklingenden Exponentialfunktionen, falls nur Reaktionen erster Ordnung berücksichtigt werden. Neutroneneinfang ist eine Kernreaktion zweiter Ordnung, ist jedoch in Gegenwart von Neutronenabsorbern für den Kernbrennstoff zweitrangig. Beim Spaltproduktgemisch in einem Reaktor überlagern sich die zahlreichen Exponentialfunktionen mit breit verteilten Zeitkonstanten zu einem Verlauf, der für praktische Zwecke z. B. als Potenzfunktion angenähert werden kann. Berechnungsvorschriften sind in den Normen DIN 25463-1 und DIN 25463-2 festgelegt.

Eine einfache Näherungsformel wurde 1946 von Katharine Way und Eugene Wigner angegeben: Wird ein Reaktor für die Dauer ${\displaystyle T_{0}}$ mit der Leistung ${\displaystyle P_{0}}$ betrieben, so sei die Nachzerfallsleistung ${\displaystyle P}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ nach dem Abschalten des Reaktors

${\displaystyle P(t)=0{,}062\ P_{0}\left(t^{-0{,}2}-\left(T_{0}+t\right)^{-0{,}2}\right).}$

Dabei sind T₀ und t  in Sekunden einzusetzen. Für die Gültigkeit wurde der Zeitbereich von 10 Sekunden bis 100 Tagen angegeben, die Unsicherheit mit 15 % bis 20 %.

Die Herleitung haben Way und Wigner ausführlich dargestellt. Die Annahmen und Näherungen in Kürze:

• Die Massenzahlen ${\displaystyle A_{L}}$ und ${\displaystyle A_{H}}$ der Spaltprodukte wurden bei den Maxima der beobachteten Verteilungen fixiert.
• Für die leichten (L) und schweren (H) Spaltprodukte wurde jeweils die Verteilung der Protonenzahl ${\displaystyle Z}$ als Gauß-Verteilung genähert.
• Die die Kinetik bestimmenden Lebensdauern der ${\displaystyle \beta }$-Strahler wurde nach der Sargent-Regel umgekehrt proportional zur fünften Potenz der Energiedifferenz von Mutter- und Tochterkern gesetzt, die wiederum mit der Bethe-Weizsäcker-Formel berechnet wurde.

Für die mittlere Nachzerfallsleistung der Produkte eines einzelnen auslösenden Spaltereignisses ergibt sich ein Abklingen proportional zu ${\displaystyle t^{-1,2}}$, wenn das auslösende Spaltereignis zur Zeit ${\displaystyle t=0}$ stattfand, bzw.

${\displaystyle P_{1}(t-t')\propto (t-t')^{-1,2}\;.}$

für einen allgemeinen Startzeitpunkt ${\displaystyle t'}$.

Unter der Annahme, dass ${\displaystyle {\dot {N}}_{0}}$ Kerne gleichverteilt über ein Intervall ${\displaystyle [-T_{0},0]}$ gespalten wurden, erhält man die gesamte Nachzerfallsleistung durch Integration über die verschiedenen Startzeitpunkte ${\displaystyle t'}$:

${\displaystyle P(t)={\dot {N}}_{0}\int _{-T_{0}}^{0}P_{1}(t-t')\,dt'\propto {\dot {N}}_{0}\int _{-T_{0}}^{0}(t-t')^{-1,2}\,dt'={\dot {N}}_{0}{\bigl (}t^{-0,2}-(T_{0}+t)^{-0,2}{\bigr )}\;.}$

Die Anzahl der gespaltenen Kerne pro Sekunde ${\displaystyle {\dot {N}}_{0}}$ kann mit der (als zeitlich konstant angenommenen) Leistung des Reaktors in Verbindung gesetzt werden:

${\displaystyle P_{0}=\langle E_{s}\rangle \cdot {\dot {N}}_{0}\;.}$

Dabei ist ${\displaystyle \langle E_{s}\rangle }$ die mittlere Energie, die pro Spaltung thermisch nutzbar ist (etwa 200 MeV pro Spaltung). Daher kann man die Nachzerfallsleistung auch auf die gefahrene Reaktorleistung beziehen, wie oben angegeben. Der korrekte Vorfaktor ergibt sich demnach aus der korrekten mittleren Einzelnachzerfallsleistung und der mittleren, pro Spaltung thermisch nutzbaren Energie.

Beispiele für Nachzerfallswärme nach langer Betriebsdauer

Nach 11 Monaten Betrieb nahe der Nennleistung in einem typischen Brennelementzyklus ergeben sich aus der obigen Formel folgende Werte (Leistungswerte und Zeitdauern sind auf den Brennstoffinhalt eines typischen Großreaktors bezogen):