Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nichtarchimedisch geordneten Körpern beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen Analysis besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch unendlich große und unendlich kleine Zahlen vorkommen, die hyperreellen Zahlen.

Modelltheoretischer Zugang

Neben den in der Standardanalysis üblichen reellen Zahlen werden so genannte hyperreelle Zahlen verwendet. Die hyperreellen Zahlen bilden einen geordneten Erweiterungskörper der reellen Zahlen und können damit nicht das archimedische Axiom erfüllen. Eine Verletzung dieses Axioms findet hier zum Beispiel durch die so genannten Infinitesimalzahlen statt, also Zahlen, die näher bei Null liegen als jede von 0 verschiedene reelle Zahl.

Das erste Modell einer Nichtstandardanalysis wurde in den 1960er Jahren von Abraham Robinson entwickelt. Er verwendete es, um einen Satz aus der Funktionalanalysis zu zeigen, der besagt, dass jeder polynomial kompakte Operator in einem Hilbertraum einen invarianten Unterraum besitzt. Allerdings verlangt die Konstruktion des Modells die Verwendung eines freien Ultrafilters über ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Dessen Existenz kann zwar mit Hilfe des Auswahlaxioms bewiesen werden, jedoch kann kein solcher Ultrafilter konkret angeben werden.

Unabhängig von Abraham Robinson entwickelten Detlef Laugwitz und Curt Schmieden ab 1958 einen eigenen Zugang zur Nichtstandardanalysis über Körpererweiterungen.

In der Nichtstandardanalysis können die in der Analysis üblichen Begriffe wie Ableitung oder Integral ohne Grenzwerte definiert werden. In dieser Hinsicht ist die Nichtstandardanalysis näher bei den Ideen der Begründer der Infinitesimalrechnung, Newton und Leibniz. Die Verwendung von „unendlich kleinen Größen“ in der Nichtstandardanalysis ist jedoch, anders als bei Newton und Leibniz, logisch einwandfrei und ohne bekannte Widersprüche. Es gibt ferner Anwendungen der Nichtstandardanalysis in der Stochastik und der Topologie.

Axiomatische Zugänge

Neben dem modelltheoretischen Zugang existieren noch verschiedene axiomatische Zugänge, die sich untereinander stark unterscheiden.

Anmerkung: Die vorhandene Literatur ist fast ausschließlich in englischer Sprache, zudem werden die Theorien gewöhnlich mit ihren Abkürzungen bezeichnet. Daher haben sich bisher teilweise keine deutschen Fachbegriffe durchgesetzt.

Beispiel: Definition der Stetigkeit

Die Stetigkeit einer reellen Funktion ${\displaystyle f}$ in einem Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ kann in der Standardanalysis so definiert werden:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \colon \left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\varepsilon }$

In der Nichtstandardanalysis kann man sie so definieren: Ist ${\displaystyle f}$ eine Funktion und ${\displaystyle x_{0}}$ ein Standardpunkt, dann ist ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}}$ genau dann S-stetig, wenn

${\displaystyle \forall x\in {}^{*}\mathbb {R} \colon x\approx x_{0}\Rightarrow f(x)\approx f(x_{0})}$,

wobei ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ der in der Nichtstandardanalysis erzeugte Erweiterungskörper von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist und ${\displaystyle x\approx y}$ bedeutet, dass die (Nichtstandard-)Zahlen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ einen infinitesimalen Abstand haben.

Diese beiden Definitionen beschreiben allerdings unterschiedliche Konzepte: Es lassen sich Beispiele für Nichtstandardfunktionen angeben, die (nach der Epsilon-Delta-Definition) unstetig sind, z. B. i-kleine Sprünge aufweisen, aber (nach der Infinitesimaldefinition) S-stetig sind, oder umgekehrt, z. B. wenn ein Abschnitt der Funktion eine i-große Steigung aufweist. Nur für Standardfunktionen sind beide Stetigkeitsbegriffe äquivalent.

Literatur

• Detlef Laugwitz, Curt Schmieden: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung. Mathematische Zeitschrift 69 (1958), S. 1–39.
• Abraham Robinson: Nonstandard Analysis. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. North-Holland, Amsterdam 1966.
• Wilhelmus Anthonius Josephus Luxemburg: A general Theory of Monads, in W. A. J. Luxemburg (Ed.): Applications of Model Theory of Algebra, Analysis and Probability. Holt, Rinehart & Winston, New York 1969, S. 18–86.
• Dieter Landers, Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis. Springer, Berlin 1994, ISBN 3-540-57115-9.
• Vladimir Kanovei, Michael Reeken: Nonstandard Analysis, Axiomatically. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-22243-X.
• Alain M. Robert: Nonstandard Analysis. Dover, New York 2003. ISBN 978-0-486-43279-3.
• Martin Davis: Applied Nonstandard Analysis. Dover, New York 2005. ISBN 978-0-486-44229-7.

Einzelnachweise

1. 1 2 Was ist Nichtstandardanalysis? Was sind hyperreelle Zahlen?, Edmund Weitz, HAW Hamburg, 2017-10-27. Insbesondere der Abschnitt über deren axiomatische Einführung.
2. 1 2 Elementary Calculus, An Infinitesimal Approach, H. Jerome Keisler, University of Wisconsin, 1976, revidiert 2018.
3. ↑ Curt Schmieden, Detlef Laugwitz: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung. In: Mathematische Zeitschrift. Band 69, Nr. 1, Dezember 1958, ISSN 0025-5874, S. 1–39, doi:10.1007/BF01187391 (springer.com [abgerufen am 27. Oktober 2022]). 
4. ↑ Christoph Esser: Die Anordnung auf den hyperreellen Zahlen, Vortrag zum Proseminar Nonstandard Analysis, 28.11.2012