Atomares Dipolmoment

Das atomare Dipolmoment ist definiert als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \vec p = - e \vec x} , wobei ${\displaystyle {\vec {x}}}$ vom Elektron zum Kern zeigt, sodass sich dieses zu

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-\mathrm {i} \beta \omega }}{\vec {E}}_{0}\exp(-\mathrm {i} \omega t).}$

ergibt.

Dielektrische Funktion

Mittels des Zusammenhangs zwischen dielektrischer Funktion ${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$ und der Polarisierbarkeit ${\displaystyle \alpha (\omega )}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=1+{\frac {N_{v}}{\varepsilon _{0}/\alpha (\omega )-N_{v}/3}}\\&=1+{\frac {N_{v}}{{\frac {\varepsilon _{0}E_{0}}{e}}{\frac {\exp(-\mathrm {i} \omega t)}{x(t)}}-N_{v}/3}}\end{aligned}}}$

erhält man: ${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1+{\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}-\mathrm {i} \beta \omega }}}$

mit

• ${\displaystyle N_{v}}$: Gitteratome pro Volumen (Teilchenzahldichte)
• ${\displaystyle \mathrm {i} }$: imaginäre Einheit
• ${\displaystyle \omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {1}{3}}N_{v}{\frac {e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}$: verschobene Resonanzfrequenz.

Die dielektrische Funktion lässt sich wie folgt in Realteil ${\displaystyle \varepsilon '}$ und Imaginärteil ${\displaystyle \varepsilon ''}$ trennen:

${\displaystyle \varepsilon (\omega )\equiv \varepsilon '(\omega )+\mathrm {i} \varepsilon ''(\omega )}$

mit

${\displaystyle \varepsilon '(\omega )=1+{\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}{\frac {\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}}{(\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}}$

und

${\displaystyle \varepsilon ''(\omega )={\frac {N_{v}e^{2}}{\varepsilon _{0}m}}{\frac {\beta \omega }{(\omega _{1}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}}$.

Streuquerschnitt

Der differentielle Wirkungsquerschnitt folgt aus der Larmor-Formel zu

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}{\frac {1}{c^{4}}}{\frac {|{\ddot {\vec {p}}}|^{2}}{E_{0}^{2}}}\sin ^{2}\theta =\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}\cdot {\frac {\omega ^{4}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}\sin ^{2}\theta }$

mit dem Winkel zwischen Beobachter und Dipol ${\displaystyle \theta }$ und dem Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$. Durch Integration über den Raumwinkel ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt:

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{6\pi \varepsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{m_{e}\,c^{2}}}\right)^{2}\cdot {\frac {\omega ^{4}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+\beta ^{2}\omega ^{2}}}}$

Aus dieser Formel ergibt sich mit den Grenzfällen ${\displaystyle \omega \ll \omega _{0}}$ die Rayleigh-Streuung, für ${\displaystyle \omega \approx \omega _{0}}$ die Resonanzfluoreszenz und für ${\displaystyle \omega \gg \omega _{0}}$ die Thomson-Streuung.