Bewegungsgleichung

Anhand der Kräfte wird im Folgenden die Bewegungsgleichung der Pendelschwingung aufgestellt.

Aufgrund der Schwerkraft (${\displaystyle F_{\mathrm {G} }=mg}$, ${\displaystyle g}$ = Schwerebeschleunigung) ergibt sich bei Auslenkung eines Fadenpendels der Masse ${\displaystyle m}$ eine Kraft ${\displaystyle F_{\text{tan}}(t)}$, die tangential zur kreisförmigen Pendelbahn wirkt. Die radiale Komponente spielt für die Bewegung keine Rolle, da sie in Richtung des Fadens wirkt. Da das mathematische Pendel nur einen Freiheitsgrad besitzt, genügt eine skalare Gleichung. Der Betrag der Rückstellkraft steigt mit dem Auslenkungswinkel ${\displaystyle \varphi }$ bezüglich der Ruhelage. Hierbei zeigt der Vektor der Rückstellkraft ${\displaystyle F_{\text{tan}}}$ immer in Richtung der Ruheposition, daher ergibt sich ein Minus in folgender Gleichung:

${\displaystyle F_{\text{tan}}(t)=-mg\cdot \sin \left(\varphi (t)\right)}$

Beim Betrachten eines schwingenden Fadenpendels zeigt sich, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Auslenkung abnimmt und nach Erreichen des Scheitelpunkts die Richtung wechselt. Die Geschwindigkeitsänderung bedeutet, dass die Pendelmasse eine Beschleunigung erfährt, genauer gesagt findet eine Tangentialbeschleunigung statt, da eine kreisförmige Bewegungsbahn vorliegt. Die Bewegungsgleichung lautet nach dem 2. Newtonschen Gesetz:

${\displaystyle m\cdot a_{\text{tan}}(t)=F_{\text{tan}}(t)}$

Die Tangentialbeschleunigung lässt sich durch die Winkelbeschleunigung ${\displaystyle {\ddot {\varphi }}}$ ausdrücken.

${\displaystyle a_{\text{tan}}(t)=l\cdot {\ddot {\varphi }}(t)}$

Bei der ungestörten Schwingung stellt die Rückstellkraft des Pendels die einzige äußere Kraft dar. Nach Umstellen und Kürzen der Masse entsteht eine nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

${\displaystyle m\cdot l\cdot {\ddot {\varphi }}(t)=-m\cdot g\cdot \sin \left(\varphi (t)\right)}$

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}(t)+{\frac {g}{l}}\cdot \sin \left(\varphi (t)\right)=0}$

die sich mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$ auch als System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung schreiben lässt:

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=\omega }$,

${\displaystyle {\dot {\omega }}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi }$.

Kleine Amplituden: Harmonische Schwingung

Für kleine Winkel gilt die Kleinwinkelnäherung:

${\displaystyle \sin(\varphi )\approx \varphi }$.

Durch Substitution ergibt sich somit eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}(t)+{\frac {g}{l}}\cdot \varphi (t)=0}$,

welche der allgemeinen Form ${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$ entspricht und somit deren allgemeine Lösung die Form ${\displaystyle x(t)=u\,\sin(\omega _{0}t+\phi )}$ besitzt. Daraus folgt für die Schwingungsgleichung:

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{\text{max}}\cdot \sin \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t+\alpha \right)}$

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle \varphi _{\text{max}}}$ die Winkelamplitude und ${\displaystyle \alpha }$ den Nullphasenwinkel zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$. Darüber hinaus sind die Eigenkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}}$ und die zugehörige Periodendauer ${\displaystyle T_{0}}$ ersichtlich.

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

Exakte Lösung

Da Pendel in der Realität immer mehr als infinitesimal ausgelenkt werden, verhalten sie sich nichtlinear, d. h., Schwingungen mit endlicher Amplitude sind anharmonisch. Die Lösung der allgemeinen Differentialgleichung erfordert den Einsatz elliptischer Funktionen und elliptischer Integrale.

Gegeben ist die Differentialgleichung

${\displaystyle \alpha (t)=-{\frac {g}{l}}\cdot \sin[\varphi (t)]}$.

Diese kann mittels der jacobischen elliptischen Funktionen ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ und ${\displaystyle K}$ gelöst werden. Die erhaltenen Formeln für Phase, Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung des Pendels lauten:

${\displaystyle \varphi (t)=2\cdot \arctan \left[\tan \left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)\cdot \operatorname {cn} \left[{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin \left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)\right]\right]}$,

${\displaystyle \omega (t)=-{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot \sin \left(\varphi _{\text{max}}\right)\cdot \operatorname {sd} \left[{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin \left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)\right]}$,

${\displaystyle \alpha (t)=-{\frac {g}{l}}\cdot \sin \left(\varphi _{\text{max}}\right)\cdot \operatorname {cd} \left[{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin \left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)\right]/\operatorname {dn} \left[{\sqrt {\frac {g}{l}}}\cdot t;\sin \left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)\right]}$

Der maximale Ausschlagswinkel ${\displaystyle \varphi _{\text{max}}}$ liegt unterhalb von ${\displaystyle \pi }$.

Die Periode ${\displaystyle T}$ der Pendelschwingung ergibt sich aus der Periodizität der Funktion ${\displaystyle \operatorname {cn} }$. So führt

${\displaystyle \operatorname {cn} \left[c(t+T);k\right]=\operatorname {cn} \left[c\cdot t+4K(k);k\right]}$

zu

${\displaystyle T(\varphi _{\text{max}})=4\cdot K\left[\sin \left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)\right]\cdot {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$.

Damit lässt sich die allgemeine Lösung für die Periode in eine Reihe entwickeln:

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\varphi _{\text{max}})&=T_{0}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{\left(2^{n}n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left(\varphi _{\text{max}}/2\right)\\&=T_{0}\cdot \left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\cdot \sin ^{4}\left({\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)+\dots \right)\end{aligned}}}$

Alternativ lässt sich das auftretende elliptische Integral auch über das arithmetisch-geometrische Mittel ${\displaystyle M}$ auswerten:

${\displaystyle T(\varphi _{\text{max}})=T_{0}\cdot {\frac {1}{M\left(1,\cos {\frac {\varphi _{\text{max}}}{2}}\right)}}}$

Außerdem ist die Dämpfung durch Reibungsverluste bei einem echten Pendel größer als null, so dass die Auslenkungen ungefähr exponentiell mit der Zeit abnehmen.

Dass die Periodendauer nicht von ${\displaystyle m}$, sondern nur von dem Verhältnis ${\displaystyle l/g}$ abhängt, lässt sich auch aus einer Dimensionsanalyse, z. B. mit dem buckinghamschen Π-Theorem, herleiten. Nur der numerische Faktor (${\displaystyle 2\pi }$ bei kleinen Amplituden, ${\displaystyle \textstyle M\left(1,\cos {\tfrac {\hat {\varphi }}{2}}\right)}$ in der exakten Lösung) ist so nicht zu ermitteln.

Der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ als explizite Funktion der Zeit ${\displaystyle t}$ mit Startwinkel ${\displaystyle \varphi _{0}}$ und (positiver) Startgeschwindigkeit ${\displaystyle {\hat {\omega }}}$ lautet

${\displaystyle \varphi (t)=2\operatorname {am} {\Bigg (}{\frac {2l\cdot \operatorname {F} {\Big (}{\frac {\varphi _{0}}{2}}{\Big |}{\frac {4g}{\xi }}{\Big )}-{\sqrt {l\cdot \xi }}\cdot t}{2l}}{\Bigg |}{\frac {4g}{\xi }}{\Bigg )}}$

mit ${\displaystyle \xi =2g+l\cdot {\hat {\omega }}^{2}-2g\cdot \cos(\varphi _{0})}$, wobei ${\displaystyle \operatorname {am} }$ die Jacobi-Amplitude und ${\displaystyle \operatorname {F} }$ das elliptische Integral erster Art ist (hier sind die elliptischen Module ${\displaystyle 2{\sqrt {g/\xi }}}$ in Mathematica-Konvention bereits quadriert angegeben). Bei negativem ${\displaystyle {\hat {\omega }}}$ kann die Situation einfach gespiegelt werden, indem das Vorzeichen des Startwinkels vertauscht wird. Mit ${\displaystyle {\hat {\omega }}=0}$ und kleinen Werten von ${\displaystyle t}$ (auf dem Hauptzweig der Jacobi-Amplitude) ist dieser Ausdruck dem ${\displaystyle \varphi }$ äquivalent, das mithilfe des Arcustangens und der Jacobi-cn-Funktion berechnet wurde (s. o.).

Numerische Lösung

Durch numerische Integration der beiden Differentialgleichungen 1. Ordnung lässt sich eine Näherungslösung rekursiv berechnen. Mit dem einfachsten Integrationsverfahren (Euler explizit) und der Schrittweite ${\displaystyle h}$ ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit:

${\displaystyle \omega _{k+1}=\omega _{k}-{\frac {g\cdot h}{l}}\cdot \sin \varphi _{k}\quad k=(0,1,2,\cdots ,k_{\text{max}})}$

Für den Winkel kann die zuvor berechnete Winkelgeschwindigkeit benutzt werden:

${\displaystyle \varphi _{k+1}=\varphi _{k}+h\cdot \omega _{k+1}}$

Die Anfangswerte für Winkelgeschwindigkeit und Winkel sind dem Index ${\displaystyle k=0}$ zugeordnet.

Die Genauigkeit der Lösung lässt sich durch Simulation über mehrere Perioden und Anpassung der Schrittweite überprüfen. Dieses Verfahren ist in der Physik auch als Methode der kleinen Schritte bekannt.