Scharfe RD-Analyse

Das zugrundeliegende „wahre Modell“ sei

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{D}D+\beta _{X}X+U}$

wobei ${\displaystyle D}$ eine Indikatorvariable ist, die angibt, ob eine Person „behandelt“ wurde oder nicht. Im obigen Beispiel wäre ${\displaystyle D}$ also „ist in einer kleinen Klasse“, ${\displaystyle X}$ wäre „Anzahl Schüler an der Schule“. ${\displaystyle X=c}$ sei die Stelle, an der die Diskontinuität liege, also im obigen Beispiel ${\displaystyle 40}$. Dann sind

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X=c)=\beta _{0}+\beta _{D}+\beta _{X}c+\operatorname {E} (U\mid X=c)}$

Unter der Annahme, dass ${\displaystyle \operatorname {E} (U\mid X)}$ stetig ist, gilt ferner für den linksseitigen Grenzwert:

${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}\operatorname {E} (Y\mid X=x)=\beta _{0}+\beta _{X}c+\operatorname {E} (U\mid X=c)}$

(wobei ${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}}$ den Grenzwert links der Diskontinuität darstellen soll) Dann ist

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X=c)-\lim _{x\to c^{-}}\operatorname {E} (Y\mid X=x)=\beta _{D}}$, der Effekt der Behandlung kann also als Differenz der beiden Erwartungswerte ausgedrückt werden.

Geschätzt werden können diese Erwartungswerte zum Beispiel, indem die Daten umskaliert werden, sodass ${\displaystyle c}$ der Nullpunkt ist und anschließend links und rechts davon zwei Kleinste-Quadrate-Schätzungen durchgeführt werden. Die Differenz der Erwartungswerte kann dann als Differenz der beiden Konstanten der Kleinste-Quadrate-Schätzungen berechnet werden. Alternativ ist auch eine Schätzung durch eine einzige Kleinste-Quadrate-Schätzung mit entsprechenden Interaktionstermen möglich.

Falls der Effekt der Behandlung für verschiedene Individuen unterschiedlich ist, kann gezeigt werden, dass die scharfe RD-Analyse den durchschnittlichen Behandlungseffekt (englisch average treatment effect), ${\displaystyle \operatorname {E} (\beta _{Di})}$ angibt.

Unscharfe RD-Analyse

Das zugrundeliegende wahre Modell sei wieder

${\displaystyle Y=\beta _{0}+\beta _{D}D+\beta _{X}X+U}$

Allerdings ist nun

${\displaystyle D=\gamma _{Z}Z+\gamma _{X}X+V}$

Wobei Z keinen direkten Effekt auf Y hat. Dann kann berechnet werden

${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X=c)-\lim _{x\to c^{-}}\operatorname {E} (Y\mid X=x)=\beta _{D}(\operatorname {E} (D\mid X=c)-\lim _{x\to c^{-}}\operatorname {E} (D\mid X=x))}$

und folglich

${\displaystyle \beta _{D}={\frac {\operatorname {E} (Y\mid X=c)-\lim _{x\to c^{-}}\operatorname {E} (Y\mid X=x)}{\operatorname {E} (D\mid X=c)-\lim _{x\to c^{-}}\operatorname {E} (D\mid X=x)}}}$.

Geschätzt werden kann die unscharfe RD-Analyse wie eine Instrumentvariablenschätzung, mit ${\displaystyle Z}$ als Instrument für ${\displaystyle D}$. Dabei wird zuerst ${\displaystyle D}$ auf ${\displaystyle Z}$ regressiert. Die dadurch gewonnenen geschätzten Werte ${\displaystyle {\hat {D}}}$ werden dann in einer zweiten Regression als erklärende Variablen für ${\displaystyle Y}$ benutzt (siehe auch Mathematischer Hintergrund zu Instrumentvariablen).