Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole $\sinh$ bzw. $\cosh$ , in älteren Quellen auch ${\mathfrak {Sin}}$ und ${\mathfrak {Cos}}.$ Die Kurve, die ein an zwei Punkten aufgehängtes Seil einheitlicher Längendichte beschreibt, ist ein Kosinus hyperbolicus. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Definitionen

Sinus hyperbolicus

\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=-\mathrm {i} \,\sin(\mathrm {i} \,x)

Kosinus hyperbolicus

\cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cos(\mathrm {i} \,x)

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion

\exp x=\cosh x+\sinh x

.

Der Quotient dieser beiden Funktionen wird Tangens hyperbolicus genannt:

\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}

Eigenschaften

	Sinus hyperbolicus	Kosinus hyperbolicus
Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$	$-\infty <x<+\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<+\infty$	$1\leq f(x)<+\infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	$-\infty <x\leq 0$ streng monoton fallend $0\leq x<\infty$ streng monoton steigend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Ursprung	Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische Funktionen	$a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty$	$a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty$
Asymptotische Funktionen	$a_{2}(x)=-{\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty$	$a_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	Minimum bei $x=0$
Wendestellen	$x=0$	keine

Spezielle Werte

\sinh(\ln \Phi )={\tfrac {1}{2}}

mit dem goldenen Schnitt

\Phi

\cosh(\ln \Phi )={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}

Uneigentliche Integrale

Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\cosh(x)}}={\biggl \{}\arctan {\bigl [}\sinh(x){\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=\pi .

Die in den geschweiften Klammern stehende Funktion wird Gudermannsche Funktion $\mathrm {gd} (x)=\arctan[\sinh(x)]$ genannt.

Außerdem gilt für die Quadratwurzel:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh(x)}}}={\biggl \{}2\,\mathrm {arcsl} {\bigl [}\tanh {\bigl (}{\frac {1}{2}}x{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }=2\varpi

Die Bezeichnung $\mathrm {arcsl}$ steht für den Lemniskatischen Arkussinus und mit dem Kürzel $\varpi$ wird die Lemniskatische Konstante ausgedrückt.

Für den Kehrwert des kardinalisierten Sinus Hyperbolicus gilt folgendes uneigentliches Integral:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\,\mathrm {d} x}{\sinh(x)}}={\biggl \{}2\,\mathrm {Li} _{2}{\bigl [}\tanh {\bigl (}{\frac {1}{2}}x{\bigr )}{\bigr ]}-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}{\bigl [}\tanh {\bigl (}{\frac {1}{2}}x{\bigr )}^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=-\infty }^{x=\infty }={\frac {1}{2}}\pi ^{2}

Die Bezeichnung $\mathrm {Li} _{2}$ stellt den Dilogarithmus dar.

Umkehrfunktionen

Der Sinus hyperbolicus bildet $\mathbb {R}$ bijektiv auf $\mathbb {R}$ ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.

Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall $[0,+\infty [$ bijektiv auf das Intervall $[1,+\infty [$ und lässt sich eingeschränkt auf $[0,+\infty [$ also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\

.

\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\

.

Ableitungen

Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh x&=\sinh x\end{aligned}}

Stammfunktionen

{\begin{aligned}\int \sinh x\,\mathrm {d} x&=\cosh x+C\\\int \cosh x\,\mathrm {d} x&=\sinh x+C\end{aligned}}

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)

\cosh ^{2}x\!\;-\sinh ^{2}x=1

\cosh x\,\;+\sinh x\,\,=e^{x}

(Eulersche Identität)

\cosh x\,\;-\sinh x\,\,=e^{-x}

\cosh({\rm {arsinh}}(x))={\sqrt {x^{2}+1}}

\sinh({\rm {arcosh}}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}

(Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme

{\begin{aligned}\sinh(x\pm y)&=\sinh x\cosh y\pm \cosh x\sinh y\\\cosh(x\pm y)&=\cosh x\cosh y\pm \sinh x\sinh y\end{aligned}}

insbesondere gilt für $y:=x$ :

{\begin{aligned}\sinh 2x&=2\cdot \sinh x\cosh x\ \\\cosh 2x&=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cdot \cosh ^{2}x-1=2\cdot \sinh ^{2}x+1\end{aligned}}

und für $y:=2x$ :

{\begin{aligned}\sinh 3x&=4\cdot \sinh ^{3}x+3\sinh x\ \\\cosh 3x&=4\cdot \cosh ^{3}x-3\cosh x\end{aligned}}

Summenformeln

{\begin{aligned}\sinh x\pm \sinh y&=2\sinh {\frac {x\pm y}{2}}\cosh {\frac {x\mp y}{2}}\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh {\frac {x+y}{2}}\cosh {\frac {x-y}{2}}\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh {\frac {x+y}{2}}\sinh {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}

Potenzen

{\begin{aligned}\sinh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)-1{\Big )}\\\cosh ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\cosh(2x)+1{\Big )}\end{aligned}}

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt $x=0$ lautet:

{\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\dotsb \\\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\dotsb \end{aligned}}

Produktentwicklungen

{\begin{aligned}&\sinh x=x\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)\\&\cosh x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)\end{aligned}}

Multiplikationsformeln

Sei $n\in \mathbb {N}$ . Dann gilt für alle komplexen $z$ :

{\begin{aligned}&\sinh z={\left({\frac {2}{\mathrm {i} }}\right)}^{\!\!n-1}\,\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sinh {\frac {z+k\,\pi \,\mathrm {i} }{n}}\\&\cosh z=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\cosh {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi \,\mathrm {i} }{n}}\end{aligned}}

Komplexe Argumente

Mit $x,y\in \mathbb {R}$ gilt:

{\begin{aligned}\sinh(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos y\,\sinh x+\mathrm {i} \sin y\,\cosh x\\\cosh(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos y\,\cosh x+\mathrm {i} \sin y\,\sinh x\\\sin(x+\mathrm {i} \,y)&=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y\\\cos(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y\\\end{aligned}}

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit $z=x+\mathrm {i} \,y$ gilt

${\begin{aligned}\exp(\mathrm {i} \,z)&=\cos(x+\mathrm {i} \,y)+\mathrm {i} \sin(x+\mathrm {i} \,y)\\&=\exp(\mathrm {i} \,(x+\mathrm {i} \,y))\\&=\exp(\mathrm {i} \,x)\,\exp(\mathrm {i} \,(\mathrm {i} \,y))\\&=(\cos x\,\cos(\mathrm {i} \,y)-\sin x\,\sin(\mathrm {i} \,y))+\mathrm {i} \,(\cos x\,\sin(\mathrm {i} \,y)+\sin x\,\cos(\mathrm {i} \,y))\\&=(\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y)+\mathrm {i} \,(\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y)\\\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

${\begin{aligned}\cos(x+\mathrm {i} \,y)&=\cos x\,\cosh y-\mathrm {i} \sin x\,\sinh y\\\sin(x+\mathrm {i} \,y)&=\sin x\,\cosh y+\mathrm {i} \cos x\,\sinh y\\\end{aligned}}$

Anwendungen

Lösung einer Differentialgleichung

Die Funktion

f(x)=a\cdot \sinh x+b\cdot \cosh x

mit

a,b\in \mathbb {R}

löst die Differentialgleichung

f''(x)-f(x)=0\

.

Kettenlinie

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation

Mit Hilfe der Rapidität $\lambda$ kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

L={\begin{pmatrix}\cosh \lambda &-\sinh \lambda &0&0\\-\sinh \lambda &\cosh \lambda &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie

Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch

a(t)=\left({\sqrt {\frac {1-\Omega _{\Lambda ,0}}{\Omega _{\Lambda ,0}}}}\sinh \left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)\right)^{2/3}

,

wobei

t_{\mathrm {ch} }={\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}}

eine charakteristische Zeitskala ist. $H_{0}$ ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, $\Omega _{\Lambda ,0}$ der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:

\Omega _{M}(t)=\cosh ^{-2}\left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)

Cardanische Formeln

Die sogenannten Cardanischen Formeln dienen zum Lösen von kubischen Gleichungen. Diese Formeln wurden nach dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano benannt. Das Verdreifachungstheorem des Sinus Hyperbolicus lautet wie folgt:

\sinh(3a)=4\sinh(a)^{3}+3\sinh(a)

Abgewandelt gilt somit:

y=4\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (y){\bigr ]}^{3}+3\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} (y){\bigr ]}

Für den Allgemeinfall der durch kubische Ergänzung reduzierten kubischen Gleichung kann mit diesem Theorem aufgelöst werden:

Gegeben ist folgende Formel:

x^{3}+rx=s

4{\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{r}}}\,x{\Bigr )}^{3}+3{\Bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{r}}}\,x{\Bigr )}={\frac {3{\sqrt {3}}\,s}{2\,r^{3/2}}}

Substitutiv wird diese nun entstandene Form auf das Verdreifachungstheorem übertragen:

{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{r}}}\,x=\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3{\sqrt {3}}\,s}{2\,r^{3/2}}}{\biggr )}{\biggr ]}

Falls r eine positive Zahl ist, gilt somit folgendes Paar aus Gleichung und Lösung:

$x^{3}+rx=s$	$x={\frac {2}{3}}{\sqrt {3\,r}}\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3{\sqrt {3}}\,s}{2\,r^{3/2}}}{\biggr )}{\biggr ]}$

So gilt beispielsweise für den Kehrwert der Supergoldenen Zahl dieser Ausdruck:

$x^{3}+x=1$	$x={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}{\biggr )}{\biggr ]}$

Wenn der Koeffizient des linearen Gliedes von 1 auf 2 abgeändert wird, dann entsteht folgende Gleichung mit folgender reeller Lösung:

$x^{3}+2x=1$	$x={\frac {2}{3}}{\sqrt {6}}\sinh {\biggl [}{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} {\biggl (}{\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}{\biggr )}{\biggr ]}$

Auch die quartischen Gleichungen können für den Allgemeinfall vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen gelöst werden:

Ebenso soll hierfür ein Beispiel angeführt werden:

$x^{4}=x+1$
$x={\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{4}]{27}}{\sqrt {\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}{\sqrt[{4}]{3}}{\sqrt {{\text{csch}}{\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sinh {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}\operatorname {arsinh} ({\tfrac {3}{16}}{\sqrt {3}}){\bigr ]}}}$

Im Gegensatz zum Regelfall der Gleichungen dritten Grades und vierten Grades kann der Regelfall der Gleichungen fünften Grades nicht elementar dargestellt werden. Diese Tatsache wird durch den Satz von Abel-Ruffini ausgedrückt und wurde ebenso durch den Mathematiker Évariste Galois erforscht. Die Lösungen derjenigen quintischen Gleichungen aber, welche sehr wohl mit elementaren Wurzelausdrücken gelöst werden können, lassen sich stark vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen und ihren Umkehrfunktionen darstellen. Im Folgenden sollen hierfür zwei solche qunitischen Gleichungen mit ihren hyperbolisch dargestellten Lösungen gezeigt werden:

Erstes Beispiel:

$x^{5}+280x=1344$
$x=2^{7/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{1/2}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}2^{1/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{-3/2}(2{\sqrt {2}}+1){\biggr ]}{\biggr \}}-2^{7/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{1/2}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}2^{1/4}{\bigl (}{\frac {7}{5}}{\bigr )}^{-3/2}(2{\sqrt {2}}-1){\biggr ]}{\biggr \}}$

Zweites Beispiel:

$x^{5}+11x=44$
$x=2{\sqrt {11}}\,5^{-3/4}\cosh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arcosh} {\biggl [}5^{7/4}11^{-3/2}(2{\sqrt {5}}+3){\biggr ]}{\biggr \}}-2{\sqrt {11}}\,5^{-3/4}\sinh {\biggl \{}{\frac {1}{5}}\operatorname {arsinh} {\biggl [}5^{7/4}11^{-3/2}(2{\sqrt {5}}-3){\biggr ]}{\biggr \}}$

Siehe auch

Weblinks

Eric W. Weisstein: Hyperbolic Sine und Hyperbolic Cosine auf MathWorld (engl.)

Einzelnachweise

↑ Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.

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[1] Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.