Beispiele

• Die ersten Smarandache-Zahlen sind die folgenden:

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 12345678910, 1234567891011, 123456789101112, … (Folge A007908 in OEIS)

• Die Anzahl der Stellen der ersten Smarandache-Zahlen sind die folgenden:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, … (Folge A058183 in OEIS)

• Die ersten Smarandache-Zahlen im Dualsystem sind die folgenden:

0, 1, 110, 11011, 11011100, 11011100101, 11011100101110, 11011100101110111, 110111001011101111000, 1101110010111011110001001, … (Folge A058935 in OEIS)

• Die ersten Champernowne-Zahlen sind die folgenden:

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567891, 12345678910, 123456789101, 1234567891011, 12345678910111, 123456789101112, 1234567891011121, … (Folge A252043 in OEIS)

• Die ersten Champernowne-Primzahlen sind die folgenden:

1234567891, 12345678910111, 123456789101112131415161, … (Folge A176942 in OEIS)

• Die Anzahl der Stellen der ersten Champernowne-Primzahlen sind die folgenden:

10, 14, 24, 235, 2804, 4347, 37735, … (Folge A071620 in OEIS)

Die achte (noch nicht entdeckte) Champernowne-Primzahl wird mehr als 37800 Stellen haben.

Faktorisierung von Smarandache-Zahlen

Die folgende Tabelle gibt die Primfaktoren der ersten 30 Smarandache-Zahlen an.

${\displaystyle n}$ Faktorisierung von ${\displaystyle Sm(n)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3\cdot 41}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2\cdot 617}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 823}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2^{6}\cdot 3\cdot 643}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 127\cdot 9721}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 2\cdot 3^{2}\cdot 47\cdot 14593}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 3^{2}\cdot 3607\cdot 3803}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 2\cdot 5\cdot 1234567891}$ ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle 3\cdot 7\cdot 13\cdot 67\cdot 107\cdot 630803}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 2437\cdot 2110805449}$ ${\displaystyle 13}$ ${\displaystyle 113\cdot 125693\cdot 869211457}$ ${\displaystyle 14}$ ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 205761315168520219}$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 8230452606740808761}$

${\displaystyle n}$ Faktorisierung von ${\displaystyle Sm(n)}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 2^{2}\cdot 2507191691\cdot 1231026625769}$ ${\displaystyle 17}$ ${\displaystyle 3^{2}\cdot 47\cdot 4993\cdot 584538396786764503}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle 2\cdot 3^{2}\cdot 97\cdot 88241\cdot 801309546900123763}$ ${\displaystyle 19}$ ${\displaystyle 13\cdot 43\cdot 79\cdot 281\cdot 1193\cdot 833929457045867563}$ ${\displaystyle 20}$ ${\displaystyle 2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 323339\cdot 3347983\cdot 2375923237887317}$ ${\displaystyle 21}$ ${\displaystyle 3\cdot 17\cdot 37\cdot 43\cdot 103\cdot 131\cdot 140453\cdot 802851238177109689}$ ${\displaystyle 22}$ ${\displaystyle 2\cdot 7\cdot 1427\cdot 3169\cdot 85829\cdot 2271991367799686681549}$ ${\displaystyle 23}$ ${\displaystyle 3\cdot 41\cdot 769\cdot 13052194181136110820214375991629}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 978770977394515241\cdot 1501601205715706321}$ ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle 5^{2}\cdot 15461\cdot 31309647077\cdot 1020138683879280489689401}$ ${\displaystyle 26}$ ${\displaystyle 2\cdot 3^{4}\cdot 21347\cdot 2345807\cdot 982658598563\cdot 154870313069150249}$ ${\displaystyle 27}$ ${\displaystyle 3^{3}\cdot 19^{2}\cdot 4547\cdot 68891\cdot 40434918154163992944412000742833}$ ${\displaystyle 28}$ ${\displaystyle 2^{3}\cdot 47\cdot 409\cdot 416603295903037\cdot 192699737522238137890605091}$ ${\displaystyle 29}$ ${\displaystyle 3\cdot 859\cdot 24526282862310130729\cdot 19532994432886141889218213}$ ${\displaystyle 30}$ ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot 13\cdot 49269439\cdot 370677592383442753\cdot 17333107067824345178861}$

Verallgemeinerungen

Weil es keine bekannten Smarandache-Primzahlen gibt, werden Verallgemeinerungen gesucht.

Wenn man ${\displaystyle k}$ aufeinanderfolgende Zahlen hintereinander aufschreibt, aber nicht unbedingt mit ${\displaystyle n=1}$, sondern auch mit ${\displaystyle n=2}$ oder ${\displaystyle n=3}$ etc. beginnt, erhält man Primzahlen. Wie lautet die kleinste Primzahl, die so erzeugt werden kann, wenn man mit ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ beginnt? Die folgende Liste gibt Auskunft (wenn es keine bekannte Primzahl gibt, wird 0 angegeben):

0, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 179, 0, 1, 2, 1, 4, 5, 28, 1, 3590, 1, 4, 0, 0, 1, 0, 25, 122, 0, 46, 1, 0, 1, 0, 71, 4, 569, 2, 1, 20, 5, 0, 1, 2, 1, 8, 0, 0, 1, 0, 193, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 5, 4, 1, 0, 1, 2, 0, 4, 5, 938, 1, 2, 119, 58, 1, 116, 1, 0, 125, 346, 5, 2, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 32, … (Folge A244424 in OEIS)

Beispiel 1: An der 1. Stelle der obigen Liste steht eine ${\displaystyle 0}$.

Somit ist im Moment noch keine Primzahl bekannt, die mit ${\displaystyle p=1\mathbf {2} 3\mathbf {4} 5\ldots }$ beginnt.

Beispiel 2: An der 15. Stelle der obigen Liste steht eine ${\displaystyle 5}$.

Somit ist die Zahl ${\displaystyle p=15\mathbf {16} 17\mathbf {18} 19\in \mathbb {P} }$ die kleinste Primzahl, die mit ${\displaystyle 15}$ beginnt und mit den darauffolgenden Zahlen weitergeht.

Beispiel 3: An der 18. Stelle der obigen Liste steht die Zahl ${\displaystyle 3590}$.

Somit ist die Zahl ${\displaystyle p=18\mathbf {19} 20\mathbf {21} 22\ldots 3607\in \mathbb {P} }$ die kleinste Primzahl, die mit ${\displaystyle 18}$ beginnt und mit den darauffolgenden Zahlen weitergeht. Sie endet, wie man sieht, mit der Zahl ${\displaystyle 3607}$ und hat ${\displaystyle 13296}$ Stellen.

Beispiel 4: An der 21. Stelle der obigen Liste steht eine ${\displaystyle 0}$.

Somit ist im Moment noch keine Primzahl bekannt, die mit ${\displaystyle p=21\mathbf {22} 23\mathbf {24} 25\ldots }$ beginnt.

Sei ${\displaystyle S(n,k)}$ die Zahl, die mit ${\displaystyle 123456\ldots }$ beginnt, die Dezimalzahlen 1, 2, 3, …, k beinhaltet, aber bei der die n-te Zahl fehlt (zum Beispiel ist ${\displaystyle S(4,9)=12356789}$). Dann sind die kleinsten ${\displaystyle k}$, für die ${\displaystyle S(n,k)}$ eine Primzahl ist, die folgenden (wenn es keine bekannte Primzahl gibt, wird 0 angegeben):

2, 3, 7, 9, 11, 7, 11, 1873, 19, 14513, 13, 961, 0, 653, 0, 5109, 493, 757, 29, 1313, … (Folge A262300 in OEIS)

Beispiel 1: An der ${\displaystyle 3}$. Stelle der obigen Liste steht eine ${\displaystyle 7}$.

Somit ist die Zahl ${\displaystyle S(3,7)=p=124567\in \mathbb {P} }$ die kleinste Primzahl, bei der die ${\displaystyle 3}$ fehlt, aber die sonst alle Ziffern von ${\displaystyle 1}$ weg beinhaltet.

Beispiel 2: An der ${\displaystyle 9}$. Stelle der obigen Liste steht die Zahl ${\displaystyle 19}$.

Somit ist die Zahl ${\displaystyle S(9,19)=p=1234567810111213141516171819\in \mathbb {P} }$ die kleinste Primzahl, bei der die ${\displaystyle 9}$ fehlt, aber die sonst alle Zahlen von ${\displaystyle 1}$ weg beinhaltet.

Beispiel 3: An der ${\displaystyle 13}$. Stelle der obigen Liste steht die Zahl ${\displaystyle 0}$.

Somit ist keine Zahl der Form ${\displaystyle S(13,k)=123456789101112141516171819\ldots k}$ bekannt, die prim ist.

Ungelöste Probleme

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Smarandache-Primzahlen gibt, es wurde aber noch keine einzige gefunden (Stand: Dezember 2016). Unter den ersten 344.869 Smarandache-Zahlen gibt es auf jeden Fall keine Smarandache-Primzahlen.