Titanische Primzahl

Der Begriff titanische Primzahl (englisch titanic prime (number)) wurde von Samuel Yates geprägt und bezeichnet eine Primzahl mit mindestens 1000 Dezimalstellen.
Die kleinsten titanischen Primzahlen haben exakt 1000 Stellen, sind von der Form $p=10^{999}+n$ und haben folgendes $n$ :

n

= 7, 663, 2121, 2593, 3561, 4717, 5863, 9459, 11239, 14397, 17289, 18919, 19411, 21667, 25561, 26739, 27759, 28047, 28437, 28989, 35031, 41037, 41409, 41451, 43047, 43269, 43383, 50407, 51043, 52507, 55587, 59877, 61971, 62919, 63177, … (Folge A074282 in OEIS)

Die ersten beiden titanischen Primzahlen wurden am 3. November 1961 von Alexander Hurwitz entdeckt. Es waren die beiden Mersenne-Primzahlen $M_{4253}=2^{4253}-1$ mit 1281 Stellen und $M_{4423}=2^{4423}-1$ mit 1332 Stellen. Die Primalität von $M_{4253}$ wurde an diesem Tag als erstes berechnet, Hurwitz hat aber am Computer die Ausgabe von $M_{4423}$ wenige Sekunden vor $M_{4253}$ als erstes bemerkt. Dadurch entstand eine kurze Diskussion zwischen Selfridge und Hurwitz darüber, welche Primzahl somit als erste entdeckt wurde. Offiziell ist es $M_{4423}$ .

Jemand, der eine titanische Primzahl entdeckt hat, ist nach Samuel Yates ein Titan (englisch titan).

Arten

Gigantische Primzahl

Eine gigantische Primzahl (englisch gigantic prime (number)) ist eine Primzahl mit mindestens 10.000 Dezimalstellen. Dieser Name wurde erstmals im Jahr 1992 im Artikel Collecting gigantic and titanic primes von Samuel Yates erwähnt.

Die erste gigantische Primzahl wurde am 8. April 1979 von Harry L. Nelson and David Slowinski entdeckt. Es war die Mersenne-Primzahl $M_{44497}=2^{44497}-1$ mit 13.395 Stellen.

Die kleinsten gigantischen Primzahlen haben exakt 10.000 Stellen, sind von der Form $p=10^{9999}+n$ und haben folgendes $n$ :

n

= 33603, 55377, 70999, 78571, 97779, 131673, 139579, 236761, 252391, 282097, 333811, 342037, 355651, 359931, 425427, 436363, 444129, 473143, 479859, 484423, 515787, 543447, 680979, 684273, 709053, 709431, 780199, 781891, 788527, 813019, … (Folge A142587 in OEIS)

Heutzutage kann man mit einem normalen PC mehrere (ähnlich kleine) gigantische Primzahlen pro Tag entdecken.

Megaprimzahl

Eine Megaprimzahl (englisch megaprime (number)) ist eine Primzahl mit mindestens 1.000.000 Dezimalstellen.

Die erste Megaprimzahl wurde am 1. Juni 1999 von Nayan Hajratwala entdeckt. Es war die Mersenne-Primzahl $M_{6972593}=2^{6972593}-1$ mit 2.098.960 Stellen.

Es sind zurzeit 2297 Megaprimzahlen und 112 PRP-Zahlen mit mindestens einer Million Stellen bekannt (Stand: 15. Oktober 2023).

Bevaprimzahl

Eine Bevaprimzahl (englisch bevaprime (number)) ist eine Primzahl mit (mindestens) 1.000.000.000 (= 1 Milliarde, engl. 1 billion) Dezimalstellen. Sie wird auch Gigaprimzahl genannt, allerdings ist die Verwechslungsgefahr mit „gigantischer Primzahl“ in diesem Falle recht hoch. Die Bezeichnung Bevaprimzahl wurde von Chris Caldwell spätestens seit Ende 2003 verwendet, er hat diese Bezeichnung jedoch zwischen 1. und 22. Januar 2016 wieder aus dem Artikel "The Largest Known Prime by Year: A Brief History" entfernt.

Es sind zwar noch keine Bevaprimzahlen bekannt, trotzdem weiß man, dass fast alle Primzahlen Bevaprimzahlen sind. Dies liegt daran, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe Satz von Euklid), aber nur endlich viele von diesen weniger als eine Milliarde Dezimalstellen haben. Es müssen also alle „restlichen“ Primzahlen mehr als eine Milliarde Stellen haben.

Primzahlrekorde

Es folgt eine Liste der kleinsten und größten (bekannten) Primzahlen der obigen Formen. Einige davon sind allerdings Zahlen, die sehr viele Eigenschaften einer Primzahl erfüllen, bei denen man aber noch nicht ganz sicher ist, ob es sich tatsächlich um Primzahlen oder doch „nur“ um Pseudoprimzahlen handelt. Solche „wahrscheinlichen Primzahlen“ nennt man PRP-Zahlen (Stand: 17. Dezember 2021).

Zahl	Status	Rekord	Form	Dezimalstellen	Entdeckungsdatum	Entdecker
$10^{999}-6101$	prim	größte nicht-titanische Primzahl	---	999	?	?
$10^{999}+7$	prim	kleinste titanische Primzahl	titanisch	1000	?	?
$10^{9999}-11333$	prim	größte titanische, aber nicht gigantische Primzahl	titanisch	9.999	?	?
$10^{9999}+33603$	prim	kleinste gigantische Primzahl	gigantisch	10.000	August 2003	Jens Franke, Thorsten Kleinjung, Tobias Wirth
$10^{99999}-59511$	PRP	größte PRP-Zahl mit weniger als 100.000 Stellen	gigantisch	99.999	Juli 2009	Patrick De Geest
$10^{99999}+309403$	PRP	kleinste PRP-Zahl mit mindestens 100.000 Stellen	gigantisch	100.000	Januar 2004	Daniel Heuer
$10^{999999}-1022306\cdot 10^{287000}-1$	prim	größte gesicherte gigantische Primzahl, die nicht Megaprimzahl ist	gigantisch	999.999	10. September 2021	Ryan Propper, Serge Batalov
$10^{999999}-172473$	PRP	größte gigantische PRP-Zahl, die nicht Megaprimzahl ist	gigantisch	999.999	Dezember 2016	Patrick De Geest
$10^{999999}+593499$	PRP	kleinste PRP-Zahl mit mindestens 1.000.000 Stellen	Megaprimzahl	1.000.000	Februar 2013	Peter Kaiser
$10^{999999}+308267\cdot 10^{292000}+1$	prim	kleinste gesicherte Megaprimzahl	Megaprimzahl	1.000.000	19. Februar 2021	Serge Batalov
$2^{32582657}-1$	prim	größte bekannte Megaprimzahl mit weniger als 10.000.000 Stellen	Megaprimzahl, 44. Mersenne-Primzahl M_32582657	9.808.358	4. September 2006	Curtis Cooper, Steven R. Boone
$2^{37156667}-1$	prim	kleinste bekannte Megaprimzahl mit mindestens 10.000.000 Stellen	Megaprimzahl, 45. Mersenne-Primzahl M_37156667	11.185.272	6. September 2008	Hans-Michael Elvenich
$2^{82589933}-1$	prim	größte bekannte Megaprimzahl	Megaprimzahl, evtl. 51. Mersenne-Primzahl M_82589933	24.862.048	21. Dezember 2018	Patrick Laroche

Der nächsten Liste kann man die bisher 10 größten bewiesenen Primzahlen entnehmen. Die meisten davon sind Mersenne-Primzahlen, allesamt sind Megaprimzahlen (Stand: 16. Oktober 2023).

Rang	Primzahl	Eigenschaft	Dezimalstellen	Entdeckungsdatum	Entdecker
1.	$2^{82589933}-1$	evtl. 51. Mersenne-Primzahl $M_{82589933}$	24.862.048	21. Dezember 2018	Patrick Laroche
2.	$2^{77232917}-1$	evtl. 50. Mersenne-Primzahl $M_{77232917}$	23.249.425	3. Januar 2018	Jonathan Pace
3.	$2^{74207281}-1$	evtl. 49. Mersenne-Primzahl $M_{74207281}$	22.338.618	19. Januar 2016	Curtis Cooper
4.	$2^{57885161}-1$	evtl. 48. Mersenne-Primzahl $M_{57885161}$	17.425.170	5. Februar 2013	Curtis Cooper
5.	$2^{43112609}-1$	47. Mersenne-Primzahl $M_{43112609}$	12.978.189	23. August 2008	Edson Smith
6.	$2^{42643801}-1$	46. Mersenne-Primzahl $M_{42643801}$	12.837.064	13. Juni 2009	Odd Magnar Strindmo
7.	$\Phi (3,-465859^{1048576})=465859^{2097152}-465859^{1048576}+1$	größte verallgemeinerte einzigartige Primzahl	‎11.887.192	31. Mai 2023	Ryan Propper, Serge Batalov
8.	$2^{37156667}-1$	45. Mersenne-Primzahl $M_{37156667}$	11.185.272	6. September 2008	Hans-Michael Elvenich
9.	$2^{32582657}-1$	44. Mersenne-Primzahl $M_{32582657}$	09.808.358	4. September 2006	Curtis Cooper, Steven R. Boone
10.	$10223\cdot 2^{31172165}+1$	größte Colbert-Zahl (Nachweis, dass $k=10223$ keine Sierpiński-Zahl ist, siehe auch Seventeen or Bust)	09.383.761	31. Oktober 2016	Péter Szabolcs

Weblinks

Chris K. Caldwell: Smallest Titanics of Special Forms.

Quellen

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formelbasiert	Carol ((2ⁿ − 1)² − 2) \| Doppelte Mersenne (2^{2^p − 1} − 1) \| Fakultät (n! ± 1) \| Fermat (2^2ⁿ + 1) \| Kubisch (x³ − y³)/(x − y) \| Kynea ((2ⁿ + 1)² − 2) \| Leyland (x^y + y^x) \| Mersenne (2^p − 1) \| Mills (A^3ⁿ) \| Pierpont (2^u⋅3^v + 1) \| Primorial (p_n# ± 1) \| Proth (k⋅2ⁿ + 1) \| Pythagoreisch (4n + 1) \| Quartisch (x⁴ + y⁴) \| Thabit (3⋅2ⁿ − 1) \| Wagstaff ((2^p + 1)/3) \| Williams ((b-1)⋅bⁿ − 1) \| Woodall (n⋅2ⁿ − 1)
Primzahlfolgen	Bell \| Fibonacci \| Lucas \| Motzkin \| Pell \| Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär \| Fortunate \| Gut \| Glücklich \| Higgs \| Hochkototient \| Isoliert \| Pillai \| Ramanujan \| Regulär \| Stark \| Stern \| Wall–Sun–Sun \| Wieferich \| Wilson
basisabhängig	Belphegor \| Champernowne \| Dihedral \| Einzigartig \| Fröhlich \| Keith \| Lange \| Minimal \| Mirp \| Permutierbar \| Primeval \| Palindrom \| Repunit-Primzahl ((10ⁿ − 1)/9) \| Schwach \| Smarandache–Wellin \| Strobogrammatisch \| Tetradisch \| Trunkierbar \| Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) \| Chen \| Cousin (p, p + 4) \| Cunningham (p, 2p ± 1, …) \| Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) \| Konstellation \| Sexy (p, p + 6) \| Sichere (p, (p − 1)/2) \| Sophie Germain (p, 2p + 1) \| Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) \| Zwilling (p, p + 2) \| Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) \| Gigantisch (10.000+ Stellen) \| Mega (1.000.000+ Stellen) \| Beva (1.000.000.000+ Stellen)