Subtrahierverstärker

Ein Subtrahierer kann auch vereinfacht mit nur einem Operationsverstärker aufgebaut werden. Dazu schließt man das zu subtrahierende Signal an den jeweils inversen Anschluss des Operationsverstärkers. Hierbei nutzt man aus, dass der Operationsverstärker nur die Differenzspannung zwischen dessen N- und P-Eingang verstärkt.

Funktionsweise

Über den Überlagerungssatz gilt für die nebenstehende Schaltung die Gleichung

${\displaystyle U_{a}=k_{1}\,U_{1}+k_{2}\,U_{2}}$

Mit ${\displaystyle U_{2}=0}$ arbeitet der Subtrahierverstärker als Umkehrverstärker:

${\displaystyle U_{a}=-\alpha _{N}\,U_{1}\to k_{1}=-\alpha _{N}}$

Mit ${\displaystyle U_{1}=0}$ arbeitet die Schaltung als Elektrometerverstärker (d. h., der Ausgang wird nicht invertiert) mit einem vorgeschalteten Spannungsteiler. Das Potenzial ${\displaystyle \phi _{P}}$ am P-Anschluss des Operationsverstärkers ${\displaystyle N_{1}}$ ergibt sich aus

${\displaystyle \phi _{P}=U_{2}\,{\frac {R_{P}}{R_{P}+{\frac {R_{P}}{\alpha _{P}}}}}}$

und wird um den Faktor ${\displaystyle 1+\alpha _{N}}$ verstärkt. Somit gilt:

${\displaystyle U_{a}={\frac {\alpha _{P}}{1+\alpha _{P}}}\,\left(1+\alpha _{N}\right)\,U_{2}}$

Gleiches Widerstandsverhältnis

Für den Fall, dass die beiden Widerstandsverhältnisse gleich sind, also:

${\displaystyle {\frac {\frac {R_{N}}{\alpha _{N}}}{R_{N}}}={\frac {\frac {R_{P}}{\alpha _{P}}}{R_{P}}}}$

und damit

${\displaystyle \alpha =\alpha _{N}=\alpha _{P}}$

gilt, folgt durch Einsetzen in die obenstehende Gleichung:

${\displaystyle U_{a}=\alpha U_{2}\to k_{2}=\alpha }$

Für die Ausgangsspannung folgt schließlich:

${\displaystyle U_{a}=\alpha \,\left(U_{2}-U_{1}\right)}$

Ungleiches Widerstandsverhältnis

Für den Fall, dass die beiden Widerstandsverhältnisse nicht gleich sind, gilt:

${\displaystyle U_{a}={\frac {1+\alpha _{N}}{1+\alpha _{P}}}\,\alpha _{P}\,U_{2}-\alpha _{N}\,U_{1}}$

Gleichtaktunterdrückung

Zur Berechnung der Gleichtaktunterdrückung verwenden wir wieder obenstehende Gleichungen

${\displaystyle U_{2}=U_{\text{Gl}}+{\frac {1}{2}}\,U_{D}}$

und

${\displaystyle U_{1}=U_{\text{Gl}}-{\frac {1}{2}}\,U_{D}}$

Durch Einsetzen erhält man

${\displaystyle U_{a}={\frac {1+\alpha _{N}}{1+\alpha _{P}}}\,\alpha _{P}\,\left(U_{\text{Gl}}+{\frac {1}{2}}\,U_{D}\right)\ -\alpha _{N}\,\left(U_{\text{Gl}}-{\frac {1}{2}}\,U_{D}\right)}$

${\displaystyle U_{a}=\left({\frac {1+\alpha _{N}}{1+\alpha _{P}}}\,\alpha _{P}\,-\alpha _{N}\right)\,U_{\text{Gl}}+\left({\frac {1+\alpha _{N}}{1+\alpha _{P}}}\,\alpha _{P}\,+\alpha _{N}\right)\,{\frac {1}{2}}\,U_{D}}$

wo

${\displaystyle A_{\text{Gl}}={\frac {1+\alpha _{N}}{1+\alpha _{P}}}\,\alpha _{P}\,-\alpha _{N}}$

${\displaystyle A_{D}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1+\alpha _{N}}{1+\alpha _{P}}}\,\alpha _{P}\,+\alpha _{N}\right)}$

Die Gleichtaktunterdrückung ergibt sich folglich aus

${\displaystyle G={\frac {A_{D}}{A_{\text{Gl}}}}={\frac {1}{2}}\,{\frac {\left(1+\alpha _{N}\right)\,\alpha _{P}+\left(1+\alpha _{P}\right)\,\alpha _{N}}{\left(1+\alpha _{N}\right)\,\alpha _{P}-\left(1+\alpha _{P}\right)\,\alpha _{N}}}}$

Mit der Koeffizientenbedingung

${\displaystyle \alpha _{N}=\alpha -{\frac {\Delta \alpha }{2}}}$

${\displaystyle \alpha _{P}=\alpha +{\frac {\Delta \alpha }{2}}}$

folgt eine Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung:

${\displaystyle G\approx \left(1+\alpha \right)\,{\frac {\alpha }{\Delta \alpha }}}$

Die Gleichtaktunterdrückung ist also invers proportional zur Toleranz der Widerstandsverhältnisse, wenn der Faktor ${\displaystyle \alpha }$ konstant ist. Sind die beiden Widerstandsverhältnisse gleich, gilt:

${\displaystyle G=\infty }$

was jedoch nur mit einem idealen Operationsverstärker erreicht werden kann, der in der Praxis nicht vorkommt. Wird eine möglichst hohe Gleichtaktunterdrückung gefordert, wird etwa ${\displaystyle R_{P}}$ so eingestellt, dass die endliche Gleichtaktunterdrückung des Operationsverstärkers möglichst stark kompensiert wird. Zudem ist die Gleichtaktunterdrückung bei einer vorhandenen Widerstandstoleranz mit

${\displaystyle {\frac {\Delta \alpha }{\alpha }}}$

annähernd proportional zur eingestellten Differenzverstärkung:

${\displaystyle A_{D}=\alpha }$

Mehrfach-Subtrahierer

In der nebenstehenden Abbildung ist die Erweiterung des Subtrahierers für eine beliebige Anzahl von Additionen und Subtraktionen dargestellt. Bei dieser Schaltung muss die Koeffizientenbedingung erfüllt sein, damit die korrekte Arbeitsweise der Schaltung gewährleistet ist. Ist dies nach der Vergabe der Koeffizienten nicht der Fall, wird dem fehlenden Koeffizienten die Spannung 0 addiert bzw. subtrahiert – d. h., man berechnet einen zusätzlichen Additions- bzw. Subtraktionseingang mit einem passenden Koeffizienten und legt diesen auf Masse.

Über die Knotenregel erhält man für den N-Eingang:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {U_{i}-\phi _{N}}{\frac {R_{N}}{\alpha _{i}}}}+{\frac {U_{a}-\phi _{N}}{R_{N}}}=0}$

daraus folgt:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\alpha _{i}\,U_{i}}-\phi _{N}\left(\sum _{i=1}^{m}{\alpha _{i}}+1\right)+U_{a}=0}$

Ebenfalls über die Knotenregel erhält man für den P-Eingang:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha '_{i}\,U'_{i}}-\phi _{P}\left(\sum _{i=1}^{n}{\alpha '_{i}}+1\right)=0}$

Wenn die zusätzlichen Bedingungen

${\displaystyle \phi _{N}=\phi _{P}}$

und

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\alpha _{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha '_{i}}}$

erfüllt sind, folgt durch Subtraktion der beiden Gleichungen die Gleichung

${\displaystyle U_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha '_{i}\,U'_{i}}-\sum _{i=1}^{m}{\alpha _{i}\,U_{i}}}$

Subtrahierer mit hochohmigen Eingängen

Der Aufbau des Subtrahierers mit hochohmigen Eingängen basiert im Wesentlichen auf dem Subtrahierverstärker, bietet jedoch zusätzliche Spannungsfolger an den Eingängen, um die zu messenden Potenziale nicht mit dem Eingangswiderstand des Subtrahierers zu belasten. Zudem lässt sich eine höhere Gleichtaktunterdrückung erzielen, wenn man die Spannungsverstärkung in die Impedanzwandler verlagert und auf dem Subtrahierer die Verstärkung 1 eingestellt wird.

Für den im Bild gezeigten Subtrahierverstärker mit Impedanzwandlern gilt hierbei die folgende Gleichung:

${\displaystyle U_{a}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,{\frac {R_{2}}{R_{1}}}}$

Symmetrischer Elektrometersubtrahierer

Ein Spezialfall dieses Typs ist der (symmetrische) Elektrometersubtrahierer, bei dem zwischen den beiden Impedanzwandlern ein zusätzlicher Widerstand ${\displaystyle R_{r}}$ geschaltet wird. Dieser Schaltungstyp wird allgemein als Instrumentierungsverstärker, Instrumentenverstärker, Instrumentationsverstärker oder engl. Instrumentation Amplifier, kurz InAmp, bezeichnet. Diese Schaltung ist eine besonders präzise Operationsverstärker-Schaltung mit sehr hochohmigen (typ. 1 GΩ) Eingängen, besonders hoher Gleichtaktunterdrückung und geringer Eingangs-Offsetspannung.

Der Widerstand ${\displaystyle R_{r}}$ macht die Differenzverstärkung einstellbar. Bei ${\displaystyle R_{r}=\infty }$ arbeiten die beiden Operationsverstärker am Eingang als Spannungsfolger, was dem Subtrahierverstärker mit Impedanzwandlern ohne ${\displaystyle R_{r}}$ entspricht. Am Widerstand ${\displaystyle R_{r}}$ tritt die Potenzialdifferenz ${\displaystyle \phi _{2}-\phi _{1}}$ auf. Dadurch gilt:

${\displaystyle \phi '_{2}-\phi '_{1}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,\left(1+{\frac {2\,R_{1}}{R_{r}}}\right)}$

Die Differenz ${\displaystyle \phi '_{2}-\phi '_{1}}$ wird dabei an den Ausgang übertragen.

Bei einer reinen Gleichtaktaussteuerung gilt

${\displaystyle \phi _{1}=\phi _{2}=\phi '_{1}=\phi '_{2}=\phi _{\text{Gl}}}$

wodurch die Gleichtaktverstärkung immer den Faktor 1 aufweist. Dadurch ergibt sich für die Gleichtaktunterdrückung der Zusammenhang

${\displaystyle G=\left(1+{\frac {2\,R_{1}}{R_{r}}}\right)\,{\frac {2\,\alpha }{\Delta \alpha }}}$

wobei der Faktor ${\displaystyle {\frac {2\,\alpha }{\Delta \alpha }}}$ die relative Paarungstoleranz der Widerstände ${\displaystyle R_{2}}$ darstellt.

siehe Hauptartikel: Instrumentierungsverstärker

Asymmetrischer Elektrometersubtrahierer

Durch einen asymmetrischen Aufbau des Elektrometersubtrahierers kann der Operationsverstärker am Ausgang entfallen.

Der im ersten Bild gezeigte asymmetrische Elektrometersubtrahierer verstärkt das Eingangssignal mit ${\displaystyle U_{1}}$ am Operationsverstärker ${\displaystyle N_{1}}$ mit der Verstärkung

${\displaystyle 1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}}$

und das Eingangssignal mit ${\displaystyle U_{2}}$ am Operationsverstärker ${\displaystyle N_{2}}$ mit der Verstärkung

${\displaystyle 1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}}$.

Zusätzlich addiert sich das in den Flusspunkt induzierte Potenzial ${\displaystyle \phi '_{1}}$ mit der Gewichtung

${\displaystyle -{\frac {R_{2}}{R_{1}}}}$.

Betragsmäßig werden also die beiden Eingangsspannungen um den Faktor

${\displaystyle 1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}}$

verstärkt. Daher ergibt sich für die Ausgangsspannung

${\displaystyle U_{a}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,\left(1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$

Wie im zweiten Bild gezeigt, kann durch die Verwendung eines zusätzlichen (regelbaren) Widerstandes ${\displaystyle R_{r}}$ zwischen den Potenzialen ${\displaystyle \phi _{1}}$ und ${\displaystyle \phi _{2}}$ die Verstärkung der Schaltung eingestellt werden. Für die Ausgangsspannung gilt die Gleichung

${\displaystyle U_{a}=\left(\phi _{2}-\phi _{1}\right)\,2\,\left(1+{\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$

Bei Anwendungen, bei denen nur ein hochohmiger Eingang benötigt wird, kann auch die im dritten Bild gezeigte Schaltung verwendet werden. Diese benötigt nur einen einzigen Operationsverstärker. Allerdings ist die Verstärkung von ${\displaystyle U_{2}}$ immer größer als die von ${\displaystyle U_{1}}$, was die Einsatzmöglichkeiten weiter einschränkt, was jedoch beispielsweise bei der Verstärkung und Nullpunktverschiebung von Sensorsignalen keinen Nachteil darstellt. Für die Ausgangsspannung gilt die Gleichung

${\displaystyle U_{a}=U_{2}\,\left(1+{\frac {R_{N}}{R_{1}}}+{\frac {R_{N}}{R_{2}}}\right)-U_{1}\,{\frac {R_{N}}{R_{1}}}}$

Zudem erhält man durch das Weglassen von ${\displaystyle R_{2}}$ (${\displaystyle R_{2}=\infty }$) einen herkömmlichen Verstärker. Setzt man zudem noch ${\displaystyle R_{1}=R_{N}}$ so gilt für die Ausgangsspannung der Zusammenhang

${\displaystyle U_{a}=2\,U_{2}-U_{1}}$

Hochspannungssubtrahierer

Auch zur Subtraktion von Hochspannungen werden hochohmige Eingänge benötigt. Da jedoch eine hohe Dämpfung erforderlich ist, um die Hochspannung am Eingang auf eine Niederspannung am Ausgang zu reduzieren, wählt man ${\displaystyle R_{1}\gg R_{2}}$. Dadurch, dass die beiden Widerstände ${\displaystyle R_{1}}$ und damit die Eingänge sehr hochohmig sind, können die Impedanzverstärker am Eingang entfallen. Gleichzeitig wird über den Spannungsteiler, bestehend aus ${\displaystyle R_{1}}$ und ${\displaystyle R_{2}}$ die Spannung so weit heruntergesetzt, dass man keinen Hochspannungs-Operationsverstärker benötigt.

Der in der ersten Abbildung gezeigte Hochspannungssubtrahierer hat den Nachteil, dass das Differenzsignal ebenfalls sehr stark gedämpft wird. Für die Verstärkung in der ersten Schaltung gilt:

${\displaystyle A={\frac {R_{2}}{R_{1}}}\ll 1}$

Um bei kleinen Spannungsdifferenzen dennoch eine möglichst große Aussteuerung zu erreichen, muss daher ein zusätzlicher Verstärker am Ausgang eingesetzt werden, wodurch sich jedoch das Signal-Rausch-Verhältnis verschlechtert.

Um dieses Problem zu umgehen, kann man den Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung einsetzen. Bei dieser Schaltung kann die Dämpfung der hohen Eingangsspannungen und die Verstärkung der Differenzspannung getrennt dimensioniert werden. Die Widerstände ${\displaystyle R_{1}}$ und ${\displaystyle R_{2}}$ bestimmen die Verstärkung, während die Widerstände ${\displaystyle R_{3}}$ nur auf die Gleichtaktaussteuerung wirken. Der in der Abbildung gezeigte Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung entspricht dem INA 148 von Burr Brown und hat die Verstärkung 1 für die Spannungsdifferenz.

Nachteilig am Hochspannungssubtrahierer mit einstellbarer Verstärkung ist jedoch, dass die beiden ${\displaystyle R_{3}}$-Widerstände die Eingangssignale des Operationsverstärkers dämpfen. Dadurch reduziert sich die Schleifenverstärkung und folglich auch die Bandbreite der Schaltung. Zudem wird die Offsetspannung und der Offsetspannungsdrift des Operationsverstärkers verstärkt. Dadurch werden in dieser Schaltung wesentlich bessere Operationsverstärker benötigt. Zudem benötigt man für die beiden ${\displaystyle R_{3}}$-Widerstände Bauteile mit sehr geringer Toleranz. Die Widerstände ${\displaystyle R_{2}}$ und ${\displaystyle R_{3}}$ am nichtinvertierenden Eingang werden nicht zusammengefasst, um eine möglichst geringe Gleichlauftoleranz sicherzustellen.