Geschlossene und offene Strings

Strings können entweder offen oder geschlossen sein. Ein „geschlossener String“ besitzt keine Endpunkte und ist daher in seiner Topologie einem Kreis äquivalent. Ein „offener String“ hat zwei Enden und ist topologisch äquivalent zu einer Strecke. Nicht alle Stringtheorien enthalten offene Strings, aber jede Theorie muss geschlossene Strings enthalten, da Wechselwirkungen offener Strings immer geschlossene erzeugen können.

Die älteste Stringtheorie, die offene Strings enthielt, war die Typ-1-Stringtheorie.

Mit offenen wie geschlossenen Strings sind immer charakteristische Schwingungsarten (Moden) verbunden. Eine bestimmte Vibration eines geschlossenen Strings kann als Graviton identifiziert werden. In gewissen Stringtheorien stellt die Schwingung mit der niedrigsten Energie eines offenen Strings ein Tachyon dar. Andere Schwingungsmoden offener Strings zeigen die Eigenschaften von Photonen oder Gluonen.

Orientierung

Strings können auch eine „Orientierung“ besitzen, die man sich als stringinternen Pfeil denken kann, der sie von Strings mit der entgegengesetzten Orientierung unterscheidet. Im Gegensatz dazu gibt es auch den „nichtorientierten String“, dem kein solcher Pfeil zugewiesen werden kann.

Nambu-Goto-Wirkung

Die Nambu-Goto-Wirkung ist die einfachste Form der Wirkung einer Stringtheorie, beschreibt eine bosonische Stringtheorie (ohne Fermionen) und wurde um 1970 von Yōichirō Nambu und Tetsuo Gotō eingeführt. Da die Lichtkegelquantisierung der Nambu-Goto-Wirkung nicht manifest kovariant ist, bietet sich hier die äquivalente, aber kompliziertere Polyakov-Wirkung an. Ein Punktteilchen, das sich durch die Raumzeit bewegt, beschreibt eine eindimensionale Kurve, auch Weltlinie genannt. Analog dazu beschreibt ein eindimensionaler String, der sich durch die Raumzeit bewegt, eine zweidimensionale Weltfläche. Die Weltfläche eines Strings wird beschrieben durch eine Parametrisierung ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )}$ mit ${\displaystyle \mu =0,1,2,\dotsc ,d}$, wobei ${\displaystyle -\infty <\tau <\infty }$ als Zeitparameter interpretiert werden kann und ${\displaystyle 0\leqslant \sigma \leqslant \sigma _{m}}$ den String parametrisiert, für geschlossene Strings gilt ${\displaystyle X^{\mu }(\tau ,\sigma )=X^{\mu }(\tau ,\sigma +2\pi )}$. Sei nun der Tangentialraum der Weltfläche aufgespannt durch die Vektoren ${\displaystyle \mathrm {d} v_{1}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}\mathrm {d} \tau }$ und ${\displaystyle \mathrm {d} v_{2}^{\mu }={\tfrac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\mathrm {d} \sigma }$. Um die Weltfläche zu beschreiben, kann vom Analogon der bekannten euklidischen Flächenformel ausgegangen werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} A&=|\mathrm {d} v_{1}||\mathrm {d} v_{2}||{\sin \phi }|=|\mathrm {d} v_{1}||\mathrm {d} v_{2}|{\sqrt {1-\cos ^{2}\phi }}={\sqrt {|\mathrm {d} v_{1}|^{2}|\mathrm {d} v_{2}|^{2}-|\mathrm {d} v_{1}|^{2}|\mathrm {d} v_{2}|^{2}\cos ^{2}\phi }}\\&={\sqrt {\left(\mathrm {d} v_{1}\cdot \mathrm {d} v_{1}\right)\left(\mathrm {d} v_{2}\cdot \mathrm {d} v_{2}\right)-\left(\mathrm {d} v_{1}\cdot \mathrm {d} v_{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

Da der Radikand im Fall der Strings negativ ist (höherdimensionaler Minkowskiraum, eine der Richtungen der Strings zeitartig, die andere raumartig), muss noch das Vorzeichen geändert werden, indem einfach die Terme vertauscht werden; setzt man nun die Tangentialvektoren ein, führt dies auf

${\displaystyle A=\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\right)^{2}-\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }}\right)^{2}\left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}\right)^{2}}}=\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {-\det \left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma _{1}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma _{2}}}\eta _{\mu \nu }\right)}}}$

mit dem metrischen Tensor ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ und der Determinantenbildung bezüglich ${\displaystyle \sigma _{1,2}=\tau ,\sigma }$.

Nach der Multiplikation mit entsprechenden Einheiten, um das Funktional konsistent mit einer physikalischen Wirkung zu machen, erhält man nun die Nambu-Goto-Wirkung für geschlossene und offene relativistische Strings in einer ${\displaystyle d}$-dimensionalen Raumzeit, wobei ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit ist und ${\displaystyle T_{s}}$ die oben eingeführte Stringspannung:

${\displaystyle S=-{\frac {T_{s}}{c}}\int _{\tau _{i}}^{\tau _{f}}\mathrm {d} \tau \int _{0}^{\sigma _{m}}\mathrm {d} \sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}$ mit

${\displaystyle L({\dot {X^{\mu }}},X^{\mu '})={\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}$ und

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \tau }},\,X'={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma }}}$

Die Impulsdichten ergeben sich zu:

${\displaystyle P_{\mu }^{\tau }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X^{\mu }}}}}=-{\frac {T_{s}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-X'^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}}$

${\displaystyle P_{\mu }^{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial X^{\mu '}}}=-{\frac {T_{s}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X'){\dot {X}}_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-{\dot {X}}^{2}X'^{2}}}}}$

Die Nambu-Goto-Wirkung kann auch in manifester reparametrisierungsinvarianter Form geschrieben werden, wobei ${\displaystyle \gamma =\det(\gamma _{\alpha \beta })}$, im Detail ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}X'\\{\dot {X}}X'&X'^{2}\end{pmatrix}}}$. Dies führt auf:

${\displaystyle S={\frac {T_{s}}{c}}\int \mathrm {d} \tau \mathrm {d} \sigma {\sqrt {-\gamma }}}$

Die Form dieser Wirkung eignet sich auch zur Verallgemeinerung auf Objekte, die eine höhere Dimensionalität als Strings haben, wie z. B. D-Brane.

Im Vergleich dazu war die Wirkung für ein relativistisches Punktteilchen ${\displaystyle S=-m\int \mathrm {d} s=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }\mathrm {\mathrm {d} } X^{\mu }\,\mathrm {d} X^{\nu }}}=-m\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }{\tfrac {\mathrm {d} X^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}\,{\tfrac {\mathrm {d} X^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}}}\mathrm {d} \tau }$ (wobei das Vorzeichen für den Term unter dem Wurzelzeichen so gewählt wird, dass der Term unter der Wurzel für zeitartige Weltlinien positiv ist).

Polyakov-Wirkung

Die Quadratwurzel der Nambu-Goto Wirkung hat entscheidende Nachteile bei der Quantisierung, eine einfachere Form ist die Polyakov-Wirkung, auch String-Sigma-Modell genannt:

${\displaystyle S_{\sigma }=-{\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \ {\sqrt {-h}}h^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }X\cdot \partial _{\beta }X}$,

wobei ${\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma ,\tau )}$ eine zusätzliche Weltflächenmetrik ist (${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\sigma =\mathrm {d} \sigma \mathrm {d} \tau }$). Reparametrisierungsinvarianz und Skalierungsinvarianz erlauben es, das Hilfsfeld als ${\displaystyle h_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ zu wählen, worauf sich die Polyakov-Wirkung vereinfacht zu

${\displaystyle S={\frac {T}{2}}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma \left({\dot {X}}^{2}-X'^{2}\right)}$

für Bewegungsgleichungen in einer flachen Minkowski-Raumzeit.

Symmetrien der Polyakov-Wirkung

• Poincaré-Transformation: Globale Symmetrie der Weltflächen-Felder mit ${\displaystyle \delta X^{\mu }=a_{\nu }^{\mu }X^{\nu }+b^{\mu }}$ mit ${\displaystyle \delta h^{\alpha \beta }=0}$.

• Reparametrisierungen: Die Polyakov-Wirkung ist klassisch äquivalent zur Nambu-Goto-Wirkung und daher auch lokal reparametrisierungsinvariant unter ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }\mapsto f^{\alpha }(\sigma )=\sigma '^{\alpha }}$ und ${\displaystyle h_{\alpha \beta }(\sigma )={\tfrac {\partial f^{\gamma }}{\partial \sigma ^{\alpha }}}{\tfrac {\partial f^{\delta }}{\partial \sigma ^{\beta }}}h_{\gamma \delta }(\sigma ')}$.

• Weyl-Transformationen: Lokal invariant unter Reskalierung ${\displaystyle h_{\alpha \beta }\mapsto e^{\phi (\sigma ,\tau )}h_{\alpha \beta }}$ und ${\displaystyle \delta X^{\mu }=0}$.

Bewegungsgleichungen und Randbedingungen

Nehmen wir die Bewegung in der flachen Minkowski-Raumzeit an. Die Bewegungsgleichungen der Wirkung beschreiben eindeutig Wellengleichungen ${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }X^{\mu }=0}$, mit verschwindendem Energie-Impuls-Tensor als weitere Einschränkung.

Für einen geschlossenen String gelten nun die periodischen Randbedingungen

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=X^{\mu }(\sigma +\pi ,\tau )}$.

Für einen offenen String gilt die Neumann-Randbedingung (String, dessen Endpunkte sich bewegen)

${\displaystyle X'_{\mu }=0}$ für ${\displaystyle \sigma =0,\pi }$,

für einen offenen String mit Dirichlet-Randbedingung (beide Endpunkte des Strings „auf gleicher Höhe“ fixiert)

${\displaystyle X^{\mu }|_{\sigma =0}=X_{0}^{\mu }}$ und ${\displaystyle X^{\mu }|_{\sigma =\pi }=X_{\pi }^{\mu }}$.

Lösung der Bewegungsgleichungen

Um Lösungen der Bewegungsgleichungen zu finden, bietet sich eine Formulierung in Lichtkegel-Koordinaten an mit

${\displaystyle \sigma ^{\pm }=\tau \pm \sigma }$ mit Ableitungen ${\displaystyle \partial _{\pm }={\frac {1}{2}}(\partial _{\tau }\pm \partial _{\sigma })}$ und Wellengleichung ${\displaystyle \partial _{+}\partial _{-}X^{\mu }=0}$.

Geschlossener String

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung mit Randbedingungen für geschlossene Strings ist gegeben durch

${\displaystyle X_{R}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }(\tau -\sigma )+{\frac {i}{2}}l_{s}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-2in(\tau -\sigma )}}$

${\displaystyle X_{L}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }(\tau +\sigma )+{\frac {i}{2}}l_{s}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}{\tilde {\alpha }}_{n}^{\mu }e^{-2in(\tau +\sigma )}}$,

wobei der Parameter ${\displaystyle l_{s}=\alpha '}$ für ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2\pi \alpha '}}}$ zur Vereinfachung gesetzt wurde. ${\displaystyle X_{R}^{\mu }}$ bezeichnet man bei einem geschlossenen String als Rechts-Beweger und ${\displaystyle X_{L}^{\mu }}$ als Links-Beweger.

Offener String

Die allgemeine Lösung für offene Strings mit Neumann-Randbedingungen ist gegeben durch

${\displaystyle X_{L}^{\mu }={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}l_{s}^{2}p^{\mu }\tau +il_{s}\sum _{m\neq 0}{\frac {1}{m}}\alpha _{m}^{\mu }e^{im\tau }\cos(m\sigma )}$.

${\displaystyle x^{\mu }}$ ist die Position des Massenschwerpunktes und ${\displaystyle p^{\mu }}$ der Gesamtimpuls des Strings; der exponentielle Term beschreibt die angeregten Zustände.

Populärwissenschaftliche Bücher

• Brian Greene: The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. Vintage Books, 2000, ISBN 0-393-05858-1. (Das elegante Universum. 2002, Goldmann Verlag, 2005, ISBN 3-442-76026-7.)
• Brian Greene: Der Stoff, aus dem der Kosmos ist – Raum, Zeit und die Beschaffenheit der Wirklichkeit. Siedler Verlag, 2004, ISBN 3-88680-738-X. (Goldmann TB 2008; Originalausgabe The fabric of the cosmos.)
• Steven Gubser: The little book of string theory. Princeton University Press, 2010.
• Michio Kaku: Im Hyperraum – Eine Reise durch Zeittunnel und Paralleluniversen. Rowohlt, 1998, ISBN 3-499-60360-8.
• Michio Kaku: Die Physik der unsichtbaren Dimensionen – Eine Reise durch Zeittunnel und Paralleluniversen. Rowohlt, 2013, ISBN 978-3-499-61509-2.
• Lisa Randall: Verborgene Universen – Eine Reise in den extradimensionalen Raum. Fischer TB, 2010, ISBN 978-3-10-062805-3.
• Dieter Lüst: Quantenfische: Die Stringtheorie und die Suche nach der Weltformel. C.H. Beck, München 2011, ISBN 978-3-406-62285-4.
• Paul Davies, Julian R. Brown: Superstrings. Eine Allumfassende Theorie der Natur in der Diskussion. DTV, 1996, ISBN 3-423-30035-3 (zuerst 1988).
• Frederick David Peat: Superstrings, kosmische Fäden. Hoffmann und Campe, Hamburg 1989, ISBN 3-455-08340-4.

Von Kritikern der Stringtheorie:

• Peter Woit: Not Even Wrong. The Failure of String Theory and the Continuing Challenge to Unify the Laws of Physics. Jonathan Cape, 2006, ISBN 0-224-07605-1.
• Lee Smolin: Die Zukunft der Physik: Probleme der String-Theorie und wie es weitergeht. Deutsche Verlags-Anstalt, München 2009. Siehe auch The Trouble with Physics.
• Robert B. Laughlin: Abschied von der Weltformel. Die Neuerfindung der Physik. Piper Verlag, München 2007, ISBN 978-3-492-04718-0 (A different universe – Reinventing Physics from the bottom down. Basic Books, New York, 2005.)
• Sabine Hossenfelder: Das hässliche Universum: Warum unsere Suche nach Schönheit die Physik in die Sackgasse führt. S. Fischer 2018, ISBN 978-3-10-397246-7 (Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray. Basic Books, 2018).

Lehrbücher

• Katrin Becker, Melanie Becker, John Schwarz: String Theory and M-Theory: A Modern Introduction. Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-86069-7.
• Ralph Blumenhagen, Dieter Lüst, Stefan Theisen: Basic concepts of string theory. Springer, 2013.
• Michael Green, John Schwarz, Edward Witten: Superstring theory. Cambridge University Press, 1987.
  • Vol. 1: Introduction. ISBN 0-521-35752-7.
  • Vol. 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology. ISBN 0-521-35753-5.
• Luis E. Ibáñez, Angel M. Uranga: String theory and particle physics. An introduction to String Phenomenology. Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-51752-2.
• Clifford Johnson: D-branes. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-80912-6.
• Elias Kiritsis: String Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2007, ISBN 978-0-691-12230-4.
• Michio Kaku: Introduction to Superstrings and M-Theory. 2. Auflage. Springer, 1999, ISBN 0-387-98589-1.
• Dieter Lüst, Stefan Theisen: Lectures on String Theory. (= Lecture Notes in Physics. No. 346). Springer Verlag, 1989, ISBN 0-387-51882-7.
• Joseph Polchinski: String Theory. Cambridge University Press, 1998.
  • Vol. 1: An introduction to the bosonic string. ISBN 0-521-63303-6.
  • Vol. 2: Superstring theory and beyond. ISBN 0-521-63304-4.
• Barton Zwiebach: A First Course in String Theory. Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-83143-1.

Aufsätze

• Michael Green: Superstrings. In: Scientific American. November 1986, (damtp.cam.ac.uk).
• Edward Witten: What every physicist should know about string theory. In: Physics Today. November 2015, sns.ias.edu (PDF).