Annäherung durch Tangente

Eine Näherung für eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle f}$ an einer Stelle ${\displaystyle a}$ durch eine Gerade, also durch ein Polynom 1. Grades, ist gegeben durch die Tangente mit der Gleichung

${\displaystyle T_{1}f(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)}$.

Sie lässt sich dadurch charakterisieren, dass an der Stelle ${\displaystyle x=a}$ die Funktionswerte und die Werte der 1. Ableitung (= Steigung) von ${\displaystyle f(x)}$ und ${\displaystyle T_{1}f(x;a)}$ übereinstimmen: ${\displaystyle f(a)=T_{1}f(a;a),f'(a)=T_{1}'f(a;a)}$.

Wenn man den Rest ${\displaystyle R_{1}f(x;a):=f(x)-T_{1}f(x;a)}$ definiert, so gilt ${\displaystyle f(x)=T_{1}f(x;a)+R_{1}f(x;a)}$. Die Funktion ${\displaystyle T_{1}f(x;a)}$ approximiert ${\displaystyle f}$ in der Nähe der Stelle ${\displaystyle x=a}$ in dem Sinne, dass für den Rest gilt

${\displaystyle (1)~\lim _{x\to a}{\frac {R_{1}f(x;a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-T_{1}f(x;a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-f'(a)=0}$ (siehe bei der Definition der Ableitung).

Annäherung durch Schmiegparabel

Man kann vermuten, dass man für zweimal differenzierbares ${\displaystyle f}$ eine noch bessere Näherung erhält, wenn man dazu ein quadratisches Polynom ${\displaystyle T_{2}f(x;a)}$ verwendet, von dem man verlangt, dass zusätzlich noch ${\displaystyle T_{2}''f(a;a)=f''(a)}$ gilt. Der Ansatz ${\displaystyle T_{2}f(x;a)=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}}$ führt durch Berechnung der Ableitungen auf ${\displaystyle a_{0}=f(a),a_{1}=f'(a)}$ und ${\displaystyle a_{2}={\frac {1}{2}}f''(a)}$, also

${\displaystyle T_{2}f(x;a)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}}$.

Diese Näherungsfunktion bezeichnet man auch als Schmiegparabel.

Man definiert nun dazu den passenden Rest ${\displaystyle R_{2}f(x;a):=f(x)-T_{2}f(x;a)}$, sodass wieder ${\displaystyle f(x)=T_{2}f(x;a)+R_{2}f(x;a)}$. Dann erhält man, dass die Schmiegparabel die gegebene Funktion bei ${\displaystyle x=a}$ in der Tat besser approximiert, da nun (mit der Regel von de L’Hospital):

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{2}f(x;a)}{(x-a)^{2}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^{2}}}-{\frac {1}{2}}f''(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-f'(a)}{2(x-a)}}-{\frac {1}{2}}f''(a)=0}$

gilt.

Annäherung durch Polynome vom Grad n

Dieses Vorgehen lässt sich nun leicht auf Polynome ${\displaystyle n}$-ten Grades ${\displaystyle T_{n}(x)}$ verallgemeinern: Hier soll gelten

${\displaystyle T_{n}f(a;a)=f(a),\ T_{n}'f(a;a)=f'(a),\ \ldots ,\ T_{n}^{(n)}f(a;a)=f^{(n)}(a)}$.

Es ergibt sich

${\displaystyle T_{n}f(x;a)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\dotsb +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}$.

Mit der Regel von de L’Hospital finden wir außerdem:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-T_{n}f(x;a)}{(x-a)^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-T_{n}'f(x;a)}{n(x-a)^{n-1}}}}$.

Daher ergibt sich mit vollständiger Induktion über ${\displaystyle n}$, dass für ${\displaystyle R_{n}f(x;a)=f(x)-T_{n}f(x;a)}$ gilt:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{n}f(x;a)}{(x-a)^{n}}}=0}$.

Taylorpolynom

Das ${\displaystyle n}$-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle ${\displaystyle a\in I}$ ist definiert durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}f(x;a)=&\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}\\=&f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}}$

Damit gehört es zu den Potenzreihen.

Integralrestglied

Das ${\displaystyle n}$-te Integralrestglied ist definiert durch:

${\displaystyle R_{n}f(x;a)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t}$

Satz (Taylorformel mit Integralrestglied)

Für alle ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle I}$ gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=&T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)\\=&\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}$

Schlömilch-Restglied und dessen Herleitung

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ergibt sich für jede natürliche Zahl ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle 1\leq p\leq n+1}$, dass es ein ${\displaystyle \xi }$ zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle x}$ gibt, sodass:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}{f^{(n+1)}(t){\frac {(x-t)^{n+1-p}}{n!}}\cdot (x-t)^{p-1}\,\mathrm {d} t}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )(x-\xi )^{n+1-p}}{n!}}\cdot \underbrace {\int \limits _{a}^{x}{(x-t)^{p-1}\,\mathrm {d} t}} _{={\frac {(x-a)^{p}}{p}}}}$

Damit folgt die Schlömilchsche Restgliedform:

${\displaystyle R_{n}f(x;a)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{p\cdot n!}}(x-\xi )^{n+1-p}(x-a)^{p}}$

für ein ${\displaystyle \xi }$ zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle x}$.

Spezialfälle des Schlömilch-Restglieds

Ein Spezialfall, nämlich der mit ${\displaystyle p=1}$, ist die Form nach Cauchy:

${\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-a)}$

für ein ${\displaystyle \xi }$ zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle x}$.

Im Spezialfall ${\displaystyle p=n+1}$ erhalten wir das Lagrangesche Restglied:

${\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}$

für ein ${\displaystyle \xi }$ zwischen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle x}$. Bei dieser Darstellung braucht die ${\displaystyle (n+1)}$-te Ableitung von ${\displaystyle f}$ nicht stetig zu sein.

Weitere Darstellung

Setzt man ${\displaystyle \Theta ={\tfrac {\xi -a}{x-a}}}$, das heißt ${\displaystyle \xi =a+\Theta (x-a)}$, so erhält die Lagrangesche Darstellung die Form

${\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(a+\Theta (x-a))}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}$,

die Schlömilchsche

${\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(a+\Theta (x-a))}{p\cdot n!}}(1-\Theta )^{n+1-p}(x-a)^{n+1}}$,

und die Cauchysche

${\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(a+\Theta (x-a))}{n!}}(1-\Theta )^{n}(x-a)^{n+1}}$

jeweils für ein ${\displaystyle \Theta }$ zwischen 0 und 1.

Mehrdimensionales Taylorpolynom

Mit der mehrdimensionalen Kettenregel und Induktion erhält man, dass

${\displaystyle F^{(n)}(t)=\sum _{|\alpha |=n}\left({\begin{matrix}n\\\alpha \end{matrix}}\right)(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+th)}$,

wobei ${\displaystyle \left({\begin{matrix}n\\\alpha \end{matrix}}\right)}$ der Multinomialkoeffizient ist, siehe auch Multinomialtheorem.

Stellt man ${\displaystyle F}$ im Punkt 1 durch ein Taylorpolynom mit Entwicklungsstelle 0 dar, so erhält man durch diese Formel die Definition des mehrdimensionalen Taylorpolynoms von ${\displaystyle f}$ an der Entwicklungsstelle ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle T_{n}f(x;a):=T_{n}F(1;0)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {(x-a)^{\alpha }}{\alpha$ !}}D^{\alpha }f(a)}

Hierbei hat man verwendet, dass ${\displaystyle \left({\begin{matrix}n\\\alpha \end{matrix}}\right)\cdot {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\alpha$ !}}} .

Mehrdimensionales Integralrestglied

Ebenso definiert man das mehrdimensionale Restglied mithilfe der Multiindex-Notation:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}f(x;a):=&R_{n}F(1;0)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}F^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t\\=&(n+1)\int \limits _{0}^{1}\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(1-t)^{n}(x-a)^{\alpha }}{\alpha$ !}}D^{\alpha }f(a+th)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}

Mehrdimensionale Taylor-Formel

Aus der eindimensionalen Taylor-Formel folgt, dass

${\displaystyle F(1)=T_{n}F(1;0)+R_{n}F(1;0)}$

Nach der obigen Definition von ${\displaystyle F(t)}$ erhält man daher:

${\displaystyle f(x)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)}$

Mehrdimensionale Restgliedformeln

Man kann auch die eindimensionalen Nicht-Integral-Restgliedformeln mithilfe der Formel für ${\displaystyle F^{(n)}(t)}$ für den mehrdimensionalen Fall verallgemeinern.

Das Schlömilch-Restglied wird so zu

${\displaystyle R_{n}f(x;a)={\frac {(n+1)(1-\theta )^{n+1-p}}{p}}\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha$ !}}} ,

das Lagrange-Restglied zu

${\displaystyle R_{n}f(x;a)=\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha$ !}}} ,

und das Cauchy-Restglied zu

${\displaystyle R_{n}f(x;a)=(n+1)(1-\theta )^{n}\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha$ !}}}

für jeweils ein ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$.

Qualitative Taylorformel

Nach der mehrdimensionalen Taylorformel ergibt sich mit dem Lagrange-Restglied:

${\displaystyle f(x)-T_{n+1}f(x;a)=(n+1)\left(\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha$ !}}-\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}\right)}

Wegen ${\displaystyle |x_{i}-a_{i}|\leq \|x-a\|}$ erhalten wir ferner:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n+1)\left|\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a+\theta h)}{\alpha$ !}}-\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {(x-a)^{\alpha }D^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}\right|\\\leq &(n+1)\|x-a\|^{n+1}\cdot \underbrace {\left|\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {D^{\alpha }f(a+\theta h)-D^{\alpha }f(a)}{\alpha !}}\right|} _{\to 0{\text{, }}x\to a}\end{aligned}}}

Der letzte Teil geht gegen null, da die partiellen Ableitungen vom Grad ${\displaystyle n+1}$ nach Voraussetzung alle stetig sind und ${\displaystyle a+\theta h}$ sich zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle a}$ befindet und somit auch nach ${\displaystyle a}$ konvergiert, falls ${\displaystyle x\to a}$.

Wir erhalten folgende Abschätzung, welche „(mehrdimensionale) qualitative Taylorformel“ genannt wird:

${\displaystyle f(x)=T_{n+1}f(x;a)+{\mathcal {O}}(\|x-a\|^{n+1})}$

für ${\displaystyle x\to a}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ für die Landau-Notation steht.

Beispiel

Es soll die Funktion

${\displaystyle f:\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2},\ x_{2}<1\}\to \mathbb {R} ,~(x_{1},x_{2})\mapsto \exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})}$

um den Punkt ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2})=(1,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$ entwickelt werden.

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden, d. h., man will ein Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen, also die sog. Schmiegquadrik. Es gilt also ${\displaystyle n=2}$. Wegen ${\displaystyle |\alpha |\leq n}$ müssen, gemäß der Multiindexschreibweise, die Tupel ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,0)}$, ${\displaystyle (0,1)}$, ${\displaystyle (2,0)}$, ${\displaystyle (1,1)}$ und ${\displaystyle (0,2)}$ berücksichtigt werden. Dabei gilt wegen des Satzes von Schwarz, dass

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}(a)}$.

Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=(1,0)}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}(a)=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=-e}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\left(\log(1-x_{2})+{\frac {2}{1-x_{2}}}-{\frac {1}{(1-x_{2})^{2}}}\right)\right]_{x=(1,0)}=e}$

Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)\approx &f(a)+{\frac {1}{1!}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)~(x_{1}-a_{1})+{\frac {1}{1!}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)~(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)~(x_{1}-a_{1})^{2}+{\frac {1}{1!1!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)~(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)~(x_{2}-a_{2})^{2}\\&=0+0-e(x_{2}-0)+0-e(x_{1}-1)(x_{2}-0)+{\frac {1}{2}}e(x_{2}-0)^{2}\\&=-ex_{1}x_{2}+{\frac {1}{2}}ex_{2}^{2}\end{aligned}}}$

Benutzt man die alternative Darstellung mit Hilfe des Gradienten und der Hesse-Matrix, so erhält man:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&\approx f(a)+\nabla f(a)^{T}(x-a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{T}H_{f}(a)(x-a)\\&=f(a)+{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\\&\qquad +{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}&x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(a)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}(a)\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}(a)&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(a)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-a_{1}\\x_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}\\&=0+{\begin{pmatrix}0&-e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-1\\x_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}x_{1}-1&x_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-e\\-e&e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-1\\x_{2}\end{pmatrix}}\\&=-ex_{1}x_{2}+{\frac {1}{2}}ex_{2}^{2}\end{aligned}}}$