Ungleichung von Carathéodory

Die Ungleichung von Carathéodory ist eines aus einer ganzen Reihe von Resultaten, die auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie von dem Mathematiker Constantin Carathéodory beigesteuert wurden. Die Ungleichung geht zurück auf eine Arbeit, die Carathéodory im Jahre 1912 vorgelegt hat. Sie beruht auf dem Lemma von Schwarz und liefert eine obere Schranke für den Betrag einer holomorphen Funktion auf einer in der komplexen Zahlenebene um dem Nullpunkt gelegenen abgeschlossenen Kreisscheibe. Die Carathéodory'sche Ungleichung gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine holomorphe Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ .

Weiter gegeben seien eine reelle Zahl $R>0$ und dazu die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq R\,\}$ vom Radius $R$ , wobei ${\bar {S}}(0,R)\subset U$ gelten soll.

Dann gilt für $z\in \mathbb {C}$ und $r>0$ mit $0\leq |z|\leq r<R$ stets die Ungleichung

|f(z)|\leq |f(0)|+{\frac {2r}{R-r}}\cdot \left(\max _{|z|=R}{\Re {f(z)}-\Re {f(0)}}\right)

.

Andere Version

Die Ungleichung von Carathéodory wird in der Fachliteratur oft in einer anderen Version angegeben, die in englischsprachigen Quellen als Borel-Carathéodory inequality bzw. als Hadamard-Borel-Carathéodory inequality und in französischsprachigen Quellen als Inégalité de Borel-Carathéodory bezeichnet wird. Diese Version lässt sich angeben wie folgt:

Unter den oben angegebenen allgemeinen Voraussetzungen gilt für $z\in \mathbb {C}$ und $r>0$ mit $0\leq |z|\leq r<R$ stets die Ungleichung

|f(z)|\leq {\frac {R+r}{R-r}}\cdot |f(0)|+{\frac {2r}{R-r}}\cdot {\sup _{|z|=R}{\Re {f(z)}}}

.

Korollar

Aus der Ungleichung von Hadamard-Borel-Carathéodory (s. o.) gewinnt man als Korollar den folgenden Satz, der auf eine Arbeit von Jacques Hadamard aus dem Jahre 1892 zurückgeht:

Ist $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine ganze Funktion und sind dazu drei reelle Zahlen $B,K,R>0$ vorhanden, für die ein jedes $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\geq R$ stets die Ungleichung

\Re {f(z)}\leq B\cdot {|z|}^{K}

erfüllt, so ist $f$ eine Polynomfunktion von einem Grad kleiner oder gleich $K$ .

Literatur

Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3.
Constantin Carathéodory: Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten. In: Mathematische Annalen. Band 72, 1912, S. 107–144 (MR1511688).
Jacques Hadamard: Sur les fonctions entières de la forme e^G(x). In: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences Paris. Band 114, 1892, S. 1053–1055.
Fritz Rühs: Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 56). Dritte, berichtigte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976 (MR0486433).
Yin Chen: Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques. In: Complex Variables. Theory and Application. An International Journal. Band 49, 2004, S. 747–757 (MR2098698).

Einzelnachweise

↑ Fritz Rühs: Funktionentheorie. 1976, S. 121–122
↑ Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1. 1979, S. 210–217
1 2 Chen, Yin: Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques. In: Complex Var. Theory Appl., 49, S. 747–757
↑ Rühs, op. cit., S. 121
↑ Burckel, op. cit., S. 210
↑ Burckel, op. cit., S. 211

Anmerkungen

↑ $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.
↑ Für eine komplexe Zahl $w$ wird mit $\Re {w}$ deren Realteil bezeichnet.
↑ Die Kreislinie $S_{R}^{1}(0)\subset U$ ist ein Kompaktum und da die verkettete Funktion $\Re \circ f\colon U\to \mathbb {R}$ eine stetige reellwertige Funktion ist, wird deren Maximum nach dem allgemeinen Satz vom Maximum dort angenommen.
↑ Hier sind die beiden Mathematiker Émile Borel und Jacques Hadamard gemeint.

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[FR-001-1] Fritz Rühs: Funktionentheorie. 1976, S. 121–122

[RBB-001-2] Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1. 1979, S. 210–217

[CY-001-3] 1 2 Chen, Yin: Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques. In: Complex Var. Theory Appl., 49, S. 747–757

[FR-002-4] Rühs, op. cit., S. 121

[RBB-002-9] Burckel, op. cit., S. 210

[RBB-003-10] Burckel, op. cit., S. 211

[5] $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.

[6] Für eine komplexe Zahl $w$ wird mit $\Re {w}$ deren Realteil bezeichnet.

[7] Die Kreislinie $S_{R}^{1}(0)\subset U$ ist ein Kompaktum und da die verkettete Funktion $\Re \circ f\colon U\to \mathbb {R}$ eine stetige reellwertige Funktion ist, wird deren Maximum nach dem allgemeinen Satz vom Maximum dort angenommen.

[8] Hier sind die beiden Mathematiker Émile Borel und Jacques Hadamard gemeint.