Homogene Van-der-Pol-Gleichung

Die dimensionslose homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\displaystyle {\ddot {x}}-\varepsilon (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0}$

mit ${\displaystyle \varepsilon \geq 0}$ als Parameter und ${\displaystyle x}$ als zeitabhängiger Größe beschreibt das zeitliche Verhalten eines freien Van-der-Pol-Oszillators. Eine geschlossene Lösung existiert nicht. Um das prinzipielle Verhalten zu untersuchen, sind stationäre Punkte hilfreich. Für ${\displaystyle x=\mathrm {const} }$ gilt:

${\displaystyle {\dot {x}}_{s}=0}$

Die Linearisierung der Differentialgleichung mit

${\displaystyle x(t)=x_{s}+\Delta x(t)}$

ergibt

${\displaystyle \Delta {\ddot {x}}-\varepsilon \Delta {\dot {x}}+\Delta x=0}$

Die charakteristische Gleichung ist

${\displaystyle \lambda ^{2}-\varepsilon \cdot \lambda +1=0}$

mit den Lösungen

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {\varepsilon }{2}}\pm {\frac {\sqrt {\varepsilon ^{2}-4}}{2}}}$

Entsprechend der Größe von ${\displaystyle \varepsilon }$ gibt es folgende Fälle:

• ${\displaystyle \varepsilon >2}$; exponentielles Wachstum des linearisierten Systems, d. h. das System ist um den stationären Punkt instabil
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <2}$; anwachsende Schwingungen
• ${\displaystyle \varepsilon =0}$; harmonische Schwingung.

Die negative Dämpfung (${\displaystyle \varepsilon >0}$) für kleine Elongation des Oszillators wird für größere Elongationen (${\displaystyle |x|>1}$) positiv. Die Schwingung wird also gedämpft, um bei kleinen Elongationen wieder selbst angeregt zu werden.

Eigenschaften des Lösungsverhaltens sind:

• Die Periodendauer der Schwingung nimmt mit dem Parameter ${\displaystyle \varepsilon }$ zu.
• Mit wachsendem ${\displaystyle \varepsilon \;}$ wird die Schwingung anharmonischer und geht in Kippschwingungen über.
• Unabhängig von den gewählten Anfangsbedingungen strebt das System in einen bestimmten Grenzzyklus.

Der Beweis der Existenz eines eindeutigen, asymptotisch stabilen Grenzzyklus erfolgt mit Hilfe der Poincaré-Abbildung.

Inhomogene Van-der-Pol-Gleichung

Die dimensionslose inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\displaystyle {\ddot {x}}-\varepsilon (1-x^{2}){\dot {x}}+x=F\cdot \sin(\omega \cdot t)}$

beschreibt den getriebenen Van-der-Pol-Oszillator mit der Amplitude ${\displaystyle F}$ und der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$.

Einige Eigenschaften der Lösung:

• Für kleine Amplituden der Anregung schwingt das System mit der Eigenfrequenz.
• Für größere Amplituden treten neben der Eigenfrequenz und der Anregungsfrequenz noch weitere auf. Es zeigt sich quasiperiodisches Verhalten: Wenn man den folgenden Poincaré-Schnitt mit der Zeit t definiert

${\displaystyle t={\frac {n\cdot 2\pi }{\omega }},n\in \mathbb {N} }$

erhält man die 2-dimensionale (stroboskopische) Abbildung. Ein Lyapunov-Exponent ist null und der andere ist negativ, was eine quasiperiodische Bewegung bedeutet.

• Eine weitere Vergrößerung der Amplitude führt zum Einrasten: das System schwingt mit der Anregungsfrequenz.