Annahmen

• Es gibt ${\displaystyle n}$ Bieter für ein einzelnes Objekt. Jeder Bieter ${\displaystyle i}$ bewertet das zu versteigernde Objekt mit ${\displaystyle v_{i}}$, also dem maximalen Betrag, den der Bieter bereit ist, für das Objekt zu bezahlen.

• Jede Bewertung ${\displaystyle v_{i}}$ ist identisch und unabhängig auf ${\displaystyle [0,{\overline {v}}]}$, wobei ${\displaystyle v_{i}\in [0,\infty )}$, verteilt mit entsprechender Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)}$ und der dazugehörigen Dichtefunktion ${\displaystyle f(x)={\frac {dF(x)}{dx}}=F^{\prime }(x)}$.

• ${\displaystyle E[v_{i}]<\infty ,\quad \forall v_{i}\in [0,{\overline {v}}]}$.

• Die Bieter sind risiko-neutral, und das zu versteigernde Objekt ist von rein privatem Wert.

• Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F(x)}$ und die Anzahl ${\displaystyle n,n\in \mathbb {N} }$, der Bieter sind Common Knowledge, also jedem Bieter bekannt.

• Die Strategie eines Bieters ${\displaystyle i}$ ist eine Funktion ${\displaystyle \beta _{i}:[0,{\overline {v}}]\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$, die zu jeder Bewertung das eigene Gebot bestimmt.

• Das Gleichgewicht ist ein symmetrisches Gleichgewicht, also jeder Bieter verfolgt dieselbe Strategie: ${\displaystyle b_{i}=\beta (v),\quad \forall i\in \{1,...,n\}}$.

• Die Auszahlung des Bieters ${\displaystyle i}$ mit Bewertung ${\displaystyle v_{i}}$ des zu versteigernden Objektes und Gebot ${\displaystyle b_{i}}$ ist

${\displaystyle u(b_{i},b_{-i},v_{i})={\begin{cases}v_{i}-b_{i}&b_{i}>\max _{j\neq i}b_{j}\\0&b_{i}<\max _{j\neq i}b_{j}\end{cases}}.}$

Herleitung der optimalen Bietstrategie

Sei ${\displaystyle b_{i}}$ das Gebot des Spielers ${\displaystyle i}$. Es ist niemals optimal, ein Gebot ${\displaystyle b_{i}>\beta ({\overline {v}})}$ zu wählen, da in diesem Fall der Bieter das Objekt auf jeden Fall bekommt, er aber durch Reduzierung seines Gebotes sich besser stellen kann, da er dann das Objekt trotzdem bekommt, aber weniger bezahlen muss. Daraus folgt, dass man nur den Fall ${\displaystyle b_{i}\leq \beta ({\overline {v}})}$ betrachten muss. Zudem würde ein Bieter mit Bewertung ${\displaystyle 0}$ niemals ein positives Gebot abgeben, da er dann ein Verlust machen würde, wenn er die Auktion gewinnen würde. Also gilt ${\displaystyle \beta (0)=0}$.

Bieter ${\displaystyle i}$ bekommt das Objekt, wenn er das höchste Gebot abgibt, also ${\displaystyle \max _{j\neq i}\beta _{j}(v_{j})<b_{i}}$. Da ${\displaystyle \beta }$ monoton wachsend ist, gilt:

${\displaystyle \max _{j\neq i}\beta _{j}(v_{j})=\beta _{j}(\max _{j\neq i}v_{j})=\beta (Y_{1})}$

mit ${\displaystyle Y_{1}}$ als höchste Bewertung der ${\displaystyle n-1}$ übrigen Spieler.

Bieter ${\displaystyle i}$ erhält den Zuschlag für das Objekt immer dann, wenn ${\displaystyle \beta (Y_{1})<b_{i}\Longleftrightarrow Y_{1}<\beta ^{-1}(b_{i})}$.

Seine erwartete Auszahlung ist nun

${\displaystyle E[b_{i},b_{-i}^{\ast },v_{i}]=G\left(\beta ^{-1}(b_{i})\right)\cdot (v_{i}-b_{i})}$

mit ${\displaystyle G}$ Verteilungsfunktion von ${\displaystyle Y_{1}}$.

Maximierung der erwarteten Auszahlung über ${\displaystyle b_{i}}$ führt zu

${\displaystyle {\frac {\partial E[b_{i},b_{-i}^{\ast },v_{i}]}{\partial b_{i}}}={\frac {g\left(\beta ^{-1}(b_{i})\right)}{\beta '\left(\beta ^{-1}(b_{i})\right)}}\cdot (v_{i}-b_{i})-G\left(\beta ^{-1}(b_{i})\right){\overset {!}{=}}0}$

mit ${\displaystyle g}$ Dichtefunktion von ${\displaystyle Y_{1}}$.

Da das Gleichgewicht symmetrisch ist (${\displaystyle b_{i}=\beta (v)}$), folgt nun folgende Differentialgleichung:

${\displaystyle G(v)\beta '(v)+g(v)\beta (v)=vg(v)}$ oder

${\displaystyle {\frac {d}{dv}}\left(G(v)\beta (v)\right)=vg(v).}$

Mit der Anfangswertbedingung ${\displaystyle \beta (0)=0}$ erhält man nun die optimale Bietstrategie:

${\displaystyle \beta (v)={\frac {1}{G(v)}}\int _{0}^{v}yg(y)dy=E[Y_{1}|Y_{1}<v].}$

Oder mit Hilfe von partieller Integration:

${\displaystyle \beta (v)=E[Y_{1}|Y_{1}<v]=v-\int _{0}^{v}{\frac {G(y)}{G(v)}}dy.}$

Somit lautet die optimale Bietstrategie eines Bieters, die erwartete höchste Bewertung aller anderen Bieter abzugeben, gegeben diese höchste Bewertung ist niedriger als seine eigene Bewertung.

Erwarteter Erlös des Verkäufers

Die erwartete Zahlung des Käufers mit dem höchsten Gebot ist

${\displaystyle m(v)=G(v)\cdot E[Y_{1}|Y_{1}<v]=\int _{0}^{v}yg(y)dy.}$

Die ex ante erwartete Zahlung des Käufers ist

${\displaystyle E[m(v)]=\int _{0}^{\overline {v}}m(x)f(x)dx=\int _{0}^{\overline {v}}\left(\int _{0}^{v}yg(y)dy\right)f(x)dx=\int _{0}^{\overline {v}}\left(\int _{y}^{\overline {v}}f(x)dx\right)yg(y)dy=\int _{0}^{\overline {v}}y(1-F(y))g(y)dy.}$

Der erwartete Erlös des Verkäufers ist nun

${\displaystyle E[R]=n\cdot E[m(v)]=n\cdot \int _{0}^{\overline {v}}y(1-F(y))g(y)dy.}$

Mit Hilfe der Ordnungsstatistiken ergibt sich nun für den erwarteten Erlös des Verkäufers:

${\displaystyle E[R]=E[Y_{2}]}$

mit ${\displaystyle Y_{2}}$ als zweithöchste Bewertung aller ${\displaystyle n}$ Bieter. Der erwartete Erlös des Verkäufers ist gerade die erwartete zweithöchste Bewertung aller ${\displaystyle n}$ Bieter.

Erlösäquivalenz zur Zweitpreisauktion

Das Erlösäquivalenztheorem besagt, dass bei Güter mit rein privatem Wert und risikoneutralen Bietern der erwartete Erlös des Verkäufers in Erst- und Zweitpreisauktion der gleiche ist.

Beispiel: Optimale Bietstrategie für gleichverteilte Bewertungen des zu versteigernden Objektes

Wenn die Bewertungen auf ${\displaystyle [0,{\overline {v}}]}$ gleichverteilt sind, dann gilt für die zugehörige Dichtefunktion:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\overline {v}}}&x\in [0,{\overline {v}}]\\0&x\notin [0,{\overline {v}}]\end{cases}}.}$

Daraus folgt für Verteilungsfunktion:

${\displaystyle P(X\leq x)=F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\overline {v}}}dt=\left[{\frac {1}{\overline {v}}}t\right]_{0}^{x}={\begin{cases}{\frac {1}{\overline {v}}}x&x\in [0,{\overline {v}}]\\0&x\notin [0,{\overline {v}}]\end{cases}}.}$

Für die Verteilung ${\displaystyle G(v)}$ der höchsten Ordnungsstatistik der ${\displaystyle n-1}$ übrigen Bieter gilt nun:

${\displaystyle G(v)=\left[F(v)\right]^{n-1}=\left({\frac {1}{\overline {v}}}v\right)^{n-1}}$

und damit ergibt sich folgende optimale Bietstrategie:

${\displaystyle \beta (v)=v-\int _{0}^{v}{\frac {G(y)}{G(v)}}dy=v-\int _{0}^{v}\left({\frac {F(y)}{F(v)}}\right)^{n-1}dy={\frac {n-1}{n}}\cdot v.}$

Insbesondere gilt:

${\displaystyle {\frac {\partial \beta (v)}{\partial n}}={\frac {1}{n^{2}}}\cdot v>0,\quad \forall v>0,}$

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\beta (v)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n-1}{n}}\cdot v=v.}$

Das Gebot ist streng monoton steigend in der Bieteranzahl und bei einer großen Bieteranzahl geht das Gebot gegen die eigene Bewertung ${\displaystyle v}$ des Objektes und somit die Auszahlung gegen ${\displaystyle 0}$.

Risiko-averse Bieter

Jeder Bieter hat nun als Auszahlungsfunktion eine Von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ mit ${\displaystyle u(0)=0}$, ${\displaystyle u'>0}$ und ${\displaystyle u''<0}$. Anstatt wie im Falle der Risikoneutralität die erwartete Auszahlung zu maximieren, wird nun der erwartete Nutzen maximiert. Die Gleichgewichtsstrategien sind durch eine wachsende und differenzierbare Funktion ${\displaystyle \gamma$ :[0,{\overline {v}}]\rightarrow \mathbb {R} } mit ${\displaystyle \gamma (0)=0}$ gegeben. Das Optimierungsproblem eines Bieters ${\displaystyle i}$ mit Bewertung ${\displaystyle v_{i}}$ ist demnach durch

${\displaystyle \max _{b_{i}\in [0,{\overline {v}}]}G(b_{i})\cdot u(v_{i}-\gamma (b_{i})).}$

gegeben. Die Bedingung erster Ordnung lautet nun

${\displaystyle g(b_{i})\cdot u(v_{i}-\gamma (b_{i}))-G(b_{i})\cdot \gamma '(b_{i})\cdot u'(v_{i}-\gamma (b_{i})){\overset {!}{=}}0.}$

Im symmetrischen Gleichgewicht gilt ${\displaystyle b_{i}=v}$ für alle Bieter ${\displaystyle i}$ und somit:

${\displaystyle \gamma '(v)={\frac {u(v-\gamma (v))}{u'(v-\gamma (v))}}\cdot {\frac {g(v)}{G(v)}}.}$

Sind die Bieter risikoneutral, gilt ${\displaystyle u(v)=v}$ und somit

${\displaystyle \beta '(v)=(v-\beta (v))\cdot {\frac {g(v)}{G(v)}}.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \beta (\cdot )}$ die Gleichgewichtsstrategie für risikoneutrale Bieter. Da ${\displaystyle u(\cdot )}$ streng konkav ist und ${\displaystyle u(0)=0}$, gilt ${\displaystyle {\frac {u(v)}{u'(v)}}>v,\quad \forall v>0}$ und somit

${\displaystyle \gamma '(v)={\frac {u(v-\gamma (v))}{u'(v-\gamma (v))}}\cdot {\frac {g(v)}{G(v)}}>(v-\gamma (v))\cdot {\frac {g(v)}{G(v)}}.}$

Falls ${\displaystyle \beta (v)>\gamma (v)}$ gilt auch ${\displaystyle \beta '(v)<\gamma '(v)}$. Da laut Annahme ${\displaystyle \beta (0)=\gamma (0)=0}$, folgt nun ${\displaystyle \forall v>0}$:

${\displaystyle \gamma (v)>\beta (v).}$

So kommt es bei risiko-aversen Bietern zu höheren Gleichgewichtsgeboten als bei risiko-neutralen Bietern. Der risiko-averse Bieter will sich durch ein höheres Gebot gegen die Wahrscheinlichkeit des Verlierens der Auktion versichern.

Verkäufer mit Reservationspreis

Hat der Verkäufer einen Reservationspreis ${\displaystyle r>0}$, so ist der erzielte Preis mindestens ${\displaystyle r}$, da kein Bieter ${\displaystyle i}$ mit Bewertung ${\displaystyle v_{i}<r}$ einen positiven Gewinn erzielen kann. Zudem gilt im symmetrischen Gleichgewicht für die Bietstrategie ${\displaystyle \beta (r)=r}$, da ein Bieter mit Bewertung ${\displaystyle r}$ die Auktion nur gewinnt, wenn alle anderen Bieter geringere Gebote als ${\displaystyle r}$ abgegeben haben und er dann auch mit einem Gebot in Höhe von ${\displaystyle r}$ die Auktion gewinnt. Für die optimale Bietstrategie im Fall ${\displaystyle v\geq r}$ gilt:

${\displaystyle \beta (v)=E[\max {(Y_{1},r)}|Y_{1}<v]=r\cdot {\frac {G(r)}{G(v)}}+{\frac {1}{G(v)}}\int _{r}^{v}yg(y)dy.}$

Asymmetrische Bieter

Es existieren 2 Bieter mit Bewertungen ${\displaystyle v_{1}}$ und ${\displaystyle v_{2}}$, die unabhängig auf ${\displaystyle [0,{\overline {v_{1}}}]}$ bzw. ${\displaystyle [0,{\overline {v_{2}}}]}$ mit Verteilungsfunktionen ${\displaystyle F_{1}(x)}$ bzw. ${\displaystyle F_{2}(x)}$ verteilt sind. Die Strategien im Gleichgewicht seien ${\displaystyle \beta _{1}}$ und ${\displaystyle \beta _{2}}$. Diese Strategien sind monoton wachsend, differenzierbar und haben als Umkehrfunktion ${\displaystyle \phi _{1}=\beta _{1}^{-1}}$ und ${\displaystyle \phi _{2}=\beta _{2}^{-1}}$. Es gilt wie im symmetrischen Fall ${\displaystyle \beta _{1}(0)=\beta _{2}(0)=0}$ und außerdem ${\displaystyle \beta _{1}({\overline {v_{1}}})=\beta _{2}({\overline {v_{2}}})={\overline {b}}}$, da, wenn beispielsweise ${\displaystyle \beta _{1}({\overline {v_{1}}})>\beta _{2}({\overline {v_{2}}})}$ gelten würde, Bieter 1 die Auktion mit Wahrscheinlichkeit 1 gewinnt, falls seine Bewertung ${\displaystyle {\overline {v_{1}}}}$ ist, jedoch gewinnt er trotzdem, wenn er sein Gebot um einen infinitesimal kleinen Betrag ${\displaystyle \epsilon >0}$ reduzieren würde.

Gegeben Spieler ${\displaystyle j=1,2}$ spielt seine Strategie ${\displaystyle \beta _{j}}$, die erwartete Auszahlung von Spieler ${\displaystyle i\neq j}$ mit Bewertung ${\displaystyle v_{i}}$ und Gebot ${\displaystyle b<{\overline {b}}}$ ist

${\displaystyle E[b,b_{-i}^{\ast },v_{i}]=F_{j}(\phi _{j}(b))\cdot (v_{i}-b).}$

Ableiten nach ${\displaystyle b}$ führt zu

${\displaystyle {\frac {\partial E[b,b_{-i}^{\ast },v_{i}]}{\partial b}}=\phi _{j}'(b)\cdot F_{j}'(\phi _{j}(b))(v_{i}-b)-F_{j}(\phi _{j}(b)){\overset {!}{=}}0.}$

Im Gleichgewicht gilt ${\displaystyle v_{i}=\phi _{i}(b)}$ und mit ${\displaystyle F_{j}'(x)=f_{j}(x),\quad \forall j=1,2}$, folgt:

${\displaystyle \phi _{j}'(b)={\frac {F_{j}(\phi _{j}(b))}{f_{j}(\phi _{j}(b))\cdot (\phi _{i}(b)-b)}}.}$

Zu diesem System von Differentialgleichungen kann man nur für einige Spezialfälle eine explizite Lösung angeben. Gilt aber zum Beispiel, dass die Bewertungen von Bieter 1 stochastisch höher sind als die von Bieter 2, d. h. für ${\displaystyle {\overline {v_{1}}}\geq {\overline {v_{2}}}}$ und ${\displaystyle \forall x\in (0,{\overline {v_{2}}})}$ gilt

${\displaystyle {\frac {f_{1}(x)}{F_{1}(x)}}>{\frac {f_{2}(x)}{F_{2}(x)}},}$

so folgt

${\displaystyle \beta _{1}(x)<\beta _{2}(x),\quad \forall x\in (0,{\overline {v_{2}}}).}$

Der "schwache" Bieter 2 bietet aufgrund seiner stochastisch niedrigeren Bewertungen aggressiver gegenüber dem "starken" Bieter 1.

Abhängige Bewertungen bzw. Versteigerung von Objekten mit allgemeinem Wert

Es existieren ${\displaystyle n}$ Bieter mit Bewertung ${\displaystyle v_{i}}$. Der wahre Wert des zu versteigernden Objekts sei ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle V}$ gleichverteilt auf ${\displaystyle [{\underline {V}},{\overline {V}}]}$. Jeder Bieter ${\displaystyle i}$ hat eine Schätzung für den wahren Wert ${\displaystyle v_{i}=V+\varepsilon _{i}}$. Der Wert ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ist die Genauigkeit der Schätzung des Bieters ${\displaystyle i}$ des wahren Wertes ${\displaystyle V}$, wobei die ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ unabhängig von ${\displaystyle V}$ auf ${\displaystyle [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$ gleichverteilt mit Dichtefunktion ${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1}{2\varepsilon }}}$ sind. Die Schätzungen der Bieter sind erwartungstreu, denn es gilt:

${\displaystyle E[v_{i}]={\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }V+\varepsilon _{i}d\varepsilon _{i}=V.}$

Somit liegen alle Schätzungen der Bieter im Intervall ${\displaystyle [V-\varepsilon ,V+\varepsilon ]}$ bzw. weiß Bieter ${\displaystyle i}$, dass der wahre Wert im Intervall ${\displaystyle [v_{i}-\varepsilon ,v_{i}+\varepsilon ]}$ liegt.

Maximierung der erwarteten Auszahlung führt zur optimalen Bietstrategie:

${\displaystyle \beta (v_{i})=(v_{i}-\varepsilon )+{\frac {2\varepsilon }{n+1}}\cdot \exp \left(-{\frac {n}{2\varepsilon }}\cdot ({\underline {V}}+\varepsilon -v_{i})\right).}$

Insbesondere gilt:

${\displaystyle {\frac {\partial \beta (v_{i})}{\partial n}}<0,}$

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\beta (v_{i})=v_{i}-\varepsilon }$.

Das optimale Gebot ist der kleinste Wert des Objekts ${\displaystyle v_{i}-\varepsilon }$ auf Grund der Schätzung ${\displaystyle v_{i}}$ plus ein Zuschlag, der umso geringer ausfällt, umso mehr Bieter sich an der Auktion beteiligen.

Der Gewinner der Auktion unterliegt dem Fluch des Gewinners: Würde der Bieter nur auf Grund seiner eigenen Schätzung des wahren Wertes, ${\displaystyle v_{i}}$, bieten, so ist das optimale Gebot das gleiche wie im Fall von Objekten mit rein privater Bewertung. Jedoch vernachlässigt diese Schätzung die Information, dass der Gewinner der Auktion die höchste Schätzung hatte, und somit ist das abgegebene Gebot höher als das optimale Gebot.