Annahmen

Im Folgenden wird von einer einstufigen Zweitpreisauktion ausgegangen, die den Annahmen des so genannten IPV-Modells (zu englisch independent private values, also etwa „unabhängige private Wertschätzungen“) genügt. Der hypothetische Ablauf einer solchen Auktion lässt sich folgendermaßen beschreiben:

1. Für jeden Bieter ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$ wird zufallsbestimmt gemäß der Funktion ${\displaystyle F}$ dessen Wertschätzung ${\displaystyle v_{i}\in \Theta }$ bestimmt; ${\displaystyle v_{i}}$ ist die Realisierung einer Zufallsvariable ${\displaystyle V_{i}}$, die unabhängig und identisch (i.i.d.) gemäß einer monoton steigenden Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ verteilt ist. Die Dichtefunktion von ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle f\equiv F'}$, sei stetig; ${\displaystyle F}$ habe vollen Support. Man beachte, dass die Wertschätzungen demnach symmetrisch in dem Sinne sind, dass die Wertschätzung eines jeden Bieters derselben Verteilung entnommen wird.
2. ${\displaystyle i}$ erfährt die Realisierung von ${\displaystyle V_{i}}$, ${\displaystyle v_{i}}$ (nicht aber die Wertschätzung anderer Bieter ${\displaystyle j\in {\mathcal {I}}\setminus \{i\}}$). (In der Realität kennt er sie natürlich bereits. Der beschriebene, fiktive Ablauf, in der der Spieler die Wertschätzung erst zu einem gewissen Zeitpunkt erfährt, stellt lediglich sicher, dass die Wertschätzung ein Zug aus einer Verteilung ist.)
3. Die Bieter entscheiden unabhängig voneinander über ihr Gebot. Das gewählte Gebot ist abhängig von der eigenen Wertschätzung für das Objekt und wird mit ${\displaystyle b_{i}}$ bezeichnet, wobei ${\displaystyle b_{i}=\beta _{i}(v_{i})}$. Weil die Wertschätzungen symmetrisch sind und die Bieter als gleich informierte, vollständig rationale Payoff-Maximierer gleiche Strategien wählen werden, unterscheidet sich die Funktion ${\displaystyle \beta _{i}}$ nicht zwischen den Bietern und man verzichtet bisweilen auf den Index, sodass also ${\displaystyle b_{i}=\beta (v_{i})}$, ${\displaystyle \beta$ :\Theta \rightarrow {\mathcal {B}}} .
4. Die Bieter realisieren ihre Payoffs ${\displaystyle \pi _{i}}$.

Im hier skizzierten Grundmodell bezieht sich die Auktion dabei stets auf ein Objekt. Die Bieter sind vollständig rational und insbesondere auch risikoneutral, das heißt, sie maximieren bei ihren Handlungen ihren erwarteten Payoff. Sie unterliegen keiner Budgetbeschränkung und sind daher auch in der Lage, im Fall eines Gewinns die anfallenden Kosten zu begleichen. Schließlich sind jedem Spieler abgesehen von den Realisierungen von ${\displaystyle V_{i}}$ bei anderen Spielern sämtliche vorstehenden Merkmale bekannt, insbesondere also auch die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$. Im Abschnitt Erweiterungen werden einige dieser Annahmen aufgegeben.

Eigenschaften

Payoff

Die Payoff-Funktion in einer Zweitpreisauktion der beschriebenen Gestalt ist durch

${\displaystyle \pi _{i}(v_{i})={\begin{cases}v_{i}-\max _{j\neq i}b_{j}&\mathrm {falls} \;b_{i}>\max _{j\neq i}b_{j}\\0&\mathrm {falls} \;b_{i}<\max _{j\neq i}b_{j}\end{cases}}}$.

gegeben. In Worten: Ist ein Bieter Höchstbietender, so entspricht sein Payoff der Differenz zwischen dem Wert, den das Objekt für ihn hat, und den Kosten (also dem zweithöchsten Gebot), die ihm entstehen; ist er nicht Höchstbietender, resultiert ein Payoff von null. Der Fall ${\displaystyle b_{i}=\max _{j\neq i}b_{j}}$ wird oft durch Randomisierung aufgelöst (sodass jeder der ${\displaystyle h}$ Höchstbietenden mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1/h}$ gewinnt) oder äquivalent, zur praktischen Vereinfachung, indem man die Gebote zunächst nummeriert und bei Gleichstand dasjenige mit der höchsten/niedrigsten Nummer gewinnen lässt.

Optimale Gebotshöhe

Um dies einzusehen, überlege man sich, dass es nicht optimal sein kann, irgendeinen Betrag ${\displaystyle b_{i}\neq v_{i}}$ zu bieten.

• Ein Gebot ${\displaystyle b_{i}<v_{i}}$ ist nicht optimal. Bietet ${\displaystyle i}$ stattdessen ${\displaystyle b_{i}+\epsilon <v_{i}}$ mit geeignetem ${\displaystyle \epsilon >0}$, erhält er das Objekt noch immer (und zum selben Preis), wenn ${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}}$, aber neu zusätzlich auch dann, wenn ${\displaystyle b_{i}<\max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}+\epsilon }$, womit annahmegemäß ebenfalls ein positiver Payoff realisiert werden kann.

• Ein Gebot ${\displaystyle b_{i}>v_{i}}$ ist nicht optimal. Bietet ${\displaystyle i}$ stattdessen ${\displaystyle b_{i}-\epsilon >v_{i}}$ mit geeignetem ${\displaystyle \epsilon >0}$, erhält er das Objekt noch immer (und zum selben Preis), wenn ${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}-\epsilon }$, aber neu nicht mehr dann, wenn ${\displaystyle b_{i}-\epsilon <\max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}}$, womit jedoch annahmegemäß ein negativer Payoff realisiert worden wäre.

Folglich sollte weder unterhalb noch oberhalb der Wertschätzung geboten werden, weil man damit niemals einen höheren, mitunter aber einen niedrigeren Payoff realisiert. Die Aussage gilt im Übrigen unabhängig von den obigen Verteilungsannahmen (i.i.d.); sie hängt lediglich von der Annahme privater Wertschätzungen ab. Zweitpreisauktionen sind mithin anreizkompatibel.

Die nachfolgenden Grafiken illustrieren die Optimalität wertschätzungsgemäßen Bietens. Dargestellt ist der Payoff von ${\displaystyle i}$ (vertikale Achse) in Abhängigkeit vom höchsten nichteigenen Gebot (horizontale Achse), gegeben die drei Situationen, dass das eigene Gebot der eigenen Wertschätzung entspricht (Fall 1), darunter (Fall 2) oder darüber (Fall 3) liegt. Die Payoff-Funktion ist immer dort in roter Farbe gezeichnet, wo der Spieler mit seinem Gebot siegreich wäre. Man erkennt so leicht, dass im Fall wertschätzungsgemäßen Bietens der größtmögliche erwartete Payoff erzielt wird.

Gleichgewicht(e)

Die hier identifizierte schwach dominante Strategie induziert allerdings nur eines von vielen bayesschen Nash-Gleichgewichten. Sei beispielsweise ${\displaystyle {\mathcal {I}}={1,2}}$ und werde die Wertschätzung der Bieter aus einer Gleichverteilung über ${\displaystyle [0,1]}$ gezogen. Dann charakterisieren ${\displaystyle b_{1}=3}$ und ${\displaystyle b_{2}=0}$ (sowie ein ganzes Kontinuum an weiteren Strategien) ebenfalls ein Gleichgewicht, wenn auch kein „perfektes“ im Sinne von Selten (1975) (so genanntes Trembling-hand-perfektes Gleichgewicht). Vielmehr sind solche Gleichgewichte instabil: Legt ein Spieler auch nur ein wenig Wahrscheinlichkeitsmasse darauf, dass sein Gegenspieler einen Fehler macht, bricht das Gleichgewicht in sich zusammen. Wenn Bieter 2 glaubt, dass Bieter 1 mit hoher Wahrscheinlichkeit (und nicht: mit Sicherheit) 3 und mit geringer Wahrscheinlichkeit einen Betrag unter der Wertschätzung des Bieter 2 bietet, dann hätte Bieter 2 eine (geringe) Chance, die Auktion mit strikt positivem Payoff zu gewinnen, wenn er mehr als 0 bietet, und sofern das Gebot nicht über seiner Wertschätzung liegt, hat er auch keinerlei Verluste zu befürchten. Eine allgemeine Charakterisierung sämtlicher Gleichgewichte einer Zweitpreisauktion – auch für den weiter unten im Detail besprochenen Fall asymmetrischer Bieter – liefern Blume und Heidhues (2004).

Effizienz

Man bezeichnet eine Ein-Objekt-Auktion als effizient, wenn das Objekt demjenigen Bieter zugeteilt wird, der dafür unter allen Bietern ex post die höchste Wertschätzung aufbringt – ungeachtet des Preises, der bezahlt wird. Dies ist bei der skizzierten Zweitpreisauktion offensichtlich der Fall.

Erwartete Kosten und erwarteter Ertrag

Ordnet man die Wertschätzungen (genauer: die Zufallsvariablen der Wertschätzungen) aller Bieter außer ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{n-1}}$, in absteigender Reihenfolge, so ergibt sich eine Rangordnung ${\displaystyle Y_{1:n-1},\ldots ,Y_{n-1:n-1}}$ mit ${\displaystyle Y_{1:n-1}\geq \ldots \geq Y_{n-1:n-1}}$. Dabei bezeichnet man ${\displaystyle Y_{k:n-1}}$ als ${\displaystyle k}$-te Ordnungsstatistik der Wertschätzungen aller Bieter außer ${\displaystyle i}$. Die erste Ordnungsstatistik, ${\displaystyle Y_{1:n-1}}$, folge einer Verteilung ${\displaystyle G}$ mit stetiger Dichte ${\displaystyle g\equiv G'}$. Diese Verteilung lässt sich auch quantifizieren: Weil jede individuelle Wertschätzung unabhängig aus ein und derselben Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ gezogen wird, ist im IPV-Framework ${\displaystyle G=F^{n-1}}$.

Die erwarteten Kosten für Bieter ${\displaystyle i}$ betragen unter Verwendung dieser Terminologie

${\displaystyle {\begin{aligned}m(v_{i})&=\mathrm {Prob} (\mathrm {Gewinn} )\cdot \mathbb {E} (\mathrm {zweith{\ddot {o}}chstes} \;\mathrm {Gebot} |v_{i}\;\mathrm {ist} \;\mathrm {h{\ddot {o}}chstes} \;\mathrm {Gebot} )\\&=G(v_{i})\cdot \mathbb {E} (Y_{1:n-1}|Y_{1:n-1}<v_{i})\end{aligned}}}$,

wobei für die zweite Gleichung die Tatsache genutzt wird, dass im Gleichgewicht in Höhe der Wertschätzung geboten wird. Nach dem Erlös-Äquivalenz-Theorem entspricht dieser Ausdruck auch den erwarteten Kosten bei einer Erstpreisauktion sowie bei einer ganzen Klasse weiterer Auktionsformate.

Aus der Perspektive des Verkäufers gilt es, den erwarteten Erlös zu maximieren. Bei diesem handelt es sich freilich gerade um den ${\displaystyle n}$-fachen Erwartungswert der individuellen Bieterkosten. Dieser Erwartungswert wiederum ist in der Tat bekannt, weil die Verteilung von ${\displaystyle V_{i}}$ gemäß den Modellannahmen bekannt ist. Es ist also

${\displaystyle n\cdot \mathbb {E} \left[m(V)\right]=n\int _{0}^{\overline {v}}m(v)f(v)\mathrm {d} v=\mathbb {E} \left(Y_{2:n}\right)}$,

wobei für die Herleitung der letzten Gleichung auf eine Fußnote verwiesen wird.

Erweiterungen

Bewertung

Die Tatsache, dass genau in Höhe der eigenen Wertschätzung geboten werden sollte, vereinfacht den Bietprozess aus Sicht des Bieters, weil es zur Festlegung des eigenen Gebots keiner Verteilungsannahmen über die Gebotshöhen anderer Bieter bedarf. Im Vergleich zu der im Fall privater Wertschätzungen strategisch äquivalenten aufsteigenden Auktion (auch: Englischen Auktion) bietet die Zweitpreisauktion den Vorteil, dass es für die Bieter nicht erforderlich ist, über längere Zeit dem Bietprozess beizuwohnen („mitzubieten“), da dieser in einem einstufigen Sealed-Bid-Format ja bereits durch die einmalige Gebotsabgabe abgeschlossen ist. So war es beispielsweise in dem ursprünglich auf der Internet-Auktionsplattform Ebay verwendeten Format der Englischen Auktion für einen Payoff-optimierenden Kunden erforderlich, etwa über die Anstellung eines Agenten, spezielle Software oder eigene Präsenz sicherzustellen, dass man zum Ende der Auktion hin auch tatsächlich noch aktiv am Bietprozess beteiligt ist; dieser Aufwand entfällt beim hier vorgestellten Format.

Rothkopf, Teisberg und Kahn (1990) führen zwei Gründe an, weshalb Zweitpreisauktionen in der Praxis selten anzutreffen sind. Zum einen sei dies darauf zurückzuführen, dass die Bieter befürchten, betrogen zu werden. Da der Höchstbietende das zweithöchste Gebot bezahlt, ist er davon abhängig, dass der Verkäufer/Auktionator dieses auch korrekt beziffert und nicht etwa noch ein eigenes Gebot einfügt, um den Preis in die Höhe zu treiben. Zum anderen sei gerade die Tatsache, dass es optimal ist, seine eigene Wertschätzung offenzulegen, für Bieter abschreckend. Ein Teilnehmer an einer Zweitpreisauktion hat regelmäßig einen erheblichen Anreiz, andere Bieter bzw. einen Verkäufer nicht über die tatsächliche Wertschätzung zu informieren. Zu denken ist auch an Situationen, in denen Auktionsergebnisse nachverhandelt werden; hier würde potenziell etwa die Verhandlungsmacht eines Unternehmens darunter leiden, dass zuvor durch das strategiekonforme Gebot faktisch die Kostenstruktur offengelegt wurde. Dieser Punkt lässt sich in der Praxis auch auf dem bereits angesprochenen Sammlermarkt für Briefmarken nachvollziehen. Abhilfe liefern möglicherweise technologische Innovationen, die den Preisbildungsprozess transparenter und weniger anfällig für Manipulation machen.

Annahmen und Zusammenhang zum IPV-Modell

Die Annahmen des IPV-Modells erscheinen in der Praxis häufig nicht sehr plausibel, weil die eigene Wertschätzung von der Wertschätzung anderer Bieter beeinflusst ist. Dies mag aus persönlicher Unentschlossenheit herrühren, resultiert jedoch mitunter auch aus der Ungewissheit über den Wiederverkaufspreis – weiß ein Bieter etwa um die niedrigen Wertschätzungen seiner Mitbieter, wird er seinen erwarteten Wiederverkaufserlös herabsetzen, was sein Bietverhalten beeinflussen kann; wieder eine andere Möglichkeit besteht darin, dass ein Teil des Objektkonsums als Geltungskonsum realisiert wird. Ein solches Szenario führt auf ein Modell mit interdependenten Wertschätzungen, und zwar interdependent in dem Sinne, dass sich die Wertschätzung eines Bieters verändern würde, wenn er die Wertschätzung (bestimmter) anderer Bieter kennen würde. Formal wird dies so beschrieben, dass jedem Bieter ein Signal ${\displaystyle S_{i}}$ mitgeteilt wird (im IPV-Grundmodell war dies dann direkt seine Wertschätzung); die individuelle Wertschätzung ergibt sich anschließend als Funktion aller Signale,

${\displaystyle V_{i}=\nu _{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})}$.

Diese Betrachtungsweise erlaubt zwei Spezialfälle: das IPV-Grundmodell, wenn man

${\displaystyle V_{i}=\nu _{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=S_{i}}$

setzt, und andererseits das Common-Value-Modell, wenn ${\displaystyle V_{i}=V=\nu (S_{1},\ldots ,S_{n})}$ für alle ${\displaystyle i}$, wenn also, in Worten, jeder Bieter dem Objekt eine identische (allerdings nicht bekannte) Wertschätzung entgegenbringt.

Erhält ein anderer Bieter ein höheres Signal, so sollte die eigene Wertschätzung stets mindestens so hoch sein wie sie es bei einem niedrigeren Signal des anderen Bieters wäre. Im Fall des eigenen Signals gelte sogar, dass ein höheres solches stets auch mit einer strikt höheren Wertschätzung einhergeht. Mithin gilt also

${\displaystyle {\frac {\partial \nu _{i}}{\partial S_{j}}}\geq 0}$ für alle ${\displaystyle i,j\in {\mathcal {I}}}$ sowie ${\displaystyle {\frac {\partial \nu _{i}}{\partial S_{i}}}>0}$ für alle ${\displaystyle i\in {\mathcal {I}}}$.

${\displaystyle \nu _{i}}$ sei außerdem zweimal stetig differenzierbar. Die Signale sind analog der Wertschätzung im IPV-Fall konstruiert; es ist ${\displaystyle S_{i}\in [0,{\overline {s}}]}$ mit ${\displaystyle {\overline {s}}}$ dem maximalen Signalwert. Um Interdependenzen zuzulassen, fasst man die Signale zu einer ${\displaystyle [0,{\overline {s}}]^{n}}$-wertigen Zufallsvariable ${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{1},\ldots ,S_{n})}$ zusammen; diese wiederum folgt einer Verteilung ${\displaystyle F}$ mit Dichtefunktion ${\displaystyle f}$. Die Symmetrieannahme findet dadurch Eingang in das Modell, dass für ${\displaystyle f}$ vorausgesetzt wird, dass es symmetrisch in seinen Argumenten ist, und zwar in folgendem Sinne: Für jede ${\displaystyle n}$-stellige Permutation ${\displaystyle \tau$ :{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {I}}} gelte, dass ${\displaystyle f(s_{1},\ldots ,s_{n})=f(s_{\tau (1)},\ldots ,s_{\tau (n)})}$, und dies für alle ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in [0,{\overline {s}}]^{n}}$. Es ist also für die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Signalkonfiguration irrelevant, welcher Bieter welches Signal erhält. Symmetrie gelte auch für die Wertschätzungsstruktur der Bieter. Dazu definiere man zunächst ${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {S} )\equiv u(S_{i},\mathbf {S} _{-i})}$ mit ${\displaystyle \mathbf {S} _{-i}\equiv (S_{1},\ldots ,S_{i-1},S_{i+1},\ldots ,S_{n})}$. ${\displaystyle u}$ sei symmetrisch in den letzten ${\displaystyle n-1}$ Argumenten (das heißt, diese können beliebig vertauscht werden, ohne den Funktionswert von ${\displaystyle u}$ zu beeinflussen). Ferner sei ${\displaystyle u(0,\mathbf {0} )=0}$.

Schließlich sind die Signale „affiliiert“ (affiliated), dergestalt dass ein höheres Signal bei einem anderen Bieter die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass das eigene Signal ebenfalls höher ist (positive Affiliation). Für die formale Definition wird auf eine Fußnote verwiesen. Beachte, dass dies keineswegs impliziert, dass ein Spieler auch alle anderen Signale kennt.

Eigenschaften

Fluch des Gewinners

Theorie

Auktionen mit interdependenten Wertschätzungen sind – anders als solche mit privaten Wertschätzungen – anfällig für Wahrnehmungsverzerrungen. Bieter haben zum Zeitpunkt der Gebotsabgabe eine Schätzung über den Wert des Objektes. Selbst wenn die jeweiligen Schätzungen unverzerrt sind, müssen Bieter den Informationswert ihres (potenziellen) eigenen Sieges miteinbeziehen: Wer die Auktion gewinnt, wird auch eine der höchsten Wertschätzungserwartungen bezüglich des Objektes gehabt haben, was wiederum Zweifel an der eigenen Schätzung aufkommen lassen sollte. Der Nichteinbezug dieser Information in die eigene Gebotswahl kann erhebliche Payoffeinbußen nach sich ziehen. Man bezeichnet diese Form der adversen Selektion als „Fluch des Gewinners“ (winner’s curse).

Experimentelle Ergebnisse

Das Bestehen des winner’s curse wird in experimentellen Arbeiten gewöhnlich anhand des Extremfalls einer Common-Value-Auktion analysiert und ist dort auch bei Zweitpreisauktionen ein weitgehend gesichertes Ergebnis.

Kagel, Levin und Harstad (1995) führen eine Reihe von Zweitpreisauktionen durch, bei denen den Studienteilnehmern der tatsächliche Wert des Objektes nicht mitgeteilt wird. („Objekt“ ist in diesem Zusammenhang nicht materiell zu verstehen; gemeint ist vielmehr der Anspruch des Gewinners, am Ende auch den behaupteten (monetären) Wert ausgezahlt zu bekommen.) Den Bietern werden private Signale mitgeteilt, die jeweils aus einer Gleichverteilung über ein Intervall um den tatsächlichen Wert herum zufällig gezogen werden. In späteren Runden wurde ihnen darüber hinaus auch noch das niedrigste Signal der Gegenspieler bekannt gegeben, woraufhin in einem Umfeld mit vier oder fünf Bietern eine nichtsignifikante Zunahme des durchschnittlichen Gewinns der Bieter resultiert, der durchschnittliche Gewinn bei sechs oder sieben Bietern jedoch stark zurückgeht (und durchweg negativ ausfällt). Weil zugleich Evidenz besteht, dass die Spieler ihre Bietfunktion bei unterschiedlichen Bieterzahlen nicht ändern, folgern die Autoren, dass diese Beobachtung wahrscheinlich dem Einfluss des (bei mehreren Spielern naturgemäß stärker ausgeprägten) Fluchs des Gewinners geschuldet ist.

Avery und Kagel (1997) analysieren das Bieterverhalten in einer Zweitpreisauktion, bei der sich der Wert des Objektes als Summe zweier unabhängiger, über ${\displaystyle [{\underline {s}},{\overline {s}}]}$ gleichverteilter Zufallsvariablen ${\displaystyle S_{i}}$ und ${\displaystyle S_{j}}$ ergibt. Jedem Bieter wird die Realisierung eines der Signale (${\displaystyle s_{i}}$ oder ${\displaystyle s_{j}}$) mitgeteilt. Die gleichgewichtige Strategie in diesem Setting wäre durch ${\displaystyle b_{i}=2s_{i}}$ bzw. ${\displaystyle b_{j}=2s_{j}}$ gegeben, allerdings ähnelt die tatsächliche Gebotshöhe deutlich dem naiven Schätzer in Form des unbedingten Erwartungswertes des Objektwertes, ${\displaystyle s_{i}+({\overline {s}}+{\underline {s}})/2}$. Darüber hinaus realisieren bei niedrigen Signalen fast alle siegreichen Bieter Verluste. Das Phänomen schwächt sich mit steigender Erfahrung der Bieter ab.

Rationalisierbarkeit?

Die implizite Erklärung des winner’s curse besteht üblicherweise in der Unfähigkeit der Bieter, ihre Vermutungen über den Objektwert anhand des Informationswerts ihres Sieges anzupassen. Dem gegenüber sind in der jüngeren Literatur auch Vorschläge vorgebracht worden, die das Phänomen des winner’s curse rationalisieren. Crawford und Iriberri (2007) entwerfen etwa ein Modell, das die Reaktionen in einer Auktion mit dem so genannten Level-${\displaystyle k}$-Ansatz (Stahl und Wilson 1995, Nagel 1995) erklärt. Dabei wird das Verhalten jedes Bieters aus einer gemeinsamen Verteilung aller möglicher „Entscheidertypen“ gezogen, die sich untereinander im Grad ihrer Befähigung unterscheiden (L0-Typen verhalten sich etwa naiv und nichtstrategisch). L1-Typen geben dabei mit ihrem Gebot die beste Antwort auf L0-Typen, L2-Typen die beste Antwort auf L1-Typen und so weiter. Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass eine spezielle Level-${\displaystyle k}$-Struktur in einer Zweitpreisauktion einen winner’s curse hervorbringen kann.

Eyster und Rabin (2005) begründen zur Erklärung das Konzept eines „verfluchten Gleichgewichts“ (cursed equilibrium). In einem solchen sagen Bieter die Gebotsverteilung der anderen Bieter korrekt voraus und reagieren optimal darauf. Ihr Wahrnehmungsfehler liegt allerdings darin, dass sie den Zusammenhang zwischen den Geboten anderer Bieter und deren Signalen falsch einschätzen. Je höher der „Verfluchungsgrad“ (cursedness), desto höher schätzen Bieter die Wahrscheinlichkeit ein, dass andere Bieter in Höhe des Durchschnitts der anderen Gebote über alle Signale hinweg bieten (und nicht so wie durch ihre eigene Strategie spezifiziert). Im Fall maximaler cursedness gehen Bieter etwa davon aus, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Geboten und den Signalen anderer Spieler gibt. Dadurch kann es in der Zweitpreisauktion zu Fehlbewertungen kommen.

Ivanov, Levin und Niederle (2010) testen die Validität dieser Erklärungsansätze experimentell anhand einer Common-Value-Zweitpreisauktion. Die Autoren vergleichen das Bieterverhalten in einer Umgebung, in der zu hohes Bieten durch die skizzierten Theorien rationalisierbar ist, mit dem Verhalten von Bietern in Situationen, in denen solche Erklärungsansätze unwahrscheinlich sind. In letzteren kann dabei kein Rückgang übermäßiger Gebote festgestellt werden, was Zweifel an der Plausibilität dieser Ansätze als Erklärung des winner’s curse aufkommen lässt.

Theorie

Seien durch

${\displaystyle A=\left\langle {\mathcal {I}};v_{i},\ldots ,v_{n};F_{1},\ldots ,F_{n};b_{1},\ldots ,b_{n};\pi _{1}',\ldots ,\pi _{n}'\right\rangle }$

und

${\displaystyle B=\left\langle {\mathcal {I}};v_{i},\ldots ,v_{n};F_{1},\ldots ,F_{n};b_{1},\ldots ,b_{n};\pi _{1}'',\ldots ,\pi _{n}''\right\rangle }$

zwei Auktionen im oben beschriebenen Sinne gegeben. Man bezeichnet die beiden Auktionen als strategisch äquivalent, wenn es ein reelles ${\displaystyle k>0}$ sowie ein Tupel ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ gibt, sodass

${\displaystyle \pi _{i}''(b_{1},\ldots ,b_{n};v_{1},\ldots ,v_{n})=k\cdot \pi _{i}'(b_{1},\ldots ,b_{n};v_{1},\ldots ,v_{n})+z_{i}}$

für alle Tupel ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n};v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Strategische Äquivalenz bedeutet also, dass die beiden Spiele identischen Spielern identische Strategieräume zuweisen; sie dürfen sich nur in der individuellen Anfangsausstattung sowie der relativen Einheit, in der die Payoffs ausgezahlt werden, unterscheiden. Naheliegenderweise gilt für strategisch äquivalente Spiele, dass ihre Nash-Gleichgewichte identisch sind.

Die Zweitpreisauktion steht in enger strategischer Verwandtschaft zur Englischen Auktion. Man vergegenwärtige sich dies etwa mithilfe folgender Überlegung: In einer Zweitpreisauktion bietet ein Spieler wie oben gezeigt optimalerweise in Höhe der eigenen Wertschätzung und, falls er Höchstbietender ist, zahlt das nächsthöhere Gebot. In einer aufsteigenden Auktion werden sich die Bieter so lange gegenseitig überbieten, bis es keine zwei Bieter mehr gibt, deren Wertschätzung über der aktuellen Gebotshöhe liegen; das letzte Gebot ist dementsprechend bei optimalem Bietverhalten gerade marginal höher als das zweitletzte Gebot (und insofern also approximativ gleich). Damit schließt sich der Kreis zur Zweitpreisauktion: Bei beiden Auktionstypen gewinnt im (eindeutigen) Gleichgewicht derjenige mit der höchsten Wertschätzung und in beiden Fällen entstehen ihm Ausgaben in Höhe der zweithöchsten Wertschätzung unter allen Bietern.

Anders als die Erstpreisauktion und die Holländische (absteigende) Auktion sind Zweitpreisauktion und Englische Auktion jedoch offensichtlich nicht strategisch äquivalent. Auch die optimalen Strategien sind nicht generell identisch. Illustrativ kann man sich etwa entsprechend obiger Ausführungen vorstellen, dass einer der Bieter seine eigene Wertschätzung nicht kennt. Ein Beispiel wäre etwa, dass die Lizenz zum Betrieb einer Koltanmine im Wege einer Auktion versteigert werden soll; dabei ist die Bewertung der erwarteten Erträge (und damit auch die Wertschätzung der Lizenz) mit Unsicherheit behaftet, weil Qualität und Quantität des abgebauten Koltans ex ante der unmittelbaren Einsicht verborgen sind. In einer solchen Situation mit Ungewissheit über die Wertschätzungen erbringt eine Englische Auktion wie überstehend gezeigt höhere (erwartete) Preise als eine Zweitpreisauktion.

Experimentelle Ergebnisse im IPV-Fall

Befund

In der experimentellen Literatur ist immer wieder festgestellt worden, dass die strategische Äquivalenz zwischen Zweitpreis- und Englischer Auktion bei privaten Wertschätzungen nicht vollständig repliziert werden kann. Kagel, Harstad und Levin (1987) teilen zur Untersuchung der strategischen Äquivalenz ihren Studienteilnehmern mit, dass zunächst eine Zahl ${\displaystyle x_{0}}$ aus einer Gleichverteilung über ein gegebenes Intervall gezogen werde; ${\displaystyle x_{0}}$ wurde aber nicht mitgeteilt. Stattdessen wurden die privaten Wertschätzungen der Teilnehmer, ${\displaystyle x_{i}}$, nun nacheinander aus einer Gleichverteilung über ${\displaystyle [x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ]}$ gezogen (wobei ${\displaystyle \epsilon }$ allen bekannt war) und den jeweiligen Teilnehmern (und nur diesen!) mitgeteilt. Aus diesem Grund spricht man auch von einem so genannten induced value experiment, weil die „Wertschätzungen“ von außen vorgegeben („induziert“) werden. Es wurde nun in mehreren Bietrunden untersucht, wie die Teilnehmer bei unterschiedlichen Auktionsformaten bieten. Die Autoren stellen (verglichen mit der tatsächlichen dominanten Strategie) übermäßig hohe Gebote in Zweitpreisauktionen fest (durchschnittlich 11 Prozent zu hoch), während das Ergebnis bei einer Englischen Auktion mit der dominanten Strategie kompatibel war. Sie vermuten als Ursache, dass dies von der falschen Wahrnehmung herrührt, die Gewinnwahrscheinlichkeit würde durch höheres Bieten steigen, ohne dass hierfür (wegen des Zweitpreisformates) wirkliche Kosten entstehen. Harstad (2000) bestätigt dieses Ergebnis. Er beobachtet ebenso wie schon Kagel und Levin (1993), dass sich das übermäßige Bieten bei wiederholtem Durchführen einer Zweitpreisauktion nicht wesentlich ändert und erklärt den so erwachsenden Unterschied zwischen Englischer Auktion und Zweitpreisauktion bei wiederholten Zweitpreisauktionen damit, dass den Bietern ein negativer Feedbackmechanismus bei überhöhten Geboten fehlt, weil sie auch bei zu hohen Geboten noch einen positiven Gewinn realisieren können, was sie fälschlicherweise als Bestätigung ihrer strategischen Wahl auffassen.

Einzelne Arbeiten kommen jedoch auch zu Resultaten, die mit der Prognose strategischer Äquivalenz in Einklang steht oder die gar die Abgabe zu niedriger Gebote nahelegen. Lucking-Riley (1999) führt ein Feldexperiment durch und untersucht das Bietverhalten bei einer Versteigerung identischer Magic: The Gathering-Sammelkarten im Internet über verschiedene Auktionsmechanismen hinweg. Die Studie bringt keine Evidenz für Erlösunterschiede zwischen Zweitpreis- und Englische Auktion hervor. Shogren et al. (2001) teilen den Teilnehmern in einem Labor-Setting neben ihrer Wertschätzung zusätzlich mit, dass es in ihrem besten Interesse wäre, in Höhe ihrer Wertschätzung zu bieten; die Autoren kommen zu dem Ergebnis, dass in diesem Umfeld etwa 33 Prozent der Gebote die Wertschätzung unter- und knapp 11 Prozent diese überschreiten.

Ursachen

Morgan, Steiglitz und Reis (2003) rationalisieren überhöhte Gebote auf theoretischer Ebene durch die Annahme, dass die Bieter einen Negativnutzen durch Gewinne ihrer Mitstreiter realisieren (mithin also boshaft agieren). Erst in jüngerer Zeit wurden experimentelle Studien zur Überprüfung solcher Erklärungshypothesen durchgeführt. Andreaonia, Che und Kimc (2007) teilen Bieter von Runde zu Runde randomisiert in Gruppen ein und untersuchen Unterschiede im Bietverhalten von Bietern mit der jeweils höchsten Wertschätzung und solchen, die davon überzeugt sind, zu verlieren. Die Autoren finden Evidenz dafür, dass sich Bieter grundsätzlich an ihre schwach dominante Strategie halten, jedoch dann davon (nach oben) abweichen, wenn sie zu der Überzeugung gelangen, ohnehin zu verlieren und in der Lage sind, den Verkaufspreis zu beeinflussen. Das Ergebnis ist soweit konsistent mit dem Boshaftigkeitsmotiv von Morgan, Steiglitz und Reis (2003).

Cooper und Fang (2008) untersuchen experimentell die empirische Konsistenz einer Reihe potenzieller Erklärung, namentlich dem Boshaftigkeitsmotiv von Morgan, Steiglitz und Reis (2003) (Hypothese 1), dem an die oben kurz referierte Erklärung von Kagel, Harstad und Levin (1987) angelehnten Vorliegen beschränkter Rationalität (Hypothese 2) sowie einem neuen Motiv, der joy of winning hypothesis („Freude am Sieg“) (Hypothese 3). Hypothese 2 wird von den Autoren so konstruiert, dass Bieter bei der Festlegung ihres Gebotes die Bedeutung einer Gebotserhöhung für den erwarteten Payoff im Fall eines Sieges unterschätzen, während sie ihre Bedeutung für die Gewinnwahrscheinlichkeit vollständig berücksichtigen; dies würde den Unterschied zur Englischen Auktion erklären, weil dort für jedermann leicht ersichtlich ist, wie sich eine Gebotserhöhung auf den Payoff im Fall eines Sieges auswirkt, sodass in der Englischen Auktion die (hohe Gebote befördernde) Wahrnehmungsverzerrung geringer ausgeprägt sein müsste. Hypothese 3 hat zum Inhalt, dass Bieter über monetäre Faktoren hinausgehend einen positiven Nutzen aus dem Gewinn erfahren, wodurch sich ihre Wertschätzung (und damit das optimale Gebot) entsprechend erhöht. Die Autoren finden Evidenz für die Hypothesen 2 und 3 und – im Widerspruch zu Morgan, Steiglitz und Reis (2003) – gegen Hypothese 1.

Garratt, Walker und Wooders (2004, 2012) kritisieren, dass der weit überwiegende Teil experimenteller Arbeiten zur Frage der strategischen Äquivalenz mit unerfahrenen Bietern (Studenten) durchgeführt wird und rekrutieren ihre Testsubjekte stattdessen aus erfahrenen Verkäufern auf der Internet-Auktionsplattform Ebay. Zudem ermöglichen sie den Bietern, länger als gewöhnlich über ihre Gebote nachzudenken. Im Unterschied zu den Ergebnissen anderer Studien stellen die Autoren bei ihren Partizipanten einen etwa gleich hohen Anteil von Geboten oberhalb und unterhalb der Wertschätzung fest (38 zu 41 Prozent vs. 67 zu 6 Prozent bei Kagel, Harstad und Levin [1987]) sowie ebenfalls keine größere Tendenz zu wertschätzungsgemäßem Bieten. Roth und Levin (2008) mutmaßen unter Verweis auf psychologische Studien, das Ergebnis sei insofern wenig überraschend, als die Partizipanten erfahrene Verkäufer und nicht Käufer waren, und aus diesem Grund daran gewöhnt seien, zu einem niedrigen Preis zu kaufen, um anschließen zu einem hohen Preis zu verkaufen, was insoweit eine andere Tätigkeit darstelle und weshalb es auch keinen Grund gebe, davon auszugehen, dass sie eher zur Abgabe des theoretischen Optimalgebotes neigen.

Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus

Es lässt sich zeigen, dass Zweitpreisauktionen einen Spezialfall eines sehr viel allgemeineren Allokationsmechanismus darstellen, dem Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus (VCG-Mechanismus). Zurückgehend auf Arbeiten von William Vickrey (1961), Edward H. Clarke (1971) und der Verallgemeinerung von Theodore Groves (1973) beschreibt der VCG-Mechanismus eine generelle Methode, um auch in Mehrobjektauktionen effiziente und anreizkompatible Allokationen zu implementieren. Tatsächlich lässt sich sogar zeigen, dass der VCG-Mechanismus unter allen effizienten, anreizkompatiblen (strategy proof) und individuell rationalen Mechanismen derjenige mit dem höchsten Erlös ist. Im Spezialfall reduziert sich der VCG-Mechanismus zur Zweitpreisauktion. Eine zusätzliche Verallgemeinerung ermöglicht es schließlich, innerhalb des Mehrobjekte-Settings des VCG-Mechanismus auch interdependente Wertschätzungen zu berücksichtigen. In diesem Fall handelt es sich allerdings nicht mehr um einen Auktionsmechanismus im engeren Sinne, weil er erfordert, dass dem Auktionator die Wertschätzungsfunktionen ${\displaystyle \nu _{i}}$ bekannt sind.

Für Einzelheiten wird auf den Artikel Vickrey-Clarke-Groves-Mechanismus verwiesen.

Generalized Second-Price Auction

Eine weitere Verallgemeinerung liefern Edelman, Ostrovsky und Schwarz (2007), die in der Versteigerung von Werbeplätzen bei Internetsuchmaschinen die Verwendung eines Zweitpreisverfahrens erkennen; spätestens 2002 zum ersten Mal gebraucht, soll dieser Auktionstypus bereits 2006 Erträge in der Größenordnung von zehn Milliarden Dollar hervorgebracht haben. Suchmaschinenbetreiber gehen dabei beispielsweise so vor, dass Werbeplätze auf einer Seite von oben nach unten mit Anzeigen in absteigender Reihenfolge der für sie abgegebenen Gebote befüllt werden. Klickt ein Nutzer anschließend auf eine Anzeige, so wird der betreffende Werbekunde im Rahmen eines Pay-per-Click-Verfahrens in Höhe des nächsthöchsten Gebotes belastet.

Allgemein zeichnet sich die Generalized Second-Price Auction (GSP-Auktion) durch folgende Merkmale aus: Es handelt sich um eine Mehrobjektauktion mit ${\displaystyle m}$ Objekten (im Beispiel: Werbeplätzen) und ${\displaystyle n}$ risikoneutralen Bietern (Werbekunden). Die Zahl der Klicks auf eine Anzeige auf Position ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$, in einem festgelegten Zeitabschnitt bezeichne man mit ${\displaystyle \alpha _{i}}$ und einem Werbekunden ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, ist ein Klick auf seine Anzeige ${\displaystyle s_{k}}$ wert. (Es spielt keine Rolle für die Wertschätzung eines solchen Klicks, auf welcher Position eine angeklickte Anzeige angezeigt wurde.) Man lege zur Vereinfachung und ohne Beschränkung der Allgemeinheit ferner fest, dass die Positionen absteigend nummeriert werden, das heißt ${\displaystyle i=1}$ für die Anzeige mit der höchsten Zahl der Klicks (${\displaystyle \alpha _{i}}$), und so weiter. Gibt nun ein Nutzer der Suchmaschine ein entsprechendes Stichwort ein, so setzt dies den Zuteilungsmechanismus in Gang: Der Betreiber bestimmt für jeden Bieter ${\displaystyle k}$ dessen zuletzt abgegebenes Gebot ${\displaystyle b_{k}}$ und füllt die Werbeplätze von oben nach unten so lange auf, bis alle belegt sind oder hilfsweise bis der letzte teilnehmende Bieter zugeteilt ist, wobei jeder Bieter in keinem Fall mehr als einen Platz belegen kann. Sei ${\displaystyle g(i)}$ der ${\displaystyle i}$-höchstbietende Bieter und sei ${\displaystyle b(i)}$ sein abgegebenes Gebot. Dann beläuft sich der Payoff von ${\displaystyle i}$ auf

${\displaystyle \alpha _{i}\cdot \left[s_{g(i)}-b(i+1)\right]}$.

Die Autoren zeigen, dass es in einer GSP-Auktion anders als im Rahmen des VCG-Mechanismus keine dominante Strategie ist, gemäß der eigenen Wertschätzung zu bieten; entsprechend wurde auf diesem Markt inzwischen auch schon verschiedentlich empirisch ein großes Ausmaß an strategischem Bietverhalten nachgewiesen. Ein Gleichgewicht in dominanten Strategien gibt es anders als im Rahmen des VCG-Mechanismus im Allgemeinen nicht.

In einigen neueren Anwendungen des Modells wird die Bieterseite der Auktion explizit modelliert, was sie konzeptionell vom klassischen GSP-Setting abhebt. In diesem Kontext lassen sich etwa auch Externalitäten modellieren, die unter der Annahme entstehen, dass die Klickzahlen bei höher positionierten Werbeanzeigen größer sind als bei weiter unten platzierten; dies hat sodann zur Folge, dass erfolgreiche Bieter mit höherer Platzierung den durchschnittlichen Ertrag der übrigen Werbenden negativ beeinflussen.