Herleitung

1. Für die Bewegung eines Punktes ${\displaystyle P}$ mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle w}$ auf einem Funktionsgraphen gilt grundsätzlich: ${\displaystyle w={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {{\sqrt {1+{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}}}\cdot \mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\sqrt {1+y'^{2}}}\cdot {\dot {x}}.}$ Da hier die Bewegung nach links verlaufen soll, ${\displaystyle x}$ also abnimmt, ist ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$ negativ. Soll w durch einen positiven Wert dargestellt werden, so verwendet man hier ${\displaystyle {\dot {x}}=-{\frac {w}{\sqrt {1+y'^{2}}}},w=}$ konstant.
2. Ebenfalls grundsätzlich gilt: ${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=y'\cdot {\dot {x}}}$ sowie ${\displaystyle (y'{\dot {)}}={\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} y'}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=y''\cdot {\dot {x}}}$.
3. Nun fährt ${\displaystyle A}$ mit der konstanten Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ auf der ${\displaystyle y}$-Achse nach oben, hat also zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ den Wert ${\displaystyle A(0|v\cdot t)}$. Dann zeigt die Tangente an den gesuchten Graphen von P auf A, und man erhält die Tangentenbedingung ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y-vt}{x}}}$. Das ergibt die Differentialgleichung: ${\displaystyle y'\cdot x+v\cdot t=y}$ .
4. Differentiation nach ${\displaystyle t}$ liefert ${\displaystyle (y'{\dot {)}}\cdot x+y'\cdot {\dot {x}}+v={\dot {y}}}$. Mit dem unter 2. Gesagten ergibt sich daraus ${\displaystyle y''\cdot {\dot {x}}\cdot x+y'\cdot {\dot {x}}+v=y'\cdot {\dot {x}}}$, was sich zu ${\displaystyle y''\cdot {\dot {x}}\cdot x+v=0}$ vereinfacht.
5. Ersetzt man nun ${\displaystyle {\dot {x}}}$ nach 1., erhält man ${\displaystyle -y''\cdot {\frac {w}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\cdot x+v=0}$
6. Die Lösung gelingt mit Integration durch die Substitution ${\displaystyle u=y',}$ somit ${\displaystyle u'=y''}$. Daraus folgt ${\displaystyle u'\cdot {\frac {w}{\sqrt {1+u^{2}}}}\cdot x=v}$ und durch Trennung der Variablen zu ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1+u^{2}}}}={\frac {k}{x}}\cdot \mathrm {d} x}$ mit ${\displaystyle k={\frac {v}{w}}}$.
7. Integrieren liefert ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (u)=k\cdot \ln x+C}$ (siehe arsinh), sowie Rücksubstitution und Anwenden der Definitionsformel des sinh x, mit C₁ = e^C, zu: ${\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}\left[C_{1}\cdot x^{k}-{\frac {1}{C_{1}}}\cdot x^{-k}\right]}$
8. Hierauf erneutes Integrieren, unter Berücksichtigung von C₂ liefert: ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\quad \\{\frac {C_{1}\cdot x^{(1+k)}}{(1+k)}}\\\quad \end{matrix}}-\left\lbrace {\begin{matrix}{\frac {x^{(1-k)}}{C_{1}\cdot (1-k)}}\\{\frac {\ln {x}}{C_{1}}}\end{matrix}}\right\rbrace \right)+C_{2}{\begin{cases}{k\neq 1}\\{k=1}\end{cases}}}$
9. Einsetzen der Startwerte von ${\displaystyle y'}$ bzw. ${\displaystyle P}$ liefern die Werte für C₁ und C₂.

E. W. Weisstein gibt in eine geschlossene Parameterdarstellung.

Bemerkungen

• ${\displaystyle C_{1}>0}$, da ${\displaystyle C_{1}=e^{C}}$
• Ist ${\displaystyle w>v}$, also ${\displaystyle k<1}$, so holt der Verfolger ${\displaystyle P}$ den Verfolgten ${\displaystyle A}$ ein, der Graph hat also dort einen Schnittpunkt mit der ${\displaystyle y}$-Achse. Ist ${\displaystyle w\leq v}$, also ${\displaystyle k\geq 1}$, so wird ${\displaystyle A}$ nicht eingeholt, der Graph nähert sich also asymptotisch der ${\displaystyle y}$-Achse.
• Ist die Startrichtung nicht normal auf der Leitgeraden, so erhält man andere Randbedingungen. Der Tiefpunkt errechnet sich aus ${\displaystyle y'=0}$.
• Für eine allgemeine Lage der Leitgerade ist eine geeignete Koordinatentransformation vorzunehmen.

Beispiel

${\displaystyle A}$ werde von ${\displaystyle P}$ mit doppelter Geschwindigkeit verfolgt, also ${\displaystyle k=v/w=0{,}5}$. Legt man ein Koordinatensystem mit ${\displaystyle A}$ im Ursprung und ${\displaystyle y}$-Achse in Bewegungsrichtung von ${\displaystyle A}$ an, senkrecht dazu durch ${\displaystyle A}$ also die ${\displaystyle x}$-Achse, so möge sich ${\displaystyle P}$ gerade in ${\displaystyle P(9|3{,}75)}$ befinden. ${\displaystyle P}$ bewegt sich nun auf den Ursprung zu, die Tangente der Radiodrome hat also bei ${\displaystyle P}$ die Steigung ${\displaystyle 3{,}75/9=5/12}$. Dies eingesetzt in die Gleichung aus 7. liefert mit ${\displaystyle x=9}$: ${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{2}}\left[C_{1}\cdot 9^{0{,}5}-{\frac {1}{C_{1}}}\cdot 9^{-0{,}5}\right]={\frac {1}{2}}\left[3\cdot C_{1}-{\frac {1}{3\cdot C_{1}}}\right]}$, was auf die quadratische Gleichung ${\displaystyle C_{1}^{2}-{\frac {5}{18}}\cdot C_{1}-{\frac {1}{9}}}$ mit den Lösungen ${\displaystyle C_{1}={\frac {1}{2}}}$ bzw. ${\displaystyle -{\frac {2}{9}}}$ führt, wobei nur die positive Lösung verwendbar ist (s. 1. Bemerkung). In die Gleichung für ${\displaystyle y}$ aus 8. eingesetzt erhält man: ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{3}}\cdot x\cdot {\sqrt {x}}-4\cdot {\sqrt {x}}\right)+C_{2}.}$ Einsetzen von P(9|3,75) liefert C₂=5,25. Damit ergibt sich ${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{3}}\cdot x\cdot {\sqrt {x}}-4\cdot {\sqrt {x}}\right)+5{,}25}$ mit ${\displaystyle y'={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {x}}-{\frac {2}{\sqrt {x}}}\right]={\frac {1}{4\cdot {\sqrt {x}}}}\left(x-4\right).}$ Bei ${\displaystyle x=4}$ und damit ${\displaystyle y=2{\frac {7}{12}}}$ hat der Graph einen Tiefpunkt, bei ${\displaystyle x=0}$ und damit ${\displaystyle y=5{,}25}$ holt Verfolger ${\displaystyle P}$ den Verfolgten ${\displaystyle A}$ ein. Auch die Länge des von ${\displaystyle P}$ zurückgelegten Weges lässt sich leicht berechnen: ${\displaystyle {\sqrt {1+y'^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {x^{2}-8x+16}{16x}}}}={\sqrt {\frac {x^{2}+8x+16}{16x}}}={\frac {1}{4\cdot {\sqrt {x}}}}(x+4)={\frac {\sqrt {x}}{4}}+{\frac {1}{\sqrt {x}}}}$ mit der Stammfunktion ${\displaystyle F(x)={\frac {x\cdot {\sqrt {x}}}{6}}+2\cdot {\sqrt {x}}}$. Der von ${\displaystyle P}$ von ${\displaystyle x=9}$ bis zum Tiefpunkt bei ${\displaystyle x=4}$ zurückgelegte Weg beträgt dann ${\displaystyle F(9)-F(4)=5{\frac {1}{6}}}$. Die dort waagerechte Tangente zeigt auf ${\displaystyle A}$ und hat die Höhe ${\displaystyle y=2{\frac {7}{12}}}$ (s. o.), ${\displaystyle A}$ hat also den Weg ${\displaystyle 2{\frac {7}{12}}}$ zurückgelegt, genau die Hälfte von ${\displaystyle 5{\frac {1}{6}}}$, da ${\displaystyle A}$ halb so schnell ist wie ${\displaystyle P}$. Von ${\displaystyle x=9}$ bis ${\displaystyle x=0}$ legt ${\displaystyle P}$ den Weg ${\displaystyle F(9)-F(0)=10{,}5}$ zurück, ${\displaystyle A}$ die Hälfte, also ${\displaystyle 5{,}25}$, weshalb ${\displaystyle A}$ bei ${\displaystyle A(0|5{,}25)}$ von ${\displaystyle P}$ getroffen wird.

Eigenschaften

• Die Verbindungslinie von entsprechenden ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle P}$ ist Tangente an die Radiodrome.
• Offensichtlich ist ${\displaystyle y}$ nicht negativ für alle ${\displaystyle x}$, falls der Startpunkt oberhalb der ${\displaystyle x}$-Achse liegt.

Analyse des Geschwindigkeitsparameters ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k\geq 1}$:

• Bei ${\displaystyle k>1}$ ist ${\displaystyle A}$ schneller als ${\displaystyle P}$, Die Kurve nähert sich asymptotisch der ${\displaystyle y}$-Achse: Der Verfolger ist langsamer und erreicht den Verfolgten nicht, noch kreuzt er seine Bahn.
• Bei gleicher Geschwindigkeit (${\displaystyle k=1}$) läuft der Verfolger in zunehmend gleichem Abstand hinter dem Verfolgten her: Die Kurve zeigt das Grenzwert-Verhalten einer „Traktrix“.

${\displaystyle k<1}$:

• Es gibt genau einen Endpunkt des Graphen am linken Rand ${\displaystyle x=0}$ der Definitionsmenge. Der Verfolger ist schneller als der Verfolgte und erreicht jenen in endlicher Zeit. Wir nennen diesen Punkt „Treffpunkt“ oder „Fangpunkt“, die Kurve ist im Fangpunkt tatsächlich zu Ende.

Der Fall ${\displaystyle k=0}$ ist trivial, nämlich eine Gerade. Der Verfolger ist „unendlich“ schnell, oder der Verfolgte steht still.

Für rationales ${\displaystyle k\neq 1}$ degeneriert die Funktion zu einer algebraischen Kurve – sind beispielsweise ${\displaystyle v,w\in \mathbb {N} }$, so ist diese Kurve vom Grad ${\displaystyle {\tfrac {vw+w\max\{v,w\}}{ggt^{2}(v,w)}}\quad {\text{falls}}\ v\neq w}$.