Impulserhaltung, Drehimpulserhaltung und Energieerhaltung in Weberscher und Maxwellscher Elektrodynamik

In der Maxwellschen Elektrodynamik gilt das dritte newtonsche Axiom nicht für Punktladungen. Stattdessen beeinflussen Teilchen umgebene elektromagnetische Felder und die Felder üben Kräfte auf Teilchen aus. Direkte Kräfte zwischen Teilchen gibt es in der Maxwellschen Elektrodynamik hingegen nicht. Aus diesem Grund sind die Kräfte, welche benachbarte Teilchen gegenseitig aufeinander ausüben in der Maxwellschen Elektrodynamik nicht immer umgekehrt gleich groß, insbesondere auch dann nicht, wenn sich die Teilchen sehr langsam im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit bewegen und Beschleunigungen vernachlässigbar sind.

In der maxwellschen Elektrodynamik gilt die Impulserhaltung, die Drehimpulserhaltung und die Energieerhaltung nur dann, wenn sowohl die Quellen der Kräfte, als auch deren Felder berücksichtigt werden. Eine ausschließliche Betrachtung der Quellen allein ist nicht hinreichend, beispielsweise ist der Gesamtimpuls aller Punktladungen eines Systems nicht notwendigerweise konstant, da die Punktladungen Impuls auf das elektromagnetische Feld und dieses umgekehrt Impuls auf die Punktladungen übertragen kann. Das bekannte Phänomen des Strahlungsdrucks zeigt, dass elektromagnetische Wellen tatsächlich in der Lage sind, Impuls auf Materie zu übertragen.

Die Weber-Kraft ist im Gegensatz dazu ziemlich verschieden. Da es sich bei der Weber-Kraft um eine symmetrische Zentralkraft handelt, gehorchen alle Partikel, ungeachtet ihrer Masse und Größe exakt dem Prinzip Actio gleich Reactio. Daher gilt in der Weberschen Elektrodynamik die Impulserhaltung. Die Erhaltung des Drehimpulses folgt aus der Eigenschaft der Weber-Kraft eine Zentralkraft zu sein.

Auch die Gesamtenergie eines Teilchensystems bleibt in der Weber-Elektrodynamik grundsätzlich erhalten. Um das zu zeigen, wird die Weber-Kraft mit ${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}}$ multipliziert. Schreibt man ${\displaystyle {\vec {r}}}$ in Kugelkoordinaten, so lässt sich zeigen, dass die Beziehung ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\dot {\vec {r}}}=r{\dot {r}}}$ gilt. Damit gelangt man zu

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\dot {\vec {r}}}={\frac {q_{s}q_{d}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).}$

Ableiten des Weber-Potentials nach der Zeit ergibt

${\displaystyle {\dot {U}}={\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}\left(-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}+{\frac {{\dot {r}}^{3}}{2r^{2}c^{2}}}-{\frac {{\dot {r}}{\ddot {r}}}{rc^{2}}}\right)=-{\frac {q_{1}\,q_{2}}{4\,\pi \,\varepsilon _{0}}}{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).}$

Ein Vergleich der beiden Gleichungen zeigt, dass ${\displaystyle {\dot {U}}=-{\vec {F}}\cdot {\dot {\vec {r}}}}$ gilt. Damit wird deutlich, dass auch die Energieerhaltung gelten muss, denn daraus folgt durch Einsetzen der Grundgleichung der Mechanik ${\displaystyle {\dot {U}}=-m\,{\ddot {\vec {r}}}\cdot {\dot {\vec {r}}}}$. Die rechte Seite entspricht bis auf das Vorzeichen der zeitlichen Ableitung der kinetischen Energie. Das bedeutet, dass jede zeitliche Änderung der potentiellen Energie genau durch eine zeitliche Änderung der kinetischen Energie kompensiert wird. Die Gesamtenergie, also die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie, ist somit eine Erhaltungsgröße.

Relativgeschwindigkeitsabhängigkeit der Stärke der Kraft in der Weber-Elektrodynamik

Die absolute Stärke der Weber-Kraft hängt nicht nur vom Abstand ${\displaystyle r}$ der Punktladungen, sondern auch von der Radialgeschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {r}}}$ und der Radialbeschleunigung ${\displaystyle {\ddot {r}}}$ ab. Das wird deutlich, wenn man den Betrag der Weber-Kraft berechnet:

${\displaystyle \Vert {\vec {F}}\Vert ={\sqrt {{\vec {F}}\cdot {\vec {F}}}}={\frac {q_{s}q_{d}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{2}}}\left(1-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{2c^{2}}}+{\frac {r{\ddot {r}}}{c^{2}}}\right).}$

Daraus folgt, dass ein neutrales Plasma bei einer Temperaturerhöhung seine elektrische Neutralität verlieren müsste, da die Elektronen deutlich leichter sind als die Ionen und somit bei einer Temperaturerhöhung des Plasmas überproportional an Geschwindigkeit gewinnen. Bisher wurde Derartiges noch nicht beobachtet.

Magnetismus in der Weber-Elektrodynamik

Webers Ziel bei der Entwicklung seiner Kraftformel bestand darin, die magnetischen Kraftwirkungen eines stromdurchflossen Drahtes auf die elektrischen Kräfte der im Draht enthaltenen Ladungsträger zurückzuführen. Es ist bemerkenswert, dass ihm dieses gelang und das unscheinbar wirkende Webersche Gesetz die magnetische Kraft tatsächlich zu enthalten scheint. In der maxwellschen Elektrodynamik ist die magnetische Kraft hingegen eigenständig und das magnetische Feld bildet zusammen mit dem elektrischen Feld den vierdimensionalen elektromagnetischen Feldstärketensor. Die eigentliche Kraftwirkung berechnet sich anschließend durch Anwendung des Lorentzkraftgesetzes.

Um einen Zugang zu Webers Idee zu finden ist es hilfreich, die Weber-Kraft unter Verwendung von ${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}:={\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}:={\vec {a}}}$ in die Vektorschreibweise zu überführen. Mit

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\sqrt {{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {{\vec {r}}\cdot {\dot {\vec {r}}}}{r}}={\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}}{r}}}$

und

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\sqrt {{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {{\vec {r}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}}{r}}-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\dot {\vec {r}}})^{2}}{r^{3}}}+{\frac {{\dot {\vec {r}}}\cdot {\dot {\vec {r}}}}{r}}={\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {a}}}{r}}-{\frac {({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})^{2}}{r^{3}}}+{\frac {v^{2}}{r}}}$

lautet die Weber-Kraft

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {q_{s}q_{d}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {\vec {r}}{r}}\cdot {\frac {\vec {v}}{c}}\right)^{2}+{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {a}}}{c^{2}}}\right).}$

Definiert man ${\displaystyle \alpha }$ als den Winkel zwischen der Verbindungsachse der beiden Punktladungen und der Differenzgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und nimmt vorhandene Differenzbeschleunigungen ${\displaystyle {\vec {a}}}$ als vernachlässigbar an, so vereinfacht sich die Weber-Kraft zu

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {q_{s}q_{d}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(1-{\frac {3}{2}}\cos(\alpha )^{2}\right)\right).}$

Damit wird deutlich, dass die Weber-Kraft von der Richtung abhängt, in welcher sich die Punktladungen zueinander bewegen. Bewegen sich die Punktladungen direkt aufeinander zu oder voneinander weg (${\displaystyle \alpha =0^{\circ }}$ bzw. ${\displaystyle 180^{\circ }}$), so ist die Weber-Kraft schwächer als von der Coulombkraft vorhergesagt wird. Bewegen sich die Ladungen jedoch seitlich aneinander vorbei (${\displaystyle \alpha =\pm 90^{\circ }}$), so ist die Weber-Kraft stärker als es die Coulomkraft erwarten lassen würde.

Diese vermutlich relativistische Korrektur der Coulombkraft genügt, um die Lorentzkraft für beliebig geformte, gleichstromdurchflossene, geschlossene Leiterbahnen zu erklären. Wie gezeigt werden kann, ergibt sich die Kraftwirkung des magnetischen Feldes aus der Summe aller Weber-Kräfte zwischen den Ladungsträgern in der Leiterbahn und der Probeladung. Bei der Summation bzw. Integration ist zu beachten, dass jeweils der individuelle Abstandsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{d}-{\vec {r}}_{s}}$, sowie die korrekte Differenzgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{d}-{\vec {v}}_{s}}$ verwendet wird.

Es ist wichtig zu betonen, dass sich die experimentellen Vorhersagen der Weber-Elektrodynamik und der Maxwellschen Elektrodynamik für nicht-geschlossene Leiterbahnen oder inhomogene Stromdichten unterscheiden. Des Weiteren sollte erwähnt werden, dass Webers Erklärung Galilei-invariant ist.