Der ein-dimensionale Fall

Sei ${\displaystyle \partial }$ der Ableitungsoperator (auch Vernichtungsoperator) und ${\displaystyle \partial ^{*}}$ der Erzeugungsoperator

${\displaystyle \partial ={\frac {d}{dx}},\quad \partial ^{*}=-{\frac {d}{dx}}+x.}$

Der Erzeugungsoperator ist der adjungierte Operator des Ableitungsoperators bezüglich des ${\displaystyle L^{2}(\gamma ^{1})}$-Skalarproduktes

${\displaystyle \langle \partial f,g\rangle _{L^{2}(\gamma ^{1})}=\langle f,\partial ^{*}g\rangle _{L^{2}(\gamma ^{1})}}$

und es gilt die heisenbergsche Relation

${\displaystyle \partial \partial ^{*}-\partial ^{*}\partial =1.}$

Sei ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\partial ^{*}\partial }$ der Besetzungszahloperator, dies ist der Differentialoperator

${\displaystyle {\mathcal {N}}=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x{\frac {d}{dx}}.}$

Nun definieren wir die hermitschen Polynome ${\displaystyle \{H_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ mit Hilfe dieser Operatoren und den Beziehungen

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\partial ^{*}H_{n-1}=(\partial ^{*})^{n}1,\\\partial H_{n}&=nH_{n-1},\end{aligned}}}$

das heißt ${\displaystyle H_{0}(x)=1,\;H_{2}(x)=x,\;H_{3}(x)=x^{2}-1,\;H_{4}(x)=x^{3}-3x,}$ usw.

Die hermiteschen Polynome sind die Eigenfunktionen des Operators ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$. Weiter gilt aus den oberen Beziehungen

${\displaystyle \langle H_{s},(\partial ^{*})^{m}1\rangle _{L^{2}(\gamma ^{1})}=\langle (\partial ^{*})^{m}H_{s},1\rangle _{L^{2}(\gamma ^{1})}}$

und daraus folgt, dass die normalisierten hermitschen Polynome ${\displaystyle \left\{(n!)^{-1/2}H_{n}\right\}_{n=0}^{\infty }}$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\gamma ^{1}(dx))}$ bilden.

Sei nun ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\gamma ^{1})}$ und ${\displaystyle \partial ^{n}F\in L^{2}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\gamma ^{1})}$ für alle ${\displaystyle n\geq 1}$, dann gilt die Darstellung

${\displaystyle F=\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle F,H_{n}\rangle _{L^{2}(\gamma _{1})}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\mathbb {E} _{\gamma ^{1}}[\partial ^{n}F]H_{n}.}$

Weiter ist die erzeugende Funktion gegeben durch

${\displaystyle g(x,t)=\exp \left(tx-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}H_{n}(x).}$

Der unendlich-dimensionale Fall

Betrachte nun ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\infty })}$ wobei ${\displaystyle \gamma ^{\infty }=\bigotimes _{i=1}^{\infty }(\gamma ^{1}(dx_{i})).}$ Beachte, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ist zwar kein Banach-Raum, aber ein separabler Fréchet-Raum.

Sei ${\displaystyle (e_{k})_{k=1}^{\infty }}$ eine Standardbasis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ und für ein ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ sei ${\displaystyle e_{k}^{*}(x)=x_{k}}$ die Projektion auf die ${\displaystyle k}$-te Komponente. Definiere die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in die entsprechende Richtung

${\displaystyle (\partial _{k}f)(x)=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{-1}\left(f(x+\varepsilon e_{k}\right)-f(x)),\quad \quad (\partial _{k}^{*}f)(x)=-(\partial _{k}f)(x)+e_{k}^{*}f(x)}$

sowie den Ornstein-Uhlenbeck-Generator

${\displaystyle \operatorname {L} =\sum \limits _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\sum \limits _{k\in \mathbb {N} }\partial _{k}^{*}\partial _{k}}$.

Für eine Abbildung ${\displaystyle p:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \cup \{0\}}$ definiere ${\displaystyle |\mathbf {p} |:=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }p(n)}$ und ${\displaystyle \mathbf {p}$ !:=\prod \limits _{n\in \mathbb {N} }p(n)!} sowie den Raum ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\{p:|\mathbf {p} |<\infty \}}$. Wir interpretieren ${\displaystyle p}$ als Multiindex, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ der Raum der Multiindexe mit einer endlichen Anzahl von Null verschiedener Wert.

Für ein ${\displaystyle p\in {\mathcal {E}}}$ definiere die verallgemeinerten hermitschen Polynome

${\displaystyle \mathbf {H} _{p}(x)=\prod \limits _{n\in \mathbb {N} }H_{p(n)}(e_{n}^{*}(x)),\quad x\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

es gilt wieder die Beziehung

${\displaystyle \mathbf {H} _{p}(x)=\prod _{n\in \mathbb {N} }(\partial _{n}^{*})^{p(n)}1.}$

Die ${\displaystyle \left\{\mathbf {H} _{p}\right\}_{p\in {\mathcal {E}}}}$ sind Eigenfunktionen des Ornstein-Uhlenbeck-Generators ${\displaystyle \operatorname {L} }$, es gilt

${\displaystyle \operatorname {L} \mathbf {H} _{p}=|\mathbf {p} |\mathbf {H} _{p},\quad p\in {\mathcal {E}}.}$

Die ${\displaystyle \left\{(\mathbf {p}$ !)^{-1/2}\mathbf {H} _{p}\right\}_{p\in {\mathcal {E}}}} bilden eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\infty })}$ und die lineare Hülle von ${\displaystyle \left\{(\mathbf {p}$ !)^{-1/2}\mathbf {H} _{p}\right\}_{p\in {\mathcal {E}}}} ist eine dichte Menge in ${\displaystyle L^{r}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\infty })}$ für ${\displaystyle r\in [1,\infty )}$. Wir haben somit eine orthogonale Zerlegung

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\infty })=\bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}={\overline {\operatorname {span} \{H_{p}:p\in {\mathcal {E}},|\mathbf {p} |=n\}}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}\perp {\mathcal {H}}_{m}}$ für alle ${\displaystyle n\neq m}$.

Sei nun ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\infty })}$ dann existiert eine Darstellung der Form

${\displaystyle F=\sum \limits _{p\in {\mathcal {E}}}{\frac {1}{\mathbf {p}$ !}}\mathbb {E} \left[\prod _{n\in \mathbb {N} }(\partial _{n})^{p(n)}F\right]\mathbf {H} _{p},}

sofern die ${\displaystyle \mathbb {E} \left[\prod _{n\in \mathbb {N} }(\partial _{n})^{p(n)}F\right]}$ alle existieren.

Wiener-Chaos-Zerlegung

Als letzter Schritt kann man nun eine solche Zerlegung für allgemeine gaußsche Wahrscheinlichkeitsräume herleiten. Sei ${\displaystyle H}$ ein separabler Hilbertraum, ${\displaystyle \{W(h),h\in H\}}$ ein isonormaler Gauß-Prozess und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P,W(H))}$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter sei ${\displaystyle \{h_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ eine Basis von ${\displaystyle H}$, definiere für ${\displaystyle p\in {\mathcal {E}}}$ die verallgemeinerten hermitschen Funktionen

${\displaystyle \Phi _{p}=(\mathbf {p}$ !)^{-1/2}\prod \limits _{n\in \mathbb {N} }H_{p(n)}(W(h_{n})).}

Die Menge ${\displaystyle \left\{\Phi _{p}:p\in {\mathcal {E}},|\mathbf {p} |=n\right\}}$ bildet eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle n}$-ten Wiener-Chaos ${\displaystyle C_{n}}$ definiert durch

${\displaystyle C_{n}={\overline {\operatorname {span} \{H_{n}(W(h)),h\in H,\|h\|_{H}=1\}}}\quad }$ für ${\displaystyle \quad n\in \mathbb {N} }$

und ${\displaystyle C_{0}=\mathbb {R} }$. Es gilt ${\displaystyle C_{n}\perp C_{m}}$ für ${\displaystyle n\neq m,}$.

Es existiert nun die Wiener-Chaos-Zerlegung

${\displaystyle L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},P)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }C_{n},}$

welche unabhängig von der Wahl der Basis ${\displaystyle \{h_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ ist. Die ${\displaystyle \left\{\Phi _{p}:p\in {\mathcal {E}}\right\}}$ bilden eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$.

Es lässt sich zeigen, dass die verallgemeinerten hermiteschen Funktionen Eigenfunktionen des Generators einer stark stetige Halbgruppe von Kontraktionen genannt Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe ist.