Polygonalzahl
Eine Polygonalzahl ist eine Zahl, zu der es ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) gibt, das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lässt. Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl, da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lässt. Zu den Polygonalzahlen zählen unter anderem die Dreiecks- und Quadratzahlen.
Die Polygonalzahlen zählen zu den figurierten Zahlen. Eine andere Art, Zahlen auf Polygone zurückzuführen, stellen die zentrierten Polygonalzahlen dar.
Die Polygonalzahlen lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen. Man wählt dazu eine natürliche Zahl als Differenz. Die erste Zahl ist jeweils die 1, und alle nachfolgenden Polygonalzahlen entstehen, indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert. Die folgenden Beispiele zeigen dies.
- Dreieckszahlen
- Die Differenz 1 führt zu den Summen , aus denen man die Dreieckszahlen erhält.
- Quadratzahlen
- Die Differenz 2 führt zu den Summen , aus denen man die Quadratzahlen erhält.
- Fünfeckszahlen
- Die Differenz 3 führt zu den Summen , aus denen man die Fünfeckszahlen erhält.
- Sechseckszahlen
- Die Differenz 4 führt zu den Summen , aus denen man die Sechseckszahlen erhält.
Die einzelnen Summanden sind jeweils die Folgenglieder einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und der jeweiligen Differenz (vgl. Differenzenfolge). Dieser Aufbau der Polygonalzahlen spiegelt sich auch in den entsprechenden Polygonen wider:
- Die 10 ist die vierte Dreieckszahl.
- Die 16 ist die vierte Quadratzahl.
- Die 22 ist die vierte Fünfeckszahl.
- Die 28 ist die vierte Sechseckszahl.
Gelegentlich wird auch die als nullte Dreieckszahl, Quadratzahl usw. definiert. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise .
