Stabilitätsgebiet

In der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ist das Stabilitätsgebiet eines Verfahrens zur Lösung eines Anfangswertproblems definiert als die Menge der komplexen Zahlen ${\displaystyle z=\lambda h}$ mit ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle Re(\lambda )<0}$, für die das numerische Verfahren bei der Lösung der dahlquistschen Testgleichung

${\displaystyle y'=\lambda y,\quad Re(\lambda )<0,}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$

bei fester Schrittweite ${\displaystyle h}$ eine monoton fallende Folge von Näherungen liefert. Dies impliziert, dass das numerische Verfahren für diese Gleichung und diese Schrittweite stabil ist.

Mit Hilfe der Stabilitätsfunktion eines Verfahrens

${\displaystyle S:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle y_{N}=S(\lambda h)^{N}y_{0}}$

ist das Stabilitätsgebiet daher gegeben durch:

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ |S(z)|<1\}}$

Besonders interessant ist der Fall, wenn das Stabilitätsgebiet die komplette linke Halbebene enthält, dann heißt das Verfahren A-stabil.