Algebraische Zahl

In der Mathematik ist eine algebraische Zahl ${\displaystyle x}$ eine reelle oder komplexe Zahl, welche Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als Null

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

mit rationalen Koeffizienten ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {Q} }$ für ${\displaystyle k=0,\dotsc ,n}$ und ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ist, für die also die Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$ erfüllt ist.

Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {A} }$ der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Offenbar ist jede rationale Zahl ${\displaystyle q}$ algebraisch, da sie die Gleichung ${\displaystyle x-q=0}$ löst. Es gilt also ${\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {A} \subsetneq \mathbb {C} }$.

Eine nicht algebraische reelle oder komplexe Zahl wird als transzendente Zahl bezeichnet.

Ebenfalls gebräuchlich (und gleichwertig) ist die Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie ist äquivalent zur oben angegebenen. Das bedeutet: Für das genannte nichtkonstante Polynom

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

können Koeffizienten ${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {Z} }$ für ${\displaystyle k=0,\dotsc ,n}$ und ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ zu Grunde gelegt werden.

Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man normieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten ${\displaystyle a_{n}}$ dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man ganzalgebraische Zahlen oder auch ganze algebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen, der aber nicht faktoriell ist. Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit siehe Ganzheit (kommutative Algebra).

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ aus einem beliebigen Körper entnimmt.

1. ↑ Es liegt demnach eine nichtkonstante Polynomfunktion vor.
2. ↑ Denn jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das so gegebene neue Polynom hat dieselben Nullstellen wie das ursprüngliche.

1. ↑ Algebraic number. In: EncyclopediaOfMath.org. Encyclopedia of Mathematics, 14. Februar 2020, ehemals im Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 28. Mai 2023.@1@2Vorlage:Toter Link/encyclopediaofmath.org (Seite nicht mehr abrufbar. Suche im Internet Archive ) 
2. ↑ Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Arithmetik und der Algebra. 6. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48773-0, S. 168. 
3. ↑ Alexander Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-45974-3, S. 71 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 27. Mai 2023]).